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由一道课本例题带来的日常教学思考


小议“1+x” ? “1+1+??+1”
——由一道课本例题讲解带来的日常教学思考 墨红镇中学 李应稳

【摘要】 根据数学内容的性质,数学教学一般可分为概念教学、命题(主要有定理、公式、法则、性质)教学、 例题教学、习题教学、总结与复习教学等五类。相应地,例题教学贯穿这5类教学之中,起着承上启下的 作用。新课改中数学学习的基本要求更多地放在了学习有效性上,数学学科本身又具备其鲜明的特点:在 我们的学案中例题的教学可以说是一节课的重头戏,一方面例题数量占有绝对多的篇幅,另一方面例题的 教学时间占整堂课的 80%到 90%。因此把例题教好,是我们教学的主要任务。 “一道例题加 n 个后缀”是 一种例题教学的思路; “一道例题加一道例题?”也是一种例题教学的思路。那么如何更好地进行例题教 学?笔者根据自己在教学一线的实践,以例题教学为例,着重论述如何实施数学例题“1+x”式在教学中 的优势。 【关键词】变式;阶段;选择;讲解;准则;积累;

一、

课本上的一道例题:

浙教版八上《3.2 直棱柱的表面展开图》P58 书本例题:如图,有一长方体形的房间,地面为边长 4 米的正方形,房间高 3 米.一只蜘蛛在 A 处, 一只苍蝇在 B 处. C ⑴试问,蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少? B ⑵若苍蝇在 C 处,则最短路程是多少? (ⅰ)教材分析: 1.教学目标: A (1)了解直棱柱的表面展开图的概念; (2)会判断一个平面图形是否直棱柱的表面展开图,培养学生的空间想象能力; (3)会画简单直棱柱的表面展开图; (4)能根据展开图判断和制作立体模型; 2.教学重点: (1)直棱柱的表面展开图的想象与判断; (2)画展开图; 3.教学难点: (1)立方体的表面展开图的辨认; (2)表面展开图的应用; 4.学生分析: C (1)学生首次接触空间立体图形与平面图形的相互转化; B (2)学生学习数学的心理规律,应该强调从学生已有的生活经验出发; (3)从数学过程、数学操作、数学交流、数学空间等方面强化逻辑思维; (4)学生需要经历观察、实验、猜测、尝试、推理、交流、反思等活动; A (ⅱ)教学过程: 如何解决本题呢?如果就事论事,学生知识的结构完整性达不到要求,只按书本讲例题也显单薄,何 不拓展变式延伸呢! 1. 问题引入:
1

例:如图,有一长方体形的房间,地面为边长 4 米的正方形, 房间高 3 米.一只蜘蛛在 A 处,一只苍蝇在 B 处. ⑴试问,蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少? ⑵若苍蝇在 C 处,则最短路程是多少? 2.引子铺垫: 例:如图是一个“立方体”的表面展开图吗?如果是,请分别用 1,2,3,4,5,6 中的同一个数字 表示立方体和它的展开图中各对对应的面(只要求给出一种表示方法).

2


5

1 6

3

4

通过“玩具”演示,课件引导,展示了立方体展开图的全部可能情况,结论如下:

一四一型

一三二型

三个二型

二个三型

不同的折叠方法对应了不同的填写结果.例题的原本要求是“只要求给出一种表示方法” ,而通过各小 组组内及组间的交流,我们的学生可以自然得到多种不同的表示. 3.练习巩固: 例:判断下列平面图形是否立方体的表面展开图?

2

注:让学生在“先想一想,再折一折”的活动过程中,体会“展开与折叠”的对应转化,积累经验, 建立自己的空间观念. 4.问题解决——谜底: C C A在前侧面 B C C B A A D F

AC ? 42 ? 72 ? 65m
A在左侧面 C

AC ? 82 ? 32 ? 73m

C C B G A A A B H

AC ? 82 ? 32 ? 73m
C

AC ? 42 ? 72 ? 65m
C B A在底面 B

A L A

A A M

5.例题教学后的反思: 对于立方体表面展开图这个概念的形成,由于很难下一个简洁明了的定义,所以课本先安排了一个合 作学习的栏目,让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开,且使六个面连在一起,然后铺平,得到一些平面 图形,然后再通过体例、练习和作业题来理解概念,进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。 .注重对例 题的全方位反思。例题的作用是多方面的,除上文提到的几点外,例题教学还具有传授新知识,积累数学 经验, 完善数学认知结构,提高学生解决实际问题的数学能力, 对所学知识的理解加深的作用。 更重要一点, 可以通过对例题解法的分类,归纳,总结若能得到自己得以独到见解,解决某一类问题的简便方法。才是 真正意义上的例题教学目的。 6. “变式”的思考: 如果我们改变几何体的形状背景: (ⅰ)比如在金字塔形的空间里 (ⅱ)比如在圆锥形的空间里 侧面展开图为三角形 侧面展开图为扇形

AC ? 4 ? 7 ? 65m
2 2

AC ? 42 ? 72 ? 65m

3

(ⅲ)比如在圆柱形的空间里 侧面展开图为矩形

如果学生条件允许的话老师还可以添加形如圆台、棱台、不规则几何体等等能展开成为平面的几何 体供学生发挥,也可以放手学生自己对这类问题的联想。 举一反三,由表及里。一个例题,面面俱到。开发思维,事半而功倍! 有效教学,众人喜!

二、

“好”例题的概念:

“1+x”中的“1” ,就代表一道“好”例题。上面的例题在教学中满满地占用了一节课,环节紧紧相 扣,层层叠进。同学们复习了很多,又学到了很多。感觉像是在讲一个例题,但知识点已覆盖全部。看来, 好的例题有着它以下的特别之处(但不必面面俱到) : 1. 体现教学基本内容; ① 课本是教学的核心,严格以教学大纲、课程标准为要求; ② 学生是学习的主体,严格以符合学生思维基本特点为要求; 2. 指导解题方法和思路; ① 切合实际,易于方法引导; ② 满足多层次学生,具有普遍应用的价值; 3. 适合归纳总结、研讨、交流、探究; ① 承前启后,了解、掌握、应用; ② 问题新颖,推陈出新,与时俱进; 4. 多“变式” ,多“解法” ,便于举一反三; ① 主题分支,基于问题,解决新题; ② 一个问题多种解法, “异曲同工”之效; 5. “梅开三度” ,引人入胜; ① 广度、深度、趣味度; ② 设问、反问、问了还想问; 6. “纲举目张” ; ① 一张鱼网有千个眼,但绝对需要一根主线将他们统统拎起; ② 一道例题有若干解法,但他往往围绕一个主体思想贯穿而行;

三、

例题教学的理论支持:

(ⅰ) 《新课程标准解读》中的支持:有效数学例题教学,是学生掌握数学基础知识、基本技能、基 本数学思想方法、发展能力的重要途径,也可促进学生学习态度、学习方式的改变。 (ⅱ)俗语说: “鱼儿离不开水,瓜儿离不开秧” ,同样数学教学离不开例题。例题教学是课堂教学的 主要环节,切实加强各类型例题的教学,对于学生理解和掌握数学知识,培养能力,发展智力,训练思维, 形成方法,陶冶情操等方面都具有举足轻重的作用。 (ⅲ)在新浙教版教材中所选用的例题主要围绕以下六个标准: 1.创设情境性例题; ①直接感官,看得到想得出;②主动接受,提高学生兴趣; 2.设置实验性例题; ①抽象意识,想得出做得到;②动手设计,自主建构知识;
4

3.设置开放性例题; ①思维创造,做得到摸得着;②探索争论,培养创新精神; 4.设置猜想性例题; ①疑难予设, “变”不完留着用;②变换角度,磨练意志和耐心; 5.设置规律性例题; ①敏锐观察,注意归纳综合;②举一反三;提高解题能力; 6.设置应用性例题; ①营造空间,摸得着用得到;②关注事实,学有用的数学。 (ⅳ)让学生体验到数学在他们周围世界的力量。我们的例题教学在内容选择、教学方式方法上都在 不断变化。我们会不自觉地对部分教材内容进行整合、变形,更会利用课本的现有条件充分发挥“变式” 的优势来达到补充和提高。

四、

例题教学在日常工作中的操作:

(ⅰ)例题教学的几个阶段:
1. 例题的选取阶段; 题目涉及知识要点应覆盖本节课的内容, 具有一定的梯度和一定的基础性与综合性, 要选择能体现“通 性通法”即包含最基本的教学思想方法的题目,不必追求偏、怪、难,也不要贪多,要重视一题多解、一 题多变,在培养学生解题能力中的作用 A E ① 根据教学大纲的要求对课本上的例题采取恰当的增补; F 比如:二次函数补充“交点式” ;扇形中补充圆锥侧面展开圆心角公式; ② 例题的选择要有一定的代表性,能起到举一反三的效果; 比如:问题:△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线, F 是 AD 上一点,且 AF:FD=1:5,连结 CF 并延长 B C D 交 AB 于 E.求 AE:EB 的值. A E 解 1.有学生提出要过点 D 作 DM∥AB 交 EC 于点 M. F M 用平行将比例转化 易证
AE 1 .此方法简洁明了,大多 ? BE 10

数同学都采用了这一证法。 解 2.有学生说也可以向左添辅助线, 于是有:过点 D 作 DN∥AC 交 AB 于点 N.同理易证.

B

D

C E N F

A

B 解 3.学生另解:左右可添,不妨上下添 A 注:这样的解法较为复杂,但可以较好 E G 地体现平行与相似的相合.在与教师和 F 其他同学的争论中有理可依,也是好证法。

D

C

A E F

B

D

C B D C

解 4.左右可以,内外能行吗?过 B 作 BG∥EC, 交 AD 于 G. G
5

注:学生提出的方法到这里可充分体现平行与相似的结合,且基本了解转化的方法,学以致用。在 解法开放上的探索,使学生 看似东南西北,实质“内外结合,左右逢源” 。 ③ 例题的选择要遵循思维的认知规律,从易到难,循序渐进; ④ 有目的、有计划地将课本中的例习题整理归类,恰当地进行延伸、演变; 比如:在圆与直线的教学中,虽然弱化了对线圆的证明要求,但是从知识的掌握上来讲,教 师完全可以将课本所提到的几个性质定理梳理成“线” : 例:同心圆 O 中,求证:AB·AC = PQ·PR P A
B O C R Q

方法一:作弦心距,复习圆的基本性质; A
B O P Q

A
M B O C

P Q N

C

R

方法二:作小圆的切线,复习切割线 定理;

R

方法三:连 BQ 交大圆 O 于 M、N,复习相交弦定理; A
B O P Q

方法四:如图连线,复习割线定理; A
R B O C R P Q

C

老师更可以将以上方法总结为如下方法:

方法五:连 OQ,揭示已被弱化的,但依然经典的“圆幂定理”实质。 2. 学生预习阶段; ① 教师引导学生研读教材; ② 启发学生积极思考课文中的有关问题; ③ 教师注意方法的指导: (1)怎样分析问题; (2)怎样理解概念(找出关键的字、词、句,把握其本质等) ; (3)怎样看懂例题(分析解题思路,归纳解题步骤,把握解题注意点等) ; (4)怎样归纳、小结等; 3.教师的讲解阶段; ① 综合法; 根据题目正面推导, 它是从问题的条件入手进行思考, 这里一般有三个思维层次: 充分利用条件; 善于转化条件;积极创设条件。 (1)充分利用条件。在明处都容易发现,教师要善于帮助学生挖掘隐含条件。给学生讲明解题 过程要使所给的条件全部用上才行,用于解题,才算充分运用了条件。 例如:方程 (m ? 2) x ? (2m ? 3) x ? m ?1 ? 0 的两根都是负数,求 m 的值。
2

若只注意题设条件:两个负根,由韦达定理 x1 ? x2 ? 0, x1 ?x2 ? 0 得出 m 的范围就错了。 还应该注意到隐含的条件: △?0

m?2 ? 0

这样就充分地利用了条件。
6

(2)善于转化条件。条件与结论相距甚远,那么我们就使条件和结论逐渐靠近,将条件转化为可 以更好服务于结论的新面目。 例如:在解绝对值不等式时,若 ?1 ? y ? 2 ? 3 ,化减 y ? 6 ? 2 y ? 5 ? 解答时我们必须把 ?1 ? y ? 2 ? 3 转化为 1 ? y ? 5 ,再化简: 原式 ? 6 ? y ? 2 y ? 5 ? 1 ? 3 y ; 又如:方程函数、代数几何的转化。
y

x2 ? 2 x ?

1 x

y1 ? x2 ? 2x
1 y2 ? x
o x

(3)积极创设条件。走跳棋的时候经常会碰到过“河”搭“桥”的问题,在没有现成设施的情 况下,要巧用有限资源来搭建通道。 例如: 在解决等腰梯形对角线互相垂直的问题上, 往往搭建一个等腰 RT△来解决对高线长的求 解或等量证明问题。并可延伸为平移腰,平移底,作高线,旋转等等。

②分析法; 老师可以在例题教学的过程中使用它良好的思想方法:从问题的结论入手。如何从问题的结论思考 呢?这就需要“反过来想”和“发散开去想” 。 (1) 反过来想; 根据题目中涉及的主要概念,从后往前想它的定义是怎样的?根据题目的条件、结论及其 特征回想与它们有关的公式、定理、法则是什么? (2) 发散开去想; 找出与题目很接近的或很相似的原理、方法、结论或命题来,变通使用这些知识看是否能 解决问题,特别是对于初中证明较复杂的几何题经常要联想一些“基本图形” “生活中的 、 图形” 。 4. 提高总结阶段; ① 解题规律要总结; 例题解答之后,要引导学生反思解题过程,总结解题的经验教训,对一些常用的教学方法,解题 策略予以归纳概括,提示学生今后注意运用。 ② 针对问题,精选练习题; 例如为了引入新课,选编知识衔接题;为了巩固概念,选编基础变式题;为了纠正差错,选编判 断选择题;为了拓宽思路,选编多解题等等。 ③ 注意避免所谓的“题海战术”; 要认识到“ 1 ? n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ” 。 ④ 肯定学生的成绩,提高学生练习的积极性。
7

(ⅱ)例题教学的实施准则:
1.注重对基本题型、基本模式的训练; ①培优——变化多,思路活,思维能力增长快; ②强化——重基础,助巩固,书本知识掌握好; ③后 30%——量较少,易消化,学习压力轻不少。 2.注重数学本质教学,注意适度的形式化; ①常规例题——形式表达,揭示本质; ②经典例题——自主探索,形成意识; ③Popular 例题——体会感受,快乐学习。 a) 注重变式训练、一题多解; ①改变条件——不同的方法,共同的结果,解决多知识点问题; ②改变结论——相同的方法,不同的结果,解决数学严谨性问题; ③改变背景——两个国家,两种制度,相同的数据,不同的认识, 解决思维创新问题,提高实战能力。 4.注重学生的自主探索; ①放开手脚——倡导积极主动、勇于探索的学习方式; ②鼓励革新——只有创造思维的环节,才能培养学生的思维能力; ③头脑竞技——激发学生的创新意识和学习热情; 5.注重师生交流、生生交流; ①立论驳论——讨论中体会数学学习的微妙; ②合作交流——眼观六路,耳听八方,交流中汲取多信息; ③理性对比——形成竞争,在学习目标和情感目标上你追我赶。

(ⅲ)挖掘课本资源,积累精彩底蕴:
1. “1+x”式的例题教学是对课本资源的优化,凝结着教师的智慧; 例题需要重新整理。用合理的方式表现出来,必须采取严谨的治学态度。 ①符合数学知识的逻辑体系; ②符合学生的生活实际和认知特点; ③教材中的改编例题是合理的优化和重建; ④例题的选择典型、有效,例题的呈现科学而能够引领价值; ⑤一个老师辛苦的结晶,经历实践的检验,更值得保留。 2.例题教学是整体研读教材的产物,要正确把握好知识点之间的联系; 作为一个数学教师,理性地研究教材,充分深入地钻研教材,应该感性地走向学生,以严谨客观的态 度去审视例题,把握好“度”的尺寸,做“有的放矢”的准备。不同版本、不同时期的数学教材,其例题 编排的层次和顺序会有所不同,要做到知识体系和原有价值的正确把握。不盲目闭门造车。 ①整体性的研读教材,依据例题逐步分析知识点; ②结合学生现实基础,合理地定位教学目标; ③依据例题呈现方式,分清知识点的类型,选择有效教学方式; (1)集体的; (2)个体的; ⑤精研每课的例题、习题,区分每课例题知识点之间的联系; ⑥揣摩例题原有意图、特点和目的,以便采取针对性应对。 3.例题是课本中的设计,它可成为数学学习的“泉眼” ; 多数课本例题都设计由生活引入新的学习内容,把丰富的生活素材作为学生的学习资源。这充分体现
8

了新课程的教学理念:数学教学重视联系学生熟悉的生活实际,以学生的生活经验支撑数学学习,或通过 创设的情境为学生提供活动平台,促进学生的主动探索与学习。 ①例题设计呈现生活,让学生感受数学学习的背景; ②例题设计呈现本质,让学生感受数学学习的概念; ③例题设计呈现发展,让学生感受数学思维的变化; ④例题设计呈现活动,让学生感受数学学习的舞台; ⑤例题设计呈现动感,让学生感受数学学习的魅力。

(ⅳ)结束语:
1. “好”例题,当然体现在题目本身的科学性上。但是更为重要的是不同年代、不同时期的教 师在这个问题上的处理。笔者对于一个“老的”但“实在”的话题做了新的思考:用“1+n”式的方 式作为现在的一个教学参考模式,来进行实践。希望在瞬息变迁的当代,能够开创自己的一些教学 作为。那么多的教学艺术上的突破、举例,不也就是针对于教师的一个个“例题”吗!对于我们而 言,肯定也会选择那些“以一抵百”的方法。希望自己能在数学日常的教学中不断提高,摸索出更 好、更优的“药方”来。 2.对于一个一线教师而言,例题的处理可能没有海纳百川般的高瞻远瞩;也可能没有大肆渲染 的变化必要。但作为还在每天“传道、授业;上学、求知”的教师、学生而言,面对一轮快过一轮 的教材改革、考试改革,我们当然需要一种“新”的、 “更优”的教与学的方式。虽然这是一个老话 题,但于“旧人”可反思;于“新人”可传承。有限的条件中结合时世变化、总结,我们应该做这 “简要”的事。 3.教师的对象最终是学生,对于教学的思考不应仅仅停留在教师自身的层面上。如何应对学生 的变化和发展?如何能更适应学生的思维特点(初中的三年特点鲜明而又变化快)?如何能针对学 生更合理地量体裁衣???这些都将是我们接下来可以深究的问题,也许这才是真正的挑战所在。 思考不会戛然而止,教育事业更会流光溢彩! 参考书目: 1、 《数学方法论》 作者:郑毓信 广西教育出版社 2001.11 版 2、 《我国基础教育课程改革研究》 李建平《教育发展研究》 2003 3、 《波利亚解题理论》 作者:乔治·波利亚(George Polya,1887—1985) 4、 《新课程中教师行为的变化》 首都师范大学出版社 傅道春 5、 《中共中央国务院关于进一步深化教育改革推进素质教育的意见》 周济.2006.11 6、 《数学课程标准解读》 北京师范大学出版社 刘兼 孙晓天 2006 年 12 月 7、 《义务教育课程标准实验教科书》 (教学参考书) 浙江教育出版社 2007 年 10 月

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