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惠州市2016高三第二次调研考试数学(文科)


惠州市 2016 届高三第二次调研考试



学(文科)

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的 姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)若集合 A ? y y ? 2 (A) ? 0,3?

?

x

? , B ? {x | x

2

? 2x ? 3 ? 0, x ? R} ,那么 A ? B =(
(C) ? 3, ?? ? ) (D)第四象限 ) (D) 10

)

(B) ? ?1,3?

(D) ? 0, ?1? ? ? 3, ?? ?

(2)在复平面内,复数 (A)第一象限

1 ? i 所对应的点位于( 1? i
(B)第二象限

(C)第三象限

5 3 (3)已知 f ( x) ? ax ? bx ? sin x ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? (

(A) ?26

(B) 26

(C) ?10

(4)设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点, O 为任意一点, 则 OA ? OB ? OC ? OD ? ( (A) OM (B) 2OM ) (C) 3OM (D) 4OM

(5)函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? (其中 A ? 0, ? ?

?
2

)的图像

?

7?

如图所示,为了得到 g ? x ? ? sin 2 x 的图像,则只需将 f ( x ) 的图像( )

x

(A)向左平移

? 个长度单位 3 ? 个长度单位 6

(B)向右平移

? 个长度单位 3

(C)向左平移

(D)向右平移

? 个长度单位 6

文科数学试题

第 1 页(共 14 页)

(6)已知函数 f ? x ? 的图像是连续不断的,有如下的 x , f ? x ? 的对应表

x
f ? x?

1 136.13

2 15.552

3 -3.92 )

4 10.88

5 -52.488

6 -232.064

则函数 f ? x ? 存在零点的区间有( (A)区间 ?1, 2? 和? 2,3? (C)区间 ? 2,3?、 ?3,4?和?4,5 ?

(B)区间 ?2,3? 和?3,4? (D)区间 ?3,4?、 ?4,5?和?5,6 ? )

(7)直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦长为( (A)1 (B)2 (C)4 (D) 4 6

(8)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面中,面积最大的 面的面积是( (A)8 ) (B)10 (C) 6 2 (D) 8 2

(9) 数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 1, 且 则数列 {an } 的第 100 项为( (A)

an ? an ?1 a ?a ? n n ?1 (n ? 2) , an ?1 ? an an ? an ?1
)

1 2100

(B)

1 250

(C)

1 100
)

(D)

1 50

(10)如图所示程序框图,输出结果是( (A)5 (B)6

(C)7

(D)8

(11)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别 为 75 , 30 ,此时气球的高是 60m ,则河流的宽度 BC 等于 ( ) (A) 120( 3 ?1)m (C) 240( 3 ?1)m (12) 已知双曲线 (B) 180( 2 ?1)m (D) 30( 3 ? 1)m
0 0

x2 y2 ? ? 1? 0 ? b ? 2 ? 与 x 轴交于 A, B 4 ? b2 b 2
)

两点,点 C ? 0, b? ,则 ?ABC 面积的最大值为( (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

文科数学试题

第 2 页(共 14 页)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)函数 f ( x) ? ln x 的图像在 x ? 1 处的切线方程是 (14) 已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直, 则 cos( .

2015? ? 2? ) 的值为_____. 2

?x ? 2 y ? 4 ? 0 y ?1 ? (15)已知变量 x, y 满足 ? x ? 2 ,则 的取值范围是_________. x ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
(16)记集合 A ?

?? x, y ? | x

2

? y 2 ? 16? ,集合 B ? ?? x, y ? | x ? y ? 4 ? 0, ? x, y ? ? A? 表示的平面区

域分别为 ?1 , ?2 . 若在区域 ?1 内任取一点 P ? x, y ? , 则点 P 落在区域 ? 2 中的概率为____. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 为了解惠州市的交通状况,现对其 6 条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10。规定评 估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表: 评估的平均得分 全市的总体交通状况等级

(0, 6)
不合格

[6,8)
合格

[8,10]
优秀

(I)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级; (II)用简单随机抽样方法从这 6 条道路中抽取 2 条,它们的得分组成一个样本,求该样本的平 均数与总体的平均数之差的绝对值不超过 0 .5 的概率.

(18) (本小题满分 12 分) 如图,已知 ?F ? 平面 ?? CD ,四边形 ???F 为矩形,四边形 ?? CD 为直角梯形,

?D?? ? 90? ,?? //CD ,?D ? ?F ? CD ? 2 ,?? ? 4 .
(I)求证: ?C ? 平面 ? C? ; (II)求三棱锥 ? ? ? CF 的体积.

文科数学试题

第 3 页(共 14 页)

(19) (本小题满分 12 分) 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? 2a n (n ? N *) . (I)证明:数列 {a n ? 1} 为等比数列,并求数列{ a n }的通项公式; (II)数列{ bn }满足 bn ? a n ? log 2 (a n ? 1)(n ? N *) ,其前 n 项和为 Tn , 试求满足 Tn ?

n2 ? n ? 2015 的最小正整数 n. 2

(20) (本小题满分 12 分)

x2 y2 1 F2 ,其离心率 e ? ,点 P 为椭 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1、 2 a b
圆上的一个动点, ?PF 1F 2 面积的最大值为 4 3 . (I)求椭圆的方程; (II)若 A、B、C、D 是椭圆上不重合的四个点, AC与BD 相交于点 F1 , AC ? BD ? 0 , 求 AC ? BD 的取值范围.

??? ? ??? ?

????

??? ?

(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ?

1 2 x ? ? a ? b ? x ? ab ln x (其中 e 为自然对数的底数, a ? e , b ? R ) ,曲 2

线 y ? f ? x ? 在点 e, f ? e? 处的切线方程为 y ? ? (I)求 b 的值;

?

?

1 2 e . 2

(II)若对任意 x ? ? , ?? ? ,函数 f ? x ? 有且只有两个零点,求 a 的取值范围.

?1 ?e

? ?

文科数学试题

第 4 页(共 14 页)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分. 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的
?

中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (I)求证: DE 是圆 O 的切线; (II)求证: DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB .

A
E

O
M

B
(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

D

C

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数) , 以坐标原点为极点, 3 ? y? t ? ? 2

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos ? .
(I)求直线 l 的极坐标方程; (II)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 1 (a ? 0) , g ( x) ? x ? 2 . (I)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (II)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

文科数学试题

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惠州市 2016 届第二次调研考试文数命题细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 模 块 集合、函数 复数 函数 平面向量 三角函数 函数与方程 解析几何初步 立体几何 数列 算法与框图 解三角形 不等式、圆锥曲线 导数 三角函数 不等式 概率 概率 立体几何 数列 解析几何 导数与函数 几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 知识点 集合运算;函数与不等式. 复数的化简与运算 奇偶性 向量的三角形法则和平行四边形法则 三角函数图像性质 函数的零点存在定理 直线与圆 三视图 等差数列 算法与框图 解三角形 双曲线的焦点与基本不等式 切线方程 诱导公式与同角三角函数求值 线性规划求最值 几何概型 1.平均值;2.等可能事件的概率. 线面位置关系与体积计算 通项;等比数列,数列求和 轨迹方程、椭圆中的范围问题 含参数问题与导数综合运用 考点:1、弦切角定理;2、相似三角形 参数方程与极坐标 绝对值不等式 分值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 12 12 12 12 12 10 10 10

文科数学试题

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惠州市 2016 届高三第二次调研考试 文科数学参考解答: 一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 D
x

5 D

6 C

7 C

8 B

9 D

10 B

11 A

12 B

1、 【解析】 A ? y y ? 2 2、 【解析】

?

?= ? y y ? 0? , B ? ?x x ? 3或x ? ?1? ,所以 A ? B ? ?x x ? 3?,故选 C.

1 1? i 1? i ?i ? ?i ? ,选 A. 1? i 2 2

3、 【解析】 f (2) ? f ( ?2) ? ?16, f (2) ? ?26 ,选 A. 4、 【解析】在△OAC 中,M 为 AC 中点,根据平行四边形法 则,有 OA ? OC ? 2OM ,同理有 OD ? OB ? 2OM ,故

?? ? ????

???? ?

?? ? ??? ?

???? ?

??? ? ???? ??? ? ???? ???? ? OA ? OC ? OB ? OC ? 4 OM ,选 D.
5、 【解析】选 D. 6、 【解析】因为 f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,所以在区间[2,3],[3,4],[4,5]内有零 点, 选 C. 7、 【解析】圆心 (1, 2) ,圆心到直线的距离 d ?

1+4-5+ 5 5

=1 ,半径

r ? 5 ,所以最后弦长为 2 ( 5) 2 ? 12 ? 4 .故选C.
8、 【解析】根据几何体的三视图确定几何体的形状,并画出几何体的直观 图,标示已知线段的长度,最后求各个面的面积确定最大值.将三视图还 原成几何体的直观图,如图所示.由三视图可知,四面体的四个面都是直 角三角形,面积分别为 6,8,10,6 2,所以面积最大的是 10, 选 B. 9、 【解析】

an ? an ?1 a ?a ? n n ?1 (n ? 2) 两边取倒数可得: 1 ? 1 ? 1 ? 1 an ?1 ? an an ? an ?1 an an?1 an?1 an

,所以 ?

?1? ? ? an ?

是等差数列,首项 选 D.

1 1 1 1 1 1 1 1 ,故 ? ,公差 d= 1 ? ? ,所以 ? ? ?100 ? 1? ? 50 ? a100 ? 2 2 a1 2 a100 2 2 50
文科数学试题 第 7 页(共 14 页)

10、 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算并输出 i 值. 解:根据题意,本程序框图中循环体为“直到型”循环结构 第 1 次循环:S=0+1=1,i=2,a=1×2+1=3; 第 2 次循环:S=1+3=4,i=3,a=3×3+4=13; 第 3 次循环:S=4+13=17,i=4,a=13×4+17=69; 第 4 次循环:S=17+69=86,i=5,a=69×5+86=431; 第 5 次循环:S=86+431=517,i=6,a=431×6+517≥500; 跳出循环,输出 i=6.故选 B. 11、 【解析】 AC ? 120 , AB ? 所以 BC ?

60 AB BC ? , , ? ? sin 75 sin 30 sin 45?

AB sin 45? 60 ? 2 ? ? 120( 3 ? 1) .选 A ? sin 30 sin(30? ? 45? )

12、 【解析】由题意 A, B 两点为 (? 4 ? b2 ,0) ,因此

S ?ABC ? b 4 ? b 2 ? b 2 (4 ? b 2 ) ?
成立.故最大值为 2,选 B. 13、答案: y ? x ? 1

b2 ? (4 ? b2 ) 2 2 ?2, 当且仅当 b ? 4 ? b , 即 b ? 2 时等号 2

【解析】 (1)求切点:把 x ? 1 带入原函数,解得 y=0,所以切点为 (1, 0) (2)求斜率: f '( x ) ? 14、答案: ?

1 , f '(1) ? 1, 根据点斜式写出方程: y ? x ? 1 x

4 5 2015? ?2sin ? cos ? 2 tan ? 4 ? 2? ) ? ? sin 2? ? ?? ?? 2 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5

【解析】? tan ? ? 2 , cos( 15、答案: [ , ]

1 3 4 2

【解析】 根据题 意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示, 即 ?ABC 的边界及其内部, 因为

y ?1 表示可行域内一点 ? x, y ? 和点 P ? ?2, ?1? 连线的 x?2 y ?1 ? k PC ,根据原不等式组解得 x?2
文科数学试题 第 8 页(共 14 页)

斜率,由图可知 k PB ?

B ? 2,0? , C ? 0, 2? ,
所以

0 ?1 y ?1 2 ?1 1 y ?1 3 ? ? ? ? ? . 2?2 x?2 0?2 4 x?2 2
3? ? 2 4?
O

y B

16、答案:

【解析】 如图, 集合 A 表示的点集是圆 O 内部 (含边界) , 集合 B 表示的点集是直线 AB 下方的弓形区域, S圆 ? ? ? 4 ? 16? ,
2

A x

S弓 ? P?

3 1 ? 16? ? ? 4 ? 4 ? 12? ? 8 , 因 此 所 求 概 率 为 4 2

12? ? 8 3? ? 2 ? . 16? 4?

17、 (本小题满分 12 分) (I)6 条道路的平均得分为

1 (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ? 7.5 6

????3 分

∴该市的总体交通状况等级为合格. ????5 分 (II)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 .5 ”. ????7 分 从 6 条道路中抽取 2 条的得分组成的所有基本事件为:

(5,6) , (5,7) , (5,8) , (5,9) , (5,10) , (6,7) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) , (7,10) , (8,9) , (8,10) , (9,10) ,共 15 个基本事件
????9 分

事件 A 包括 (5,9) , (5,10) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) 共 7 个基本事件,???10 分 ∴ P ( A) ?

7 . ??????????????11 分 15 7 .????12 分 15

答:该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 .5 的概率为 18. (本小题满分 12 分)

解: (I) 过 C 作 CM ? AB , 垂足为 M , 因为 AD ? DC, 所以四边形 ADCM 为矩形. ???? 2分 所以 AM ? MB ? 2 ,又因为 AD ? 2, AB ? 4 所以 AC ? 2 2 , CM ? 2 , BC ? 2 2
2 2 2 所以 AC ? BC ? AB ,所以 AC ? BC ;????4 分

因为 AF ? 平面 ABCD , AF // BE, 所以 BE ? 平面 ABCD ,所以 BE ? AC ,??6 分
文科数学试题 第 9 页(共 14 页)

又因为 BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BE ? BC ? B 所以 AC ? 平面 BCE .??????????????????????8 分 (II)因为 AF ? 平面 ABCD ,所以 AF ? CM , 又因为 CM ? AB , AF ? 平面 ABEF, AB ? 平面 ABEF, AF ? AB ? A 所以 CM ? 平面 ABEF.??10 分

1 1 1 1 8 ? VC ? BEF ? S ?BEF ?CCM ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? ????????12 分 VE ?BCF ?V ?BEF ? 3 3 2 6 3
19、 (本小题满分 12 分) (I)解析:当 n ? 1时, a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 1 ???1 分

Sn ? n ? 2an ,①

当 n ? 2时, Sn?1 ? (n ? 1) ? 2an?1 ②

①-②得 an ? 1 ? 2an ? 2an?1 即 an ? 2an?1 ? 1 ???????????????3 分 即 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1)(n ? 2) 又 a1 ? 1 ? 2 所以 ?an ?1 ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列???????????4 分 即 an ? 1 ? 2n 故 an ? 2n ? 1( n ? N )?????????????5 分
*

(II) bn ? (2n ?1)n ? n ? 2n ? n ????6 分 设 Kn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ...... ? n ? 2n ………………………①

2Kn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ...... ? n ? 2n?1 ………………………………②??7 分
①-②得 ?Kn ? 2 ? 22 ? 23 ? ...... ? 2n ? n ? 2n?1

Kn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ????????????????????????9 分
即 Kn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ,
n ?1 ∴ Tn ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 ?

n(n ? 1) ,???????????10 分 2

Tn ?

n2 ? n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2015 ? n ? 8 ,????????11 分 2

∴满足条件的最小正整数 n ? 8 ????????????????12 分. 20、解: (I)由题意得,当点 P 是椭圆的上、下顶点时, ?PF 1F 2 的面积取最大值??1 分 此时 S ?PF1F2 ?

1 F1 F2 ?OP ? bc,? bc ? 4 3 ??2 分 2
文科数学试题 第 10 页(共 14 页)

1 ? e ? , b ? 2 3, a ? 4 ??3 分 2
所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ??4 分 16 12

(II)由(I)得,则 F1 的坐标为 ?? 5 分 (? 2,0) 因为 AC ?BD ? 0 ,所以 AC ? BD ①当直线 AC 与 BD 中有一条直线斜率不存在时,易得 AC ? BD ? 6 ? 8 ? 14

??? ? ??? ?

????

??? ?

??6 分

②当直线 AC 斜率 k 存在且k ? 0 时,其方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 A( x1 , y1 ),C( x2, y2 )

? y ? k ( x ? 2) ? 则点 A、C 的坐标是方程组 ? x 2 y 2 的解, ?1 ? ? ? 16 12

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 ????7 分
x1 ? x2 ? ?16k 2 16k 2 ? 48 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
????????8 分

???? 24(k 2 ? 1) AC ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2
此时直线 BD 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 2) ???????????????????9 分 k

1 ? y ? ? ( x ? 2) ???? ? 24(k 2 ? 1) ? ? k BD ? 同理由 ? 2 可得 2 4 ? 3k 2 ? x ? y ?1 ? ? 16 12

? 24(k 2 ? 1) 24(k 2 ? 1) ???? ???? 168(k 2 ? 1)2 AC ? BD ? ? ? 4 ? 3k 2 3 ? 4k 2 (4 ? 3k 2 )(3 ? 4k 2 ) ????????10 分
令 t ? k ? 1,则 AC ? BD ?
2

??? ?

???? ?

168 (t ? 1) t ?1 12 ? 2 t ??????????11 分 168 96 ? [ ,14) t ?1 7 12 ? 2 t

? t ? 1,0 ?

? ? ???? t ? 1 1 ??? ? , AC ? BD ? t2 4
??? ?

综上, AC ? BD 的取值范围是 [

????

96 ,14] ??????????12 分 7
第 11 页(共 14 页)

文科数学试题

21.解:(I) f ?( x) ? x ? (a ? b) ?

ab ( x ? a )( x ? b) ???2 分 ? x x

? f ?(e) ? 0 , a ? e

? b ? e ???3 分
1 2 ( x ? a )( x ? e) x ? (a ? e) x ? ae ln x , f ?( x) ? x 2

(II)由(I)得 f ( x) ? ①当 a ?

1 1 时,由 f ?( x)>0 得 x ? e ;由 f ?( x) ? 0 得 ? x ? e ???????4 分 e e 1 e

此时 f ( x) 在 ( , e) 上单调递减,在 (e, ? ?) 上单调递增.

1 1 ? f (e) ? e 2 ? (a ? e)e ? ae ln e ? ? e 2 ? 0 , 2 2 f (e 2 ) ? 1 4 1 1 2 e ? (a ? e)e 2 ? 2ae ? e(e ? 2)(e 2 ? 2a ) ? e(e ? 2)(e 2 ? ) ? 0 ??5 分 2 2 2 e

(或当 x ? ?? 时, f ( x) ? 0 亦可)? 要使得 f ( x) 在 [ , ??) 上有且只有两个零点, 则只需 f ( ) ?

1 e

1 e

1 ? 2e 2 1 a?e 1 (1 ? 2e 2 ) ? 2e(1 ? e 2 )a a ? ,即 ?6 分 ? ? 0 ? ? ae ln 2e 2 2e(1+e 2 ) 2e 2 e e

②当

1 1 ? a ? e 时,由 f ?( x)>0 得 ? x ? a 或 x ? e ;由 f ?( x) ? 0 得 a ? x ? e . 此时 f ( x) 在 e e

1 (a, e) 上单调递减,在 ( , a) 和 (e, ? ?) 上单调递增. ????????7 分 e
此时 f (a ) ? ? a 2 ? ae ? ae ln a ? ? a 2 ? ae ? ae ln e ? ? a 2 ? 0 , ? 此时 f ( x) 在 [e, ? ?) 至多 只有一个零点,不合题意???8 分 ③当 a ? e 时,由 f ?( x) ? 0 得

1 2

1 2

1 2

1 ? x ? e 或 x >a ,由 f ?( x) ? 0 得 e ? x ? a ,???9 分 e

1 1 f ( x) 在 ( , e) 和 (a, ? ?) 上单调递增,在 (e, a) 上单调递减,且 f (e) ? ? e 2 ? 0 ,?10 分 e 2 1 ? f ( x) 在 [ , ??) 至多只有一个零点,不合题意?????????11 分 e
综上所述, a 的取值范围为 (??, 22.(本小题满分 10 分)
文科数学试题 第 12 页(共 14 页)

1 ? 2e 2 ] ???12 分 2e(1+e 2 )

解: (I)连结 OE .∵点 D 是 BC 的中点,点 O 是 AB 的中点, ∴ OD // ?

1 AC ,∴ ?A ? ?BOD , ?AEO ? ?EOD . 2

A E

∵ OA ? OE ,∴ ?A ? ?AEO , ∴ ?BOD ? ?EOD .在 ?EOD 和 ?BOD 中, ∵ OE ? OB ,??EOD ? ?BOD ,
? ∴ ?OED ? ?OBD ? 90 ,即 OE ? ED .

O
M B
??5 分

D

C

∵ E 是圆 O 上一点,∴ DE 是圆 O 的切线.

(II)延长 DO 交圆 O 于点 F .∵ ?EOD ≌ ?BOD ,∴ DE ? DB . ∵点 D 是 BC 的中点,∴ BC ? 2 DB . ∵ DE , DB 是圆 O 的切线,∴ DE ? DB .∴ DE ? BC ? DE ? 2DB ? 2DE2 . ∵ AC ? 2OD, AB ? 2OF , ∴ DM ? AC ? DM ? AB ? DM ? ( AC ? AB) ? DM ? (2OD ? 2OF ) ? 2DM ? DF . ∵ DE 是圆 O 的切线, DF 是圆 O 的割线,
2 ∴ DE ? DM ? DF ,∴ DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB ??10 分

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 23.解析: (I)将直线 l : ? ( t 为参数)消去参数 t ,化为普通方程 3 ? y? t ? ? 2

3x ? y ? 2 3 ? 0 ,????????2 分
将?

? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 .????4 分 ? y ? ? sin ?

(II)方法一: C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .??????6 分 由?

? ? x ?1 或 ? ? x ? 3 ??????8 分 ? 3x ? y ? 2 3 ? 0 解得 : ? ? ? 2 2 ? ? ? x ? y ? 4x ? 0 ?y ? ? 3 ? ?y ? 3

所以 l 与 C 交 点的极坐标分别为: (2,

5? ? ) , (2 3, ) .??????10 分 3 6

方法二:由 ?

? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ? ,?????6 分 ? ? 4 cos ? ? ?

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得: sin(2? ?

?
3

) ? 0 ,又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ??????8 分

所以 ?

?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 或 5? ? ? ?? ?? ? ? 3 ? 6 ?

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2,

5? ? ) , (2 3, ) .??????1 0 分 3 6

24.解析: (I)当 a ? 1 时, | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1|? x ? 2

1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? x? 1 2 ? x?? ?? ? x ? 2 ? 无解, ? 2 2 ? 0 ? x ? ,? 2 ? ? x ? ??3 分 ? 2 ? 2 3 ? ? ? ?4 x ? x ? 2 ? 2 ? x+2 ?4 x ? x ? 2
综上,不等式的解集为 {x 0 ? x ? } .??????5 分 (II) | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1|? x ? 2 ,转化为 | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ? 0 令 h( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ,

2 3

1 ? ? ?5 x ? a ? 3, x ? ? 2 ? 1 a ? 因为 a>0,所以 h( x) ? ?? x ? a ? 1, ? ? x ? ,???8 分 2 2 ? a ? ? 3 x ? a ? 1, x ? 2 ?
在 a>0 下易得 h( x ) min ?

a a ? 1 ,令 ? 1 ? 0, a 得 a ? 2.a ??????10 分 2 2

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