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2015-2016学年高中数学 3.2.3用向量方法求空间中的角课后习题 新人教A版选修2-1


第三课时 课时演练·促提升 用向量方法求空间中的角 A组 1.已知 A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线 AB 和直线 CD 所成角的余弦值为( ) A. B.C. D.解析:=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而 cos=,故直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为. 答案:A 2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角等 于 ( ) A.120° B.60° C.30° D.以上均错 解析:∵l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角为 120°, ∴它们所在直线的夹角为 60°. 则直线 l 与平面 α 所成的角为 90°-60°=30°. 答案:C 3.若二面角 α -l-β 的大小为 120°,那么平面 α 与平面 β 的法向量的夹角为( ) A.120° B.60° C.120°或 60° D.30°或 150° 解析:二面角为 120°时,其法向量的夹角可能是 60°,也可能是 120°. 答案:C 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则 sin<>的值为( ) A. B. C. D. 解析:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1,则 D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M, ∴=(1,1,1),, ∴cos<>= =, ∴sin<>=. 答案:B 5.如图,过边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 EA⊥平面 ABCD,若 EA=1,则平面 ADE 与平面 BCE 所成的二面角的大小是( ) A.120° B.45° C.135° D.60° 解析:以 A 为原点,分别以 AB,AD,AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 1 则 E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0), 则=(1,0,-1),=(1,1,-1). 设平面 BCE 的法向量为 n=(x,y,z). 则有可取 n=(1,0,1),又平面 EAD 的法向量为=(1,0, 0),所以 cosn,=,故平面 ADE 与平面 BCE 所成的二面角为 45°. 答案:B 6.在正四棱锥 P-ABCD 中,高为 1,底面边长为 2,E 为 BC 的中点,则异面直线 PE 与 DB 所成的角 为 . 解析:建立空间直角坐标系如图,则 B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1), 故=(2,2,0),=(0,1,-1). 从而 cos<>=, 即<>=. 于是 PE 与 DB 所成的角为. 答案: 7.若空间直线 l 的方向向量为 t,平面 α 的法向量为 n,t 与 n 的夹角 θ >,则 l 与 α 所成角 为 . 解析:如图可知,l 与 α 所成角为 θ -. 答案:θ 8.如图,已知 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∠ACB=90°,点 D1,F1 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值. 解:如图,以 C 为原点,CA,CB,CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 2 设 CB=CA=CC1=1,则 A(1,0,0),B(0,1,0),D1,F1, 则. 故||=,||=, 则 cos<>=. 于是 BD1 与 AF1 所成角的余

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