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2015-2016学年高中数学 3.2.3用向量方法求空间中的角课后习题 新人教A版选修2-1

第三课时 课时演练·促提升 用向量方法求空间中的角 A组 1.已知 A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线 AB 和直线 CD 所成角的余弦值为( ) A. B.C. D.解析:=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而 cos=,故直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为. 答案:A 2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角等 于 ( ) A.120° B.60° C.30° D.以上均错 解析:∵l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角为 120°, ∴它们所在直线的夹角为 60°. 则直线 l 与平面 α 所成的角为 90°-60°=30°. 答案:C 3.若二面角 α -l-β 的大小为 120°,那么平面 α 与平面 β 的法向量的夹角为( ) A.120° B.60° C.120°或 60° D.30°或 150° 解析:二面角为 120°时,其法向量的夹角可能是 60°,也可能是 120°. 答案:C 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则 sin<>的值为( ) A. B. C. D. 解析:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1,则 D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M, ∴=(1,1,1),, ∴cos<>= =, ∴sin<>=. 答案:B 5.如图,过边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 EA⊥平面 ABCD,若 EA=1,则平面 ADE 与平面 BCE 所成的二面角的大小是( ) A.120° B.45° C.135° D.60° 解析:以 A 为原点,分别以 AB,AD,AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 1 则 E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0), 则=(1,0,-1),=(1,1,-1). 设平面 BCE 的法向量为 n=(x,y,z). 则有可取 n=(1,0,1),又平面 EAD 的法向量为=(1,0, 0),所以 cosn,=,故平面 ADE 与平面 BCE 所成的二面角为 45°. 答案:B 6.在正四棱锥 P-ABCD 中,高为 1,底面边长为 2,E 为 BC 的中点,则异面直线 PE 与 DB 所成的角 为 . 解析:建立空间直角坐标系如图,则 B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1), 故=(2,2,0),=(0,1,-1). 从而 cos<>=, 即<>=. 于是 PE 与 DB 所成的角为. 答案: 7.若空间直线 l 的方向向量为 t,平面 α 的法向量为 n,t 与 n 的夹角 θ >,则 l 与 α 所成角 为 . 解析:如图可知,l 与 α 所成角为 θ -. 答案:θ 8.如图,已知 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∠ACB=90°,点 D1,F1 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值. 解:如图,以 C 为原点,CA,CB,CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 2 设 CB=CA=CC1=1,则 A(1,0,0),B(0,1,0),D1,F1, 则. 故||=,||=, 则 cos<>=. 于是 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为. 9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 AA1,AB 的中点,求 EF 和平面 ACC1A1 夹角的大小. 解:建立如图的空间直角坐标系,设正方体棱长为 2, 则由 E,F 分别是 AA1,AB 的中点,得 E(2,0,1),F(2,1,0).过 F 作 FG⊥AC 于 G,则由正方体性质知 FG⊥平面 ACC1A1. 连接 EG,则的夹角即为所求,又因为 F 是 AB 的中点,所以 AG=AC,所以 G=(0,1,-1). cos<>=. ∴<>=,即 EF 与平面 ACC1A1 的夹角为. 10.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥ BD,CB=CD=CF. (1)求证:BD⊥平面 AED; (2)求二面角 F-BD-C 的余弦值. (1)证明:∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,∴∠ADC=∠BCD=120°. 又∵CB=CD,∴∠CDB=30°. ∴∠ADB=90°,即 AD⊥BD. 又∵AE⊥BD,且 AE∩AD=A,AE? 平面 AED,AD? 平面 AED,∴BD⊥平面 AED. (2)解:由(1)知 AD⊥BD,∴AC⊥BC. 又 FC⊥平面 ABCD,因此 CA,CB,CF 两两垂直. 以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CF 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐 标系. 不妨设 CB=1,则 C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1),因此=(0,-1,1). 设平面 BDF 的一个法向量为 m=(x,y,z), 则 m·=0,m·=0, 3 即 x-y=0,-y+z=0,所以 x=y=z. 令 z=1,得 m=(,1,1). 由于=(0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量, 则 cos<m,>=, 故二面角 F-BD-C 的余弦值为. B组 1.已知在长方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点.则直线 AE 与平面 A1ED1 所成 角的大小为( ) A.60° B.90° C.45° D.以上都不正确 解析:以点 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标

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