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数列通项解法总结

数列方法总结 数列方法总结
1.形如 1.形如 a n +1 ? a n = f (n) 型 a 则 (1) f(n)为常数,即: n +1 ? a n = d ,此时数列为等差数列, a n = a1 + (n ? 1)d . 若 (2)若 f(n)为 n 的函数时,用累加法. 方法如下: 由 a n +1 ? a n = f (n) 得:
n ≥ 2 时, a n ? a n ?1 = f (n ? 1) , a n ?1 ? a n ? 2 = f (n ? 2) , …… a 3 ? a 2 = f ( 2)

a 2 ? a1 = f (1)
所以各式相加得 a n ? a1 = f (n ? 1) + f (n ? 2) + ? + f (2) + f (1) 即: a n = a1 + ∑ f (k )
k =1 n ?1

注:已知 a1

= a , a n +1 ? a n = f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分 f(n)可以是关于 的一次函数、二次函数、指数函数、

式函数, 式函数,求通项 a n . f(n)是关于 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; f(n)是关于 的二次函数,累加后可分组求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; f(n)是关于 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; f(n)是关于 的分式函数,累加后可裂项求和。 ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。

2.形如 2.形如

a n +1 = f ( n) 型 an a n +1 = q (其中 q 是不为 0 的常数) ,此时数列为等比 an

(1)当 f(n)为常数,即: 数列, a n = a1 ? q n ?1 .

(2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由

a n +1 = f ( n) 得 an

n ≥ 2 时,

an = f (n ? 1) , a n ?1

∴ an =

a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 =f(n)f(n-1) ? ? f (1) ? a1 . a n ?1 a n ? 2 a1

3.形如 3.形如 a n +1 + a n = f (n) 型 (1)若 a n +1 + a n = d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期 数列,周期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 a n +1 ? a n = f (n) 型, 通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得 a n +1 ? a n ?1 = f (n) ? f (n ? 1) ,, 分奇偶项来分求通项. 4.形如 4.形如 a n +1 ? a n = f (n) 型 (1)若 a n +1 ? a n = p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数 列,周期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 a n ? a n ?1 = f (n ? 1) ,两 式相除后,分奇偶项来分求通项. 5.形如 a n +1 = ca n + d , (c ≠ 0 ,其中 a1 = a )型 (1)若 c=1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 d=0 时,数列{ a n }为等比数列; (3)若 c ≠ 1且d ≠ 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构 造辅助数列来求. 方法如下:设 a n +1 + λ = c(a n + λ ) , 得 a n +1 = ca n + (c ? 1)λ ,与题设 a n +1 = ca n + d , 比较系数得
d , ( c ≠ 0) c ?1 d d 所以有: a n + = c(a n ?1 + ) c ?1 c ?1
(c ? 1)λ = d ,所以 λ =

d ? d ? 因此数列 ?a n + 为首项,以 c 为公比的等比数列, ? 构成以 a1 + c ? 1? c ?1 ?

所以 a n +

d d = (a1 + ) ? c n ?1 c ?1 c ?1

即: a n = (a1 +

d d ) ? c n ?1 ? . c ?1 c ?1

规律:将递推关系 a n +1 = ca n + d 化为 a n +1 +

d d = c( a n + ) ,构造成公比为 c c ?1 c ?1 d d d 的等比数列 {a n + } 从而求得通项公式 a n +1 = + c n ?1 (a1 + ) c ?1 1? c c ?1 有时我们从递推关系 a n +1 = ca n + d 中把 n 换成 n-1 有 a n = ca n ?1 + d ,两式相减 有 a n +1 ? a n = c(a n ? a n ?1 ) 从而化为公比为 c 的等比数列 {a n +1 ? a n } ,进而求得通项 公式. a n +1 ? a n = c n (a 2 ? a1 ) ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方

法比较复杂:


a n +1 = ca n + d ,

∴ n ≥ 2 时, a n = ca n ?1 + d ,
两式相减得

a n +1 ? a n = c(a n ? a n ?1 )



a n +1 ? a n =c, a n ? a n ?1
? a n ?1 } 是以 a 2 ? a1 = (c ? 1)a1 + d
为首项,以 c 为公比的等比数列.

数列 {a n

a n ? a n ?1 = (a 2 ? a1 ) ? c n ? 2 ? ? a n ?1 ? a n ? 2 = (a 2 ? a1 ) ? c n ?3 ? ? ∴ ?? ? ? a n ? a1 = (a 2 ? a1 )(1 + c + ? + c n ? 2 ) ? a 3 ? a 2 = ( a 2 ? a1 ) ? c ? a 2 ? a1 = a 2 ? a1 ? ?
=( a 2

? a1 ) ?

1 ? c n ?1 1? c

∴ an

= (a +

d d )c n ?1 ? . c ?1 c ?1

迭代法 由 递推式 a n +1 直接迭代得 a n =c
3

= ca n + d , = ca n ?1 + d = c(ca n ? 2 + d ) + d = c 2 a n ? 2 + d (c + 1)

a n ?3 + d (1 + c + c 2 ) = ? = c n ?1 a1 + d (1 + c + c 2 + ? + c n ? 2 ) + d d )c n ?1 ? . c ?1 c ?1

= (a

6.形如 6.形如 a n +1 = pa n + f (n) 型 .(1)若 f (n) = kn + b (其中 k,b 是常数,且 k ≠ 0 ) 方法:相减法 (2)若 f (n) = q n (其中 q 是常数,且 n ≠ 0,1) ①若 p=1 时,即: a n +1 = a n + q n ,累加即可. ②若 p ≠ 1 时,即: a n +1 = p ? a n + q n , 求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 p n +1 . 即:

a n +1 a n 1 p n a 1 p = n + ? ( ) ,令 bn = nn ,则 bn +1 ? bn = ? ( ) n , n +1 p q p q p q p

然后类型 1,累加求通项. ii.两边同除以 q n +1 . 即:

a n +1 p a n 1 = ? + , q n +1 q q n q

令 bn =

an p 1 ,则可化为 bn +1 = ? bn + .然后转化为类型 5 来解, n q q q

iii.待定系数法: 设 a n +1 + λ ? q n +1 = p (a n + λ ? p n ) .通过比较系数, 求出 λ , 转化为等比数列求通项. 7.形如 7.形如 a n +1 =

pa n + q 型 ra n + s pa n ?1 ra n ?1 + s
取倒数法. 取倒数法.

(1) p, r , s ≠ 0, q = 0 即 a n =

2.形如 a n+1 =

ma n + p (m, p, q为定值) 型 an + q ma n + p mx + p , 由 方 程 f ( x) = x 求 得 二 根 x,y, 由 a n+1 = 有 x+q an + q

方法:不动点法: 方法:不动点法: 我 们 设 f ( x) =

a n+1 ? x =

ma n + p mx + p mq ? p a n ? x ? = ? an + q x+q x + q an + q ma n + p my + p mq ? p a n ? y ? = ? ,两式相除有 an + q y+q y + q an + q

同理 a n+1 ? y =

a ?x a n +1 ? x y + q a n ? x y + q n ?1 a1 ? x = ? ,从而得 n +1 =( ) ? ,再解出 a n 即可. a n +1? y x + q an ? y a n +1 ? y x+q a1 ? y
为常数) 8.形如 8.形如 a n +1 = pa n + qa n ?1 (其中 p,q 为常数)型 (1)当 p+q=1 时 (2)当 p 2 + 4q ≥ 0 时 用转化法 用待定系数法.

r 为常数) 9. 形如 a n +1 = pa n (其中 p,r 为常数)型 (1)p>0, a n > 0 用对数法.

(2)p<0 时

用迭代法.

习题
1 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 2 , a1 = 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

2

已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 2n + 1,a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 2 × 3 + 1,a1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

3

4

知数列 {an } 满足 an +1 = 3an + 2 × 3 + 1 a1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,
n

5

已知数列 {an } 满足 an +1 = 2( n + 1)5 × an,a1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式
n

6

已知数列 {an } 满足 a1 = 1,an = a1 + 2a2 + 3a3 + ? + ( n ? 1) an ?1 ( n ≥ 2) ,求 {an } 的通项 公式。

7

已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 5 ,a1 = 6 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

8

已知数列 {an } 满足 an +1 = 3an + 5 × 2 + 4,a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

9

已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3n + 4n + 5,a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
2

10

已知数列 {an } 满足 an +1 = 2 × 3 × an , a1 = 7 ,求数列 {an } 的通项公式。
n
5

11

已知数列 {an } 满足 an +1 = an

3( n +1)2n

,a1 = 5 ,求数列 {an } 的通项公式。

12 已知数列 {an } 满足 an +1 = an +

8(n + 1) 8 ,a1 = ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n + 1) (2n + 3) 9

13 已知数列 {an } 满足 an +1 =

1 (1 + 4an + 1 + 24an ),a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16


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