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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷·文科)(附答案,完全word版)

年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 文科) 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)(文科)全解析
广东佛山南海区南海中学 钱耀周 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求. 1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A={参加北京奥运会 比赛的运动员},集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员}.集合 C={参加北京奥运会比赛的 女运动员},则下列关系正确的是 A.A B B.B C C.A∩B=C D.B∪C=A 【解析】送分题呀!答案为 D. 2.已知 0<a<2,复数 z = a + i (i 是虚数单位),则|z|的取值范围是 A.(1, 3 ) 【解析】 z = B. (1, 5 ) C.(1,3) D.(1,5)

a 2 + 1 ,而 0 < a < 2 ,即 1 < a 2 + 1 < 5 ,∴1 < z < 5 ,选 B.
)

3.已知平面向量 a = (1, 2) , b = ( 2, m) ,且 a // b ,则 2a + 3b =( A, ( 5, 10) B, ( 4, 8) C, ( 3, 6) D, ( 2, 4)

【解析】排除法:横坐标为 2 + ( 6) = 4 ,选 B. 4.记等差数列的前 n 项和为 Sn ,若 S 2 = 4, S 4 = 20 ,则该数列的公差 d = ( A,2 B,3 C,6 D,7 )

【解析】 S 4 S 2 S 2 = 4d = 12 d = 3 ,选 B. 5.已知函数 f ( x ) = (1 + cos 2 x) sin 2 x, x ∈ R ,则 f ( x ) 是( A,最小正周期为 π 的奇函数 C,最小正周期为 π 的偶函数
2

)

B,最小正周期为 D,最小正周期为
2 2

π π
2 2

的奇函数 的偶函数

【解析】 f ( x ) = (1 + cos 2 x) sin x = 2 cos x sin x =

1 2 1 cos 4 x sin 2 x = ,选 D. 2 4
)

6.经过圆 x 2 + 2 x + y 2 = 0 的圆心 C,且与直线 x + y = 0 垂直的直线方程是( A, x + y + 1 = 0 B, x + y 1 = 0 C, x y + 1 = 0

D, x y 1 = 0

【解析】易知点 C 为 (1, 0) ,而直线与 x + y = 0 垂直,我们设待求的直线的方程为 y = x + b , 将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b = 1 ,故待求的直线的方程为 x y + 1 = 0 ,选 C.(或由图形快速排除得正确答案.)

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7.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分 别是 GHI 三边的中点)得到的几何体如图 2,则 该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为

【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A. 8. 命题"若函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内是减函数,则 log a 2 < 0 "的逆否命题 是( )

A,若 log a 2 ≥ 0 ,则函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内不是减函数 B,若 log a 2 < 0 ,则函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内不是减函数 C,若 log a 2 ≥ 0 ,则函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内是减函数 D,若 log a 2 < 0 ,则函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内是减函数 【解析】考查逆否命题,易得答案 A. 9,设 a ∈ R ,若函数 y = e x + ax , x ∈ R ,有大于零的极值点,则( A, a < 1
x

)

B, a > 1

C, a <

1 e

D, a >

1 e
x

【解析】 题意即 e + a = 0 有大于 0 的实根,数形结合令 y1 = e , y2 = a ,则两曲线交点在第一象限, 结合图像易得 a > 1 a < 1 ,选 A. 10,设 a, b ∈ R ,若 a | b |> 0 ,则下列不等式中正确的是( A, b a > 0 B, a + b < 0
3 3

)

C, a b < 0
2 2

D, b + a > 0

【解析】利用赋值法:令 a = 1, b = 0 排除 A,B,C,选 D. 二,填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查 了 20 位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为

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[ 45,55) , [55, 65) , [ 65, 75) , [75,85) , [85,95) 由此得到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 [55, 75) 的
人数是 . 【解析】 20 × (0.065 × 10) = 13 ,故答案为 13.

2 x + y ≤ 40, x + 2 y ≤ 50, 12.若变量 x,y 满足 则 z=3x+2y 的最大 值是________. x ≥ 0, y ≥ 0,
【解析】画出可行域,利用角点法可得答案 70. 13.阅读图 4 的程序框图,若输入 m=4,n=3,则输出 a=_______,i=________. (注:框图中的赋值符号"=" ,也可以写成"←"或":=" ) 【解析】要结束程序的运算,就必须通过 n 整除 a 的条件运算, 而同时 m 也整除 a ,那么 a 的最小值应为 m 和 n 的最小公倍 数 12,即此时有 i = 3 . (二)选择题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为

π ρ cosθ = 3, ρ = 4cosθ (ρ ≥ 0,0 ≤ θ < ) ,则曲线 C1 C2 交点的极坐标为
2

ρ = 2 3 ρ cosθ = 3 π 【解析】我们通过联立解方程组 (ρ ≥ 0,0 ≤ θ < ) 解得 π ,即两曲线的交点为 2 ρ = 4cosθ θ = 6
(2 3, ) . 6
15.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切点,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径,PC 与 圆 O 交于 B 点,PB=1,则圆 O 的半径 R=________. 【 解 析 】 依 题 意 , 我 们 知 道 PBA PAC , 由 相 似 三 角 形 的 性 质 我 们 有

π

PA PB = ,即 2 R AB

R=

PA AB 2 × 22 12 = = 3. 2 PB 2 ×1

三,解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ( x ) = A sin( x + )(a > 0, 0 < < π ), x ∈ R 的 最 大 值 是 1 , 其 图 像 经 过 点

π 1 M( , ). 3 2

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3 12 ) ,且 f (α ) = , f ( β ) = , 求 f (α β ) 的值. 2 5 13 π 1 π 1 【解析】 (1)依题意有 A = 1 ,则 f ( x ) = sin( x + ) ,将点 M ( , ) 代入得 sin( + ) = ,而 3 2 3 2 π 5 π π 0 < < π ,∴ + = π ,∴ = ,故 f ( x) = sin( x + ) = cos x ; 3 6 2 2 3 12 π ( 2 ) 依 题 意 有 cos α = , cos β = , 而 α , β ∈ (0, ) , 5 13 2
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 α , β ∈ (0,

π

3 4 12 5 ∴sin α = 1 ( )2 = ,sin β = 1 ( )2 = , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (α β ) = cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin β = × + × = . 5 13 5 13 65
17.(本小题满分 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层,每层 2000 平方米 的楼房.经测算, 如果将楼房建为 x(x≥10)层, 则每平方米的平均建筑费用为 560+48x (单位: . 元) 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ( x ) = ( 560 + 48 x ) +

2160 × 10000 10800 = 560 + 48 x + ( x ≥ 10, x ∈ Z + ) 2000 x x
令 f ′( x) = 0 得

f ′ ( x ) = 48

10800 , x2

x = 15

当 x > 15 时, f ′ ( x ) > 0

;当 0 < x < 15 时, f ′ ( x ) < 0

因此 当 x = 15 时,f(x)取最小值 f (15 ) = 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层. 18.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四 边形, 其中 BD 是圆的直径,∠ABD = 60 , ∠BDC = 45 , ADP ~ BAD . (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC = 11R ,求三棱锥 P-ABC 的体积. 【解析】 (1)∵ BD 是圆的直径 ∴

∠BAD = 90



△ ADP ~△ BAD ,

3 2 4R2 × AD DP AD 2 ( BD sin 60 ) 4 = 3R ; ∴ = , DP = = = 1 BA AD BA ( BD sin 30 ) 2 R × 2
(2 ) 在 Rt △ BCD 中, CD = BD cos 45 =

2R

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PD 2 + CD 2 = 9 R 2 + 2 R 2 = 11R 2 = PC 2

∴ PD ⊥ CD

又 ∠PDA = 90

∴ PD ⊥ 底面 ABCD

S△ ABC =

3 2 1 2 1 1 3 +1 2 ABi BC sin ( 60 + 45 ) = Ri 2 R 2 2 +2 2 = 4 R 2 2
1 3 1 3 3 +1 2 3 +1 3 R i3R = R . 4 4

三棱锥 P ABC 的体积为 VP ABC = i S△ ABC i PD = i

19.(本小题满分 13 分) 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男,女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 x 370 初三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1) 求 x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3) 已知 y ≥ 245,z ≥ 245,求初三年级中女生比男生多的概率. 【解析】 (1)∵

x = 0.19 2000



x = 380
48 × 500 = 12 2000

(2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生, 应在初三年级抽取的人数为: 名 (3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为(y,z) ; 由(2)知 y + z = 500 ,且

y, z ∈ N ,基本事件空间包含的基本事件有:

(245,255)(246,254)(247,253) , , ,……(255,245)共 11 个 事件 A 包含的基本事件有: (251,249)(252,248)(253,247) , , ,(254,246),(255,245) 共5个

∴ P ( A) =

5 11

20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 设 b > 0 ,椭圆方程为 2 + 2 = 1 ,抛物线方程为 x 2 = 8( y b) .如图 6 所示,过点 2b b F (0,b + 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过
椭圆的右焦点 F1 . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左,右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .

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【解析】 (1)由 x = 8( y b) 得 y =
2

1 2 x +b, 8

当 y = b + 2 得 x = ±4 ,∴ G 点的坐标为 (4, b + 2) ,

y' =

1 x , y ' |x = 4 = 1 , 4

过点 G 的切线方程为 y (b + 2) = x 4 即 y = x + b 2 , 令 y = 0 得 x = 2 b ,∴ F1 点的坐标为 (2 b, 0) ,由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b, 0) ,

∴ 2 b = b 即 b = 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为

x2 + y 2 = 1 和 x 2 = 8( y 1) ; 2

(2) 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,∴ 以 ∠PAB 为直角的 Rt ABP 只有一个, ∵ 同理∴ 以 ∠PBA 为直角的 Rt ABP 只有一个. 若以 ∠APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x,

1 2 x + 1) , A , B 两点的坐标分别为 ( 2, 0) 和 8

( 2, 0) , 1 1 4 5 2 PAi PB = x 2 2 + ( x 2 + 1) 2 = x + x 1 = 0 . 8 64 4
关于 x 的二次方程有一大于零的解,∴ x 有两解,即以 ∠APB 为直角的 Rt ABP 有两个,
2

因此抛物线上存在四个点使得 ABP 为直角三角形. 21.(本小题满分 14 分) 设数列 {an } 满足 a1 = 1 , a2 = 2 , an =

1 (an 1 + 2an 2 ) 3

(n = 3, 4,) .数列 {bn } 满足

b1 = 1, bn (n = 2,3,) 是 非 零 整 数 , 且 对 任 意 的 正 整 数 m 和 自 然 数 k , 都 有

1 ≤ bm + bm +1 + + bm + k ≤ 1 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)记 cn = nan bn ( n = 1, 2,) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn . 【解析】 (1)由 an = 又

1 (an 1 an 2 ) 得 3

2 an an 1 = (an 1 an 2 ) 3

(n ≥ 3) 2 的等比数列, 3

a2 a1 = 1 ≠ 0 , ∴ 数 列 {an +1 an } 是 首 项 为 1 公 比 为

2 an +1 an = 3

n 1

an = a1 + (a2 a1 ) + (a3 a2 ) + (a4 a3 ) + + (an an 1 )

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2 2 2 = 1+1+ + + + 3 3 3

2

n 2

2 1 3 = 1+ 2 1+ 3

n 1

8 3 2 = 5 5 3

n 1

,

1 ≤ b1 + b2 ≤ 1 由 1 ≤ b2 ≤ 1 b ∈ Z,b ≠ 0 2 2

1 ≤ b2 + b3 ≤ 1 得 b2 = 1 ,由 1 ≤ b3 ≤ 1 b ∈ Z,b ≠ 0 3 3



b3 = 1 ,…
当 n 为奇数时

1 当 n 为偶数时 同理可得当 n 为偶数时, bn = 1 ;当 n 为奇数时, bn = 1 ;因此 bn = -1
n 1 8 3 2 当 n 为奇数时 n n 5 3 (2) c = na b = 5 n n n n 1 3 2 8 当 n 为偶数时 n n 5 5 3

S n = c1 + c2 + c3 + c4 + + cn

当 n 为奇数时,
0 1 2 3 n1 8 8 8 8 8 3 2 2 2 2 2 Sn = ( 2 × + 3× 4 × ++ n) 1× + 2 × + 3× + 4 × ++ n 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3

=

4 ( n + 1) 5

0 1 2 3 n 1 3 2 2 2 2 2 1× + 2 × + 3 × + 4 × + + n 5 3 3 3 3 3

当 n 为偶数时
0 1 2 3 n1 8 8 8 8 8 3 2 2 2 2 2 Sn = ( 2 × + 3× 4 × + n) 1× + 2 × + 3× + 4 × ++ n 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3

=

0 1 2 3 n 1 4n 3 2 2 2 2 2 1× + 2 × + 3 × + 4 × + + n 5 5 3 3 3 3 3

令 Tn = 1× + 2 × + 3 × + 4 × + + n

2 3

0

2 3

1

2 3

2

2 3

3

2 3
4

n 1

……①

①×

2 得: 3

2 2 2 2 2 2 Tn = 1× + 2 × + 3 × + 4 × + + n 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 Tn = 1 + + + + + + 3 3 3 3 3 3
2 1 n n 3 n 2 = 3 3+ n 2 = ( ) 2 3 3 1 3
n

1

2

3

n

……②

1

2

3

4

n 1

①-②得:

2 n 3

n



2 Tn = 9 ( 9 + 3n ) 3

n

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4n 23 9 ( n + 3) 2 n + 当 n 为奇数时 5 5 3 因此 S n = n 4n + 27 9 ( n + 3) 2 当 n 为偶数时 5 + 5 3

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