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江苏省启东中学2013-2014学年高一下学期期中考试 数学

江苏省启东中学 2013-2014 学年度第二学期期中考试

高一数学试卷
命题人:陶永花 (考试时间 120 分钟,满分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题.每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上 . .........
1.不等式

x ?1 ? 0 的解集为 x?2



. ▲ .

2.下列命题中,正确的命题个数是

① a ? b ? ac2 ? bc2 ; ② a ? b ? ac2 ? bc2 ; ③

a b ? ? ac ? bc; c c



?a ? b ?a ? b a b ? c ? 0 ;⑥ ? ?c?0 ? ? ac ? bc; ⑤ ? c c ?ac ? bc ?ac ? bc
2 , b ? 3 , ?B ?

3.在 ?ABC 中, a ?

?
3

,那么 ? A ?



. ▲ . ▲ .

4.直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 x ? (a ? 1) y ? (a 2 ? 1) ? 0 平行,则 a ?

5.已知直线 x ? a 2 y ? a ? 0(a ? 0) ,则当此直线在两坐标轴上的截距和最小时, a 的值是 6.点 P ( x, y ) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x 2 ? y 2 的最小值为
*

▲ .

7.已知数列 {an } 中,a1 ? 1, 对所有的 n ? 2, n ? N 都有 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? ?an ? n 2 ,则数列 {an } 的通项公式 为 an ? ▲ . ▲ .

8.在 ?ABC 中,已知 a ? c cos B ? b ? c cos A ,则 ?ABC 的形状是

?x ? y ? 1 ? 0 ? x 1 y 9.如果实数 x, y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 4 ( ) 的最大值为 2 ?x ? y ? 1 ? 0 ?





1) 的直线 l 到 A(1,1) 、 B(3,5) 的距离相等,则直线 l 的方程是 10.经过点 P ( 2,





11.已知 a, b, c 是 ?ABC 的三条边, a, b, c 成等差数列, a , b , c 也成等差数列,则 ?ABC 的形状 是 ▲ .

12 . 直 线 x ? 2 y ? 2k ? 0 与 两 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 不 大 于 1 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ▲ .
2

13.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? 11n ? 12 ,则此数列的前 n 项和取最小时, n = 14.若关于 x 的不等式(组) 0 ? x 2 ?






7 2n 2 x? n ? 对任意 n ? N * 恒成立,则所有这样的解 x 的 2 9 9 (2 ? 1)
1第

集合是





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)若不等式 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 {x |
2

1 ? x ? 2} , 2

(1)求 a 的值; (2)解不等式: ax ? 5x ? a ? 1 ? 0 .
2 2

16. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 4
(1)求



2第

17. (本小题满分 15 分) (1)若实数 x, y 满足: ?

?x ? y ? 1 ? 0 y ,求 的范围; x ?x ? 0
1 1 ? 的最小值; x y

(2)设正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求 (3)已知 x ?

5 1 ? 2 的最大值. ,求 y ? 4 x ? 4 4x ? 5

18. (本小题满分 15 分) 已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0, l2 : (a ? 1) x ? y ? b ? 0, 求分别满足下列条件的 a , b 的值. (1)直线 l1 过点 (?3,?1), 并且直线 l1 与直线 l 2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l 2 平行,并且坐标原点到这两直线的距离相等.



3第

19 . (本小题满分 16 分)设二次函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) ,已知无论 ? , ? 是何实数,恒有

f (sin ? ) ? 0 和 f (2 ? cos? ) ? 0 .
(1)求 b ? c 的值; (2)求证: c ? 3 ; (3)若 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b, c 的值.

20. (本小题满分 16 分) 设数列 {an } 的前 n 项的和 S n , 已知 a1 ? 1, 2S n ? na n ?1 ? (1)求 a2 的值; (2)证明:数列 {

1 3 2 n ? n 2 ? n, n ? N * . 3 3

an } 是等差数列,并求出数列 {an } 的通项公式; n

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 7 ? ? ? ?????? ? ? . a1 a2 a3 an 4



4第

江苏省启东中学 2013-2014 学年度第二学期期中考试

高一数学答案
1. (?2,1] ; 2. 4 ; 3.

? ; 4

4. -1 ; 5. 1;

6.8;

?1( n ? 1) ? 7. a n ? ? n 2 ;8.等腰三角形或直角三角形;9.2;10. 2 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 2 ; ( n ? 2 ) 2 ? ( n ? 1) ?
11.等边三角形;12. ? 1 ? k ? 0 或 0 ? k ? 1 ;13.11 或 12;14. {?1, }

2 9

15. (本小题满分 14 分)若不等式 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 {x |
2

1 ? x ? 2} , 2

(1)求 a 的值; (2)解不等式 ax ? 5x ? a ? 1 ? 0 .
2 2

? ?a ? 0 ? ? 5 1 解: (1)由题意得: ?? ? ? 2 ? a 2 ? 2 1 ? ? ?2 ? ? a 2
解得 a ? ?2
2 (2)由(1)得 a ? ?2 ,故原不等式化为 ? 2 x ? 5 x ? 3 ? 0

…………… 4 分

…………… 7 分 …………… 10 分 …………… 14 分

? 2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 ? ?3 ? x ?
所以不等式的解集为 ( ?3, ) .

1 2

1 2

16. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 4 2c ? a 2 sin C ? sin A ? (1)解:由正弦定理得: b sin B cos A ? 2 cos C 2c ? a ? 由已知 cos B b
(1)求 故

…………… 3 分

cos A ? 2 cos C 2 sin C ? sin A ? ? sin B cos A ? 2 sin B cos C ? 2 cos B sin C ? cos B sin A cos B sin B
页 5第

? sin B cos A ? cos B sin A ? 2 sin B cos C ? 2 cos B sin C

? sin( A ? B) ? 2 sin(B ? C )
在 ?ABC 中 sin( A ? B) ? sin C, sin(B ? C ) ? sin A

…………… 5 分

? sin C ? 2 sin A ?

sin C ?2 sin A

…………… 7 分

(2)解:在 ?ABC 中,由 cos B ? 由(1)得

1 15 , ? sin B ? 4 4

…………… 9 分

sin C ? 2 ? c ? 2a sin A
2 2 2 2 2

由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? a ? 4a ? 2a ? 2a ? 解得: a ? 1, b ? 2 ? S ?ABC ?

1 …………… 12 分 4
…………… 14 分

1 15 15 ? 1? 2 ? ? 2 4 4

17. (本小题满分 15 分) (1)若实数 x, y 满足: ?

?x ? y ? 1 ? 0 y ,求 的范围; (1,??) x ?x ? 0

(2)设正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求 (3)已知 x ?

1 1 ? 的最小值; 3 ? 2 2 x y

5 1 ? 2 的最大值.1 ,求 y ? 4 x ? 4 4x ? 5

18. (本小题满分 15 分) 已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0, l2 : (a ? 1) x ? y ? b ? 0, 求分别满足下列条件的 a , b 的值. (1)直线 l1 过点 (?3,?1), 并且直线 l1 与直线 l 2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l 2 平行,并且坐标原点到这两直线的距离相等. 解: (1)由题意得: ?

?? 3a ? b ? 4 ? 0 ?a(a ? 1) ? b ? 0
…………… 4 分

解得: ?

?a ? 2 ?b ? 2
a ? 1 ? a(a ? 0, b ? 0, a ? 1) b
6第

…………… 6 分

(2)由直线 l1 与直线 l 2 平行得:


a ① 1? a a 4(a ? 1) ? l1 : ax ? y ? 4 ? 0 即 (a ? 1) x ? y ? ?0 1? a a ?b?
由坐标原点到两直线的距离相等得:原点在直线 (a ? 1) x ? y ?

…………… 8 分

b?

b?

4(a ? 1) ?0 a

4(a ? 1) a ? 0 可得: 2
…………… 12 分



解①②得:

2 ? ?a ? 2 ?a ? 或 ? 3 ? ?b ? ?2 ? ?b ? 2

…………… 15 分

19 . (本小题满分 16 分)设二次函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) ,已知无论 ? , ? 是何实数,恒有

f (sin ? ) ? 0 和 f (2 ? cos? ) ? 0 .
(1)求 b ? c 的值; (2)求证: c ? 3 ; (3)若 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b, c 的值. (1) 解:因为 ? 1 ? sin ? ? 1,1 ? 2 ? cos? ? 3 ,所以由题意得:当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 恒成 立;当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 0 恒成立; 所以有 f (1) ? 0 …………… 4 分 …………… 5 分 ……………8 分

? 1 ? b ? c ? 0 ? b ? c ? ?1
(2)证明:由(1)得: f (3) ? 0 ? 9 ? 3b ? c ? 0(*)

又因为 b ? c ? ?1 ? b ? ?1 ? c 代入 (*)式得: 9 ? 3(?1 ? c) ? c ? 0 ? c ? 3 ……… 10 分 (3)因为 f (sin ? ) 的最大值为 8 ,可得 f (?1) ? 8 所以 1 ? b ? c ? 8 …………… 14 分

解?

?1 ? b ? c ? 8 ?b ? ?4 得? . ?c ? 3 ?b ? c ? ?1

…………… 16 分

20. (本小题满分 16 分) 设数列 {an } 的前 n 项的和 S n , 已知 a1 ? 1, 2S n ? na n ?1 ? (1)求 a2 的值;
页 7第

1 3 2 n ? n 2 ? n, n ? N * . 3 3

(2)证明:数列 {

an } 是等差数列,并求出数列 {an } 的通项公式; n

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 7 ? ? ? ?????? ? ? . a1 a2 a3 an 4
1 2 ? 1 ? , S1 ? a1 ? 1 ,解得: a2 ? 4 … 3 分 3 3

(1)解:依题意:当 n ? 1 时 2 S1 ? 1? a 2 ?

1 2 ? 2S n ? nan?1 ? n 3 ? n 2 ? n ? ? 3 3 (2) 证明: ? ?2S ? (n ? 1)a ? 1 (n ? 1) 3 ? (n ? 1) 2 ? 2 (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 3 3 ?
两式相减得: 2a n ? na n ?1 ? (n ? 1)a n ? (3n ? 3n ? 1) ? (2n ? 1) ?
2

…………… 5 分

1 3

2 (n ? 2) 3

整理得:

an a n?1 a a ? ? 1 ? n?1 ? n ? 1(n ? 2) ……6 分 n n ?1 n ?1 n a a a a * 又 2 ? 1 ? 1? 对任意 n ? N 都有 n ?1 ? n ? 1 …………… 7 分 2 1 n ?1 n a 故数列 { n } 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列, …………… 8 分 n a 2 所以 n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n,? a n ? n …………… 10 分 n (n ? 1)a n ? na n?1 ? n(n ? 1)( n ? 2) ?
(3)证明:由(2)得: an ? n 2

? ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?????? ? ? a1 a2 a3 a4 a5 an?1 an 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?????? ? ? 2 2 2 1 2 3 4 5 (n ? 1) n

? 1?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?????? ? ? 4 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 2)(n ? 1) (n ? 1)n 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? 4 2 3 3 4 4 5 n ? 2 n ?1 n ?1 n 5 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4

…………… 16 分

所以得证.



8第


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