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2014高考新课标数学考点总复习_考点5_掌握类型,巧妙构造,解决棘手的数列的问题

2014 高考新课标数学考点总复习

一.专题综述
数列是新课程的必修内容,从课程定位上说,其考查难度不应该太大,数列试题倾向考 查基础是基本方向. 从课标区的高考试题看, 试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空 题,一道解答题.由此我们可以预测 2012 年的高考中,数列试题会以考查基本问题为主, 在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等,但难度会得到控制.

二.考纲解读

三.2014 年高考命题趋向
1.等差数列作为最基本的数列模型之一,一直是高考重点考查的对象.难度属中低档的题目 较多,但也有难度偏大的题目.其中,选择题、填空题突出“小、巧、活”,主要以通项公式、 前 n 项和公式为载体, 结合等差数列的性质考查分类讨论、 化归与方程等思想, 要注重通性、 通法;解答题“大而全”,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.预测 2012 年高考仍将以等差数列的定义、 通项公式和前 n 项和公式为主要考点, 重点考查学生的运算 能力与逻辑推理能力. 2.等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式是高考的热点,题型既有选择题、填空 题,又有解答题,难度中等偏高.客观题突出“小而巧”,考查学生对基础知识的掌握程度; 主观题考查较为全面,在考查基本运算、基本概念的基础上,又注重考查函数与方程、等价 转化、分类讨论等思想方法.预测 2012 年高考,等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式仍将是考查的重点,特别是等比数列的性质更要引起重视. 3、等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是考查的热点,题型以解答题 为主,难度偏高,主要考查学生分析问题和解决问题的能力.预测 2012 年高考,等差数列 与等比数列的交汇、数列与解析几何、不等式的交汇仍将是高考的主要考点,重点考查运算 能力和逻辑推理能力.

四.高频考点解读
考点一 等差数列的性质和应用
例 1[广东卷] 等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 a1=1, ak+a4=0, 则 k=________. 【答案】10

【解析】 由 S9=S4,所以 a5+a6+a7+a8+a9=0,即 5a7=0,所以 a7=0, 1 由 a7=a1+6d 得 d=- ,又 ak+a4=0, 6 1 1 - ?+a1+3×?- ?=0, 即 a1+(k-1)? ? 6? ? 6? 1 3 ? 即(k-1)×? ?-6?=-2,所以 k-1=9,所以 k=10. 例 2 [湖南卷] 设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5=________. 【答案】25 【解析】 设数列{an}的公差为 d,因为 a 1=1,a4=7,所以 a4=a1+3d?d=2,故 S5=5a1 +10d=25. 例 3 [福建卷] 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3.解得 d=-2. 从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n. n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2 进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35. 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求. 【解题技巧点睛】利用等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式,由五个量 a1,d(q),n,an,Sn 中的三个量可求其余两个量,即“知三求二”,体现了方程思想.解答等差、等比数列的有关问题 时,“基本量”(等差数列中的首项 a1 和公差 d 或等比数列中的首项 a1 和公比 q)法是常用方法.

考点二 等比数列的性质和应用

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1 例 4 [北京卷] 在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2|+? 2 +|an|=________. 1 - 【答案】 -2 2n 1- 2 1 1 【解析】 由 a4=a1q3= q3=-4,可得 q=-2;因此,数列{|an|}是首项为 ,公比为 2 的等 2 2 1 ?1-2n? 2 1 - 比数列,所以|a1|+|a2|+? +|an|= =2n 1- . 2 1-2 1 1 例 5 [课标全国卷] 已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ; 2 (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1 1?n-1 1 【解答】 (1)因为 an= ×? = n, 3 ?3? 3 1? 1? 1 1- n 1- n 3? 3 ? 3 1-an Sn= = ,所以 Sn= . 1 2 2 1- 3 (2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an=-(1+2+?+n) n?n+1? =- . 2

【答案】D 【解析】 由 a2 a9, d=-2, 得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16), 解之得 a1=20, ∴S10=10×20 7=a3· 10×9 + (-2)=110. 2 1 1 1 例 7[浙江卷] 已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R), 且 , , 成等比数列. a1 a2 a4 (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (2)对 n∈N*,试比较 + +?+ 与 的大小. a2 a22 a2n a1 1 ?2 1 1 【解答】 设等差数列{an}的公差为 d,由题意可知? , ?a2? =a1· a4 2 2 即(a1+d) =a1(a1+3d),从而 a1d=d . 因为 d≠0,所以 d=a1=a, 故通项公式 an=na. 1 1 1 (2)记 Tn= + +?+ .因为 a2n=2na, a2 a22 a2n 1?n? 1? 1-? ?2? ? 1? ?1?n? 1 ? 1 2? 1?1 1 所以 Tn= ?2+22+?+2n?= · = ?1-?2? ?. a a 1 a 1- 2 1 1 从而,当 a>0 时,Tn< ,当 a<0 时,Tn> . a1 a1 【解题技巧点睛】(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等 差、等比数列的通项公式,前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. (2)利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值.同时对两种数列的性质,要熟悉它们 的推导过程,利用好性质,可降低 题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程求解.

考点四 求数列的通项公式
例 8 [江西卷] 已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3 -a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 【解答】 (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2), 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2, - - 所以{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n 1 或 an=(2- 2)n 1.

(2)设{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0,(*) 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根, 1 由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a= . 3 例 9 [安徽卷] 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将 这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tanan· tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

【解题技巧点睛】求数列的通项公式的方法: 1、利用转化,解决递推公式为 S n 与 an 的关系式:数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系:

(n ? 1) ?S1 . 通过纽带: an ? Sn ? Sn? ( an ? ? 1 n ? 2) ,根据题目求解特点,消掉一个 ?Sn ? Sn?1 (n ≥ 2)
利用已知递推式, 把n an或Sn .然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉 Sn , 换成(n+1)得到递推式,两式相减即可.若消掉 an ,只需把 an ? Sn ? Sn?1 带入递推式即可. 不论哪种形式,需要注意公式 an ? Sn ? Sn?1 成立的条件 n ? 2. 由递推关系求数列的通项公式 2.利用“累加法”和“累乘法”求通项公式:此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方 法,递推关系为 an?1 ? an ? f (n) 用累加法;递推关系为

an ?1 ? f (n) 用累乘法.解题时需要 an

分析给定的递推式,使之变形为 an ?1 ? an、 n ?1 结构,然后求解.要特别注意累加或累乘时, 应该为 (n ? 1) 个式子,不要误认为 n 个. 3.利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式:求数列通项公式方法灵活多样,特别

a an

是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换, 转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思 想,而运用待定系数法 变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.

考点五 等差等比数列的定义以及应用
例 10 [江西卷] (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2, b3-a3=3,若数列{an}唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的 等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. 【解答】 (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 即 aq2-4aq+3a-1=0. 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程有两个不同的实根, 再由{an}唯一,知方程必有一根为 0, 1 将 q=0 代入方程得 a= . 3

3+?-1?n 1 例 11 [天津卷] 已知数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1=(-2)n+1, bn= , n∈N*, 2 且 a1=2. (1)求 a2,a3 的值; (2)设 cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明{cn}是等比数列; S2n-1 S2n S1 S2 1 (3)设 Sn 为{an}的前 n 项和,证明 + +?+ + ≤n- (n∈N*). a1 a2 a 3 a2n-1 2n n-1 3+?-1? 【解答】 (1)由 bn= ,n∈N, 2 ? ?2,n为奇数, 可得 bn=? ?1,n为偶数. ? 又 bn+1an+bnan+1=(-2)n+1, 3 当 n=1 时,a1+2a2=-1,由 a1=2,可得 a2=- ; 2 当 n=2 时,2a2+a3=5,可得 a3=8. (2)证明:对任意 n∈N*, - a2n-1+2a2n=-22n 1+1,①


2a2n+a2n+1=22n+1.② - - ②-①,得 a2n+1-a2n-1=3×22n 1,即 cn=3×22n 1. cn+1 于是 =4. cn 所以{cn}是等比数列. (3)证明:a1=2,由(2)知,当 k∈N*且 k≥2 时, a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+?+(a2k-1-a2k-3) - 2?1-4k 1? 2k-1 3 5 2k-3 =2+3(2+2 +2 +?+2 )=2+3× =2 , 1-4 - 故对任意 k∈N*,a2k-1=22k 1. 2k - 1 2k-1 由①得 2 +2a2k=-2 +1, 1 - 所以 a2k= -22k 1,k∈N*. 2 k 因此,S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(a2k-1+a2k)= . 2 k-1 2k-1 于是,S2k-1=S2k-a2k= +2 . 2 k-1 2k-1 k +2 2 2 S2k-1 S2k k-1+22k k 1 k 故 + = + = - 2k =1- k- k k . 2k 2k-1 a 1 2 4 a2k-1 2k 2 2 -1 4 ?4 -1? - -22k 1 2 * 所以,对任意 n∈N , S2n-1 S2n S1 S2 + +?+ + a1 a2 a2n-1 a2n S1 S2? ?S3 S4? ?S2n-1+S2n? =? ? ?a1+a2?+?a3+a4?+?+? ?a2n-1 a2n? 1 2 1 1 1 n ? 1- - ?+?1-42- 2 2 =? 4 ?4 -1??+?+1-4n-4n?4n-1? ? 4 12? ? 2 1 1 ? ?1 1 n 1 ? ?1+ 1 ? + - 42+ 2 2 =n-? 4 ?4 -1??-?-4n+4n?4n-1?≤n-?4 12?=n-3. ?4 12? ? 【解题技巧点睛】 判断某个数列是否为等差(或等比)数列,常用方法有两种:一种是由定义判断,二是看任意 相邻三项是否满足等差中项(或等比中项)公式.注意只要其中的一项不符合,就不能为等差(或 等比)数列.而想判断某个数列不是等差(或等比)数列,只需看前三项即可.
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考点六 数列的前 n 项和
例 12 [安徽卷] 若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+?+a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 【答案】A 【解析】 a1+a2+?+a10=-1+4-7+10+?+(-1)10· (3×10-2)=(-1+4)+(-7+10) 9 10 +?+[(-1) · (3×9-2)+(-1) · (3×10-2)]=3×5=15. 例 13[辽宁卷] 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; ? an ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ?
? ? ?a1+d=0, ?a1=1, 【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 由已知条件可得? 解得? ?2a1+12d=-10. ?d=-1. ? ? 故数列{an}的通项公式为 an=2-n. ? an ? a2 an (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ +?+ n-1,故 S1=1, 2 2 ? ?

例 13 [课标全国卷] 等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2 3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; ?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n? 2 2 2 1 【解答】 (1) 设数列{an}的公比为 q,由 a3=9a2a6 得 a3 =9a2 4,所以 q = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an =-(1+2+?+n) n?n+1? =- . 2 1 1 1 2 故 =- =-2?n-n+1?, bn ? ? n?n+1? 1? ?1 1? 1 1 1 2n ?1- 1 ? + +?+ =-2? ?1-2?+?2-3?+?+?n n+1?=-n+1. b1 b2 bn ?1? 2n 所以数列?b ?的前 n 项和为- . ? n? n+1 【解题技巧点睛】在数列求和问题中,通法 是“特征联想法” :就是抓住数列的通项公式的 特征,再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂,只有抓住它的特征,才能 对号入座,得到求和方法. (1) :Cn ? an ? bn ? 一般用 “分组求和法” . .... ,数列 {Cn } 的通项公式能够分解成几部分, (2) : Cn ? an bn ? “错位相减法”. (3) : Cn ? ,数列 {Cn } 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用

1 ,数列 {Cn } 的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”. an ? bn

(4) :Cn ? Cn n an ? 用“倒序相加法”.

,数列 {Cn } 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成,一般采

考点七 数列的综合问题
例 14[20 11· 福建卷] 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格, 即根据商品的最低 销售限价 a, 最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a). 这里, x 被称为乐观系数. 经验表明, 最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a) 的等比中项. 据此可得,最佳乐观系数 x 的值等于________. 5-1 【答案】 2

例 16 [浙江卷] 已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R).设数列的前 n 项和为 1 1 1 Sn,且 , , 成等比数列. a1 a2 a4 (1)求数列{an}的通项 公式及 Sn; 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)记 An= + + +?+ , B = + + +?+ .当 n≥2 时, 试比较 An 与 Bn 的大 S1 S2 S3 Sn n a1 a2 a22 a2n-1 小. 1 ?2 1 1 【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由? , ?a2? =a1· a4 2 得(a1+d) =a1(a1+3d).因为 d≠0,所以 d=a1=a, an?n+1? 所以 an=na,Sn= . 2 1 1 2 1 (2)因为 = ?n-n+1?,所以 Sn a? ? 1 1 1 1 1 2 An= + + +?+ = ?1-n+1?. S1 S2 S3 Sn a? ? - 因为 a2n-1=2n 1a,所以 1?n 1-? ? 2? 2 ? 1 ? 1 1 1 1 1 1- n . Bn= + + +?+ = · 2? a1 a2 a22 1 a? a2n-1 a 1- 2

1 2 n 当 n≥2 时,2n=C0 n+Cn+Cn+?+Cn>n+1 , 1 1 即 1- <1- n, 2 n+1 所以,当 a>0 时,An<Bn;当 a<0 时,An>Bn. 【解题技巧点睛】1.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联 系, 优化组合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数 学思想有所了解, 深刻领悟它在解题中的重大作用, 常用的数学思想方法有: “函数与方程” 、 “数形结合” 、 “分类讨论” 、 “等价转换”等. 2.与数列有关的不等式证明有哪些方法: 与数列有关的不等式的命题常用的方法有: 比较 法(作差作商) 、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明,其中利用不等式放缩证明 是一个热点,常常出现在高考的压轴题中,是历年命题的热点.利用放缩法解决“数列+不等 式”问题通常有两条途径:一是先放缩再求和,二是先求和再放缩.

考点六 数列的实际应用
例 17 [陕西卷] 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树 相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领 取树苗往返 所走的路程总和最小,这个最小值为________(米). .. 【答案】2000 【解析】 树苗放在 10 或 11 号坑,则其余的十九人一次走过的路程为 90,80,70,60,?, 9?10+90? 80,90,100,则和为 s=? ×2+100?×2=2000,若放在 11 号坑,结果一样. 2 ? ? 例 18 [湖南卷] 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M, M 的价值在使用过程 中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始, 每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+?+an (2)设 An= .若 An 大于 80 万元, 则 M 继续使用, 否则须在第 n 年初对 M 更新. 证 n 明:须在第 9 年初对 M 更新. 【解答】 (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列. 3 an=120-10(n-1)=130-10n;当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为 的等比数列, 4 3 ?n-6 又 a6=70,所以 an=70×? ?4? . 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 ?130-10n,n≤6, ? an=? ?3?n-6 ?70×?4? ,n≥7. ? (2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1), An=120-5(n-1)=125-5n; 当 n≥7 时,由于 S6=570,故 3 ?3?n-6? ?3?n-6 Sn=S6+(a7+a8+?+an)=570+70× ×4×? ?1-?4? ?=780-210×?4? , 4 3?n-6 780-210×? ?4? An= , n 因为{an}是递减数列,所以 {An}是递减数列.又 3?2 780-210×? ?4? 47 A8= =82 >80, 8 64

3?3 780-210×? ?4? 79 A9= =76 <80, 9 96 所以须在第 9 年初对 M 更新. 【解题技巧点睛】解数列应用题,要充分运用观察、归纳、猜想等手段,建立等差数列、等 比数列、递推数列等模型.(比较典型的问题是存款的利息计算问题,通常的储蓄问题与等 差数列有关,而复利计算则与等比数列有关.)

针对训练
一.选择题

1.【湖北省孝感市 2011—2012 学年度高中三年级第一次统一考试】 ? 在等差数列 {an }中, 若a1 ? a5 ? a9 ? , 则 tan(a4 ? a6 ) = ( 4
A. 答案:A



3 3

B. 3

C.1

D.—1

3.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】 7 13 S , a ? , S ? a ? n a ? ? n 2 4 n 等差数列 的前 项和 4 2 , 10 ( ) 1 1 1 1 A. 2 B. ? 2 C. 4 D. ? 4
答案:D

7 ? a2 ? a1 ? d ? , ? 1 ? 4 a1 ? 2, d ? ? , 解析:由已知,得 ? 解得 4 ? S ? 4a ? 4(4 ? 1)d ? 13 , 4 1 ? ? 2 2
所以 a10 ? a1 ? 9d ? ? 4 .

1

4.(2012 届西南大学附属中学第二次月考) 1 在等差数列 ?an ?中,a8 ? a11 ? 6 ,则数列前 9 项之和 S9 等于( 2
A. 24 【答案】D 【解析】因为 B.48 C.72

) D.108

1 1 a11 ? 6,? a1 ? 7d ? (a1 ? 10d ) ? 6 2 2 (a ? a )9 ? a1 ? 4d ? 12 ? a5 , S9 ? 1 9 ? 9a5 ? 108 2

?an ?中,a8 ?

5.(2012届微山一中高三10月考试题)
已知 S n 为等差数列 {an } 的前n项的和, a2 ? a5 ? 4, , S7 ? 21 ,则 a 7 的值为 A. 6 答案: D 解 析 : B.7 C.8 D.9
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由 条 件 a2 ? a5 ? 4, S7 ? 21 可 转 化 为 2a1 ? d 5?

4 a, , 1 ? 3d ? 3 解

得: a1 ? ?3, d ? 2, a7 ? ?3 ? 6 ? 2 ? 9,

6.【银川一中 2012 届高三年级第四次月考】 2 已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a5 ? a7 ? 4a4 , a2 ? 1,则 a1 =(
A.

)

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

答案:B 解析:
2 2 a5 ? a7 ? 4a4 ,?a62 ? 4a4 ,?q4 ? 4, q ? 0,?q ? 2. a2 ? a1q ? 1,? a1 ?

2 . 2

7.【北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期中统一考试】
在各项均为正数的数列 ?an ? 中,对任意 m, n ? N 都有 am?n ? a m ?an .若 a6 ? 64 ,则 a9 等
?

于 A.256 答案:C

B.510

C.512

( D. 1024



解析:令 m ? n ? 3,?a6 ? a32 =64, 又a3 ? 0,?a3 =8; a9 ? a3+6 =a3a6 ? 8 ? 64 ? 512.

8.【2012 届山东实验中学第一次诊断考试】已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7

是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( (A). -110 (C). 90 【答案】D (B). -90 (D). 110



[

【解析】解:a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为-2,所以 a7 =a3?a9,所以 a7 =(a7+8) (a7-4) , 所以 a7=8,所以 a1=20,所以 S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选 D

2

2

二、填空题 9.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】
已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ?1, n ? N ? ,数列 ?(n ? 1) an ? 的前 n 项和为

10【浙江省名校新高考研究联盟 2012 届第一次联考】
2 S an ,则 n = Tn an ? an ?1 答案:3

已知等比数列 ?a n ? 的公比为 2 ,前 n 项和为 S n .记数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,且满足
bn ?



解析: bn ?

S an 2 1 1 ? a n ,所以 Tn ? S n ,故 n =3. Tn a n ? 2a n 3 3

11.【浙江省 2012 年高三调研理科数学测试卷】 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,已知 a1=1,an=-Sn ? Sn-1 (n≥2),则 Sn= 答案: Sn ? 解析:



1 n

an ? ?Sn ? Sn?1 ,? Sn ? Sn?1 ? ?Sn ? Sn ?1 ,?

1 1 1 1 ? =1, ? ? ? (n ? 1) ?1 ? n. Sn Sn -1 Sn S1

1 ? Sn ? . n 12.【2012 年上海市普通高等学校春季招生考试】 已知等差数列 {an } 的首项及公差均为正数, 令 bn ? an ? a2012?n (n ? N * , n ? 2012). 当 bk
是数列 {bk }的最大项时, k ? 答案:1006 .

解析:

因 等 差 数 列 {an } 的 首 项 及 公 差 均 为 正 数 , 不 妨 设 an ? n , 则

bn ? n ? 2 0 1? 2n ? b ,n2 ?

2? 012

2 2n ?2 n0 ? 12

?

?2 n 0?1 2 ) 22

2 ( , 1006

+1 0 0 6

故当 n ? 1006 时取得最大值,故 k ? 1006.

三.解答题 13.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】
在等比数列 {an } 中, a2 a3 ? 32, a5 ? 32. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求 S1 ? 2S2 ?

? nSn .

14.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】 ? 2 a ? 1 ( n ? N * ) 已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1 , a . n ? 1 n
⑴求数列 ? a n ? 的通项公式;
3 n 1 ? 2? 4 ?? 4 ? a ? 1 ⑵若数列 ? b n ? 满足 44 ,求数列 ? b n ? 的通项公式. ? ? n

b ? 1 b ? 12 b ? 13

n b ? 1

n

解: (1)? ,? , a 2 a 1 a ? 1 ? 2 ( a ? 1 ) n ? 1? n? n ? 1 n 而 a1 ? 1 ,故数列 {an ?1 }是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
n n 即 a 1 ?2 ,因此 a . 2 ? 1 n? n?
3 n 1 1 2 ? ? (2)∵ 4 ,∴ 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? a ? 1 n

( 5 分)
n
b ? 2 b ? 3 b ? ? ? nb ? n 2 3 n n ,( 7 分) ? 2
2

b ? 1 b ? 12 b ? 13

nb ? 1

? ? b ? 2 b ? 3 b ? ? ? nb ? 2 n ? n ∴2 , 1 2 3 n
2

? ? b ? 2 b ? 3 b ? ? ? nb ? n ? 2 n 即2 ,① 1 2 3 n
2

[ b ? 2 bn ? ? ( ? 1 ) b ] ? ( n ? 1 ) ? 2 ( n ? 1 ) ? n ? 1 当 n≥2 时, 2 ,② 12 n ? 1
2 2

①-②得 2 ,b n b ? 2 n ? 1 n ≥ 2 1 ? ? ? n n? 可验证 n ? 1 也满足此式,因此 bn ? 1 ?

1 2 ?n≥ ?. 2 n

(10 分)

1 . (12 分) 2n 15.【2012 年上海市普通高等学校春季招生考试】 已知数列 {an } {bn } {cn }满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N ? ). 1. 设 cn ? 3n ? 6, {an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值;
2. 设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得对一切 n ? N ,均有 bn ? bk ; 3. 设 cn ? 2 ? n, an ?
n
?

1 ? (?1) n . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn }的通项公式. 2

解析:

(1) an?1 ? an ? 3,?bn?1 ? bn ? n ? 2, b1 ? 1,?b2 ? 4, b3 ? 8.
(2) an?1 ? an ? 2n ? 7,? bn?1 ? bn ? n3 , bn?1 ? bn ? 0,? n ? 4,即b4 ? b5 ? b6 ? ???, 2n ? 7

bn?1 ? bn ? 0,?n ? 3,?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,?k ? 4.

(3) an+1 ? an ? (?1)n?1,?bn+1 ? bn ? (?1)n (2n ? n),?bn ? bn?1 ? (?1)n?1 (2n?1 ? n ?1), ?b2 ? b1 ? 21 ?1, b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2), ???bn ? bn?1 ? (?1)n?1 (2n?1 ? n ?1),
当 n ? 2k (k ? N ? ), 由以上各式相加可得:

bn ? b1 ? (2 ? 22 ???? ? 2n?2 ? 2n?1 ) ? [1 ? 2 ???? ? (n ? 2) ? (n ?1)]
? 2 ? 2n?1 (?2) n 2 ? 2n n ? ? ? , 1 ? (?2) 2 3 2
2n n 5 ? ? . 3 2 3

? bn ?

当 n ? 2k ?1(k ? N * ),

bn ? bn ?1 ? (?1)

n ?1

2 ? 2n ?1 n ? 1 2n n 13 n (2 ? n) ? ? ? 1 ? (2 ? n) ? ? ? ? . 3 2 3 2 6
n

? 2n n 5 ? ? , n ? 2k ? ?3 2 3 ? bn ? ? n (k ? N * ) ?? 2 ? n ? 13 , n ? 2k ? 1 ? ? 3 2 6
16【北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期中统一考试】

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2an ? Sn ? 2n ? 1 (n ? N? ) . (Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求证:数列 ?an ? 2? 是等比数列; (Ⅲ)求数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn .

(Ⅲ)由(Ⅱ) 得: an ? 2 ? 5 ? 2n?1 ,即 an ? 5 ? 2n?1 ? 2 (n ? N ) .
?

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

则 nan ? 5n ? 2n?1 ? 2n (n ? N ) .
?
n ?1 设数列 5n ? 2 的前 n 项和为 Pn ,

?????8 分

?

?

0 1 2 n ?2 则P ? 5? n ? 2n?1 , n ? 5 ?1? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 3? 2 ? ... ? 5 ? (n ?1) ? 2 1 2 3 n?1 所以 2P ? 5n ? 2n , n ? 5 ?1? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? 2 ? ... ? 5(n ?1) ? 2 1 2 n?1 所以 ?P ) ? 5n ? 2n , n ? 5(1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2

即P n ? (5n ? 5) ? 2 ? 5 (n ? N ) .
n

?

?????11 分
n

所以数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn = (5n ? 5) ? 2 ? 5 ? 2 ? 整理得, Tn ? (5n ? 5) ? 2 ? n ? n ? 5 (n ? N ) .
n 2
?

n(n ? 1) , 2
?????13 分

17【浙江省 2012 年高三调研理科数学测试卷】
设等差数列{an}的首项 a1 为 a,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ) 若 S1,S2,S4 成等比数列,求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ) 证明: ? n∈N*, Sn,Sn+1,Sn+2 不构成等比数列. 解析:(Ⅰ) 解:设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na+

n(n ? 1) d, 2

S1=a,S2=2a+d,S4=4a+6d.由于 S1,S2,S4 成等比数列,因此
2 S2 =S1 ? S4,即得 d (2a-d)=0.所以,d=0 或 2a.

(1) 当 d=0 时,an=a; (2) 当 d=2a 时,an=(2n-1)a. ????6 分 (Ⅱ) 证明:采用反证法.不失一般性,不妨设对某个 m∈N*,Sm,Sm+1,Sm+2 构成等
2 比数列,即 Sm ?1 ? Sm ? Sm ? 2 .因此

a2+mad+

1 m(m+1)d2=0, 2



(1) 当 d=0 时,则 a=0,此时 Sm=Sm+1=Sm+2=0,与等比数列的定义矛盾; (2) 当 d≠0 时,要使数列{an}的首项 a 存在,必有①中的 Δ≥0. 然而 Δ=(md)2-2m(m+1)d2=-(2m+m2)d2<0,矛盾. 综上所述,对任意正整数 n,Sn,Sn+1,Sn+2 都不构成等比数列. ????14 分

18【惠州市 2012 届高三第二次调研考试数学试题】
已知数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ?

1 2

7 1 ,且 b1 ? , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 4

(1)求证:数列 {bn ? } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; (2)如果对于任意 n ? N * ,不等式
* 解: (1)对任意 n ? N ,都有 bn ?1 ?

1 2

12k ? 2n ? 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12 ? n ? 2Tn

1 1 1 1 1 bn ? ,所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) 2 4 2 2 2 1 1 1 则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? ? 3 ,公比为 ????2 分 2 2 2 1 1 n ?1 1 n ?1 1 所以 bn ? ? 3 ? ( ) , bn ? 3 ? ( ) ? ????4 分 2 2 2 2 1 n ?1 1 (2)因为 bn ? 3 ? ( ) ? 2 2 1 3(1 ? n ) 1 1 1 n 2 ? n ? 6(1 ? 1 ) ? n ????7 分 所以 Tn ? 3(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? ? 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 12k ? 2n ? 7 , 因为不等式 (12 ? n ? 2Tn ) 2n ? 7 * 化简得 k ? 对任意 n ? N 恒成立 ?????8 分 2n 2n ? 7 2(n ? 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ? ? n ?1 设 cn ? ,则 cn ?1 ? cn ? n 2 2n ?1 2n 2

当 n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为单调递减数列 , 当 1 ? n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为 单调递增数列 ????11 分

1 3 3 ? c4 ? c5 ? ,所以, n ? 5 时, cn 取得最大值 ????13 分 32 16 32 2n ? 7 3 * 所以, 要使 k ? 对任意 n ? N 恒成立, k ? ????14 分 n 32 2 19【浙江省名校新高考研究联盟 2012 届第一次联考】
已知等差数列 {a n } 的公差不为零,且 a 3 ? 5 , a1 , a 2 , a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? 2b2 ? 22 b3 ? L ? 2n?1bn ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 T n . (1)解:在等差数列中,设公差为 d (d ? 0) ,
2 ,? (a3 ? 2d )(a3 ? 2d ) ? (a3 ? d ) 2 , Q a1a5 ? a2

??2 分 ??4 分 ??7 分 ① ② ??10 分 ??12 分 ??14 分

化简得 5d 2 ? 10d ? 0 ,? d ? 2
? a n ? a3 ? (n ? 3)d ? 5 ? (n ? 3)2 ? 2n ? 1

(2)解: b1 ? 2b2 ? 4b3 ? L ? 2

n?1

bn ? an
n

b1 ? 2b2 ? 4b3 ? L ? 2 bn ? 2 bn?1 ? an?1
②-①得: 2 n ? bn?1 ? 2 ,?bn?1 ? 21?n 当 n ? 1 时, b1 ? a1 ? 1
?2 2?n , n ? 2 ? bn ? ? ?1, , n ? 1

n?1

?Tn ? 3 ?

1 2
n?2

20【北京市东城区 2011-2012 学年度高三数第一学期期末教学统一检测】 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 , 公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)证明:

S2 . b2

1 1 1 1 2 ? ??? ? . ≤ 3 S1 S 2 Sn 3

解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? 2, ? ? q b2 ? ?
解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) ,d ? 3.

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故 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n

, bn ? 3n?1 .

?????6 分