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上海外国语大学附属外国语学校2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(解析版)


2015-2016 学年上海外国语大学附属外国语学校高二 (上) 期中数学试 卷

一、填空题(共 14 题,每题 3 分,共 42 分) 1.某礼堂有 20 排座位,第一排有 18 个座位,以后每排都比第一排多 2 个位置,这个礼堂共能做 人.

2.若向量 =(x,y), =(﹣1,2),且 + =(1,3),则| ﹣2 |=



3.若数列{an}的前 n 项和 Sn=4n2﹣5,则通项 an=



4.循环小数 0.2

化为最简分数 ,则 a+b=



5.向量 =(sinθ,

), =(1,cosθ),其中 θ∈(﹣



),则| + |的范围是



6.若

(2n+

)= ,则 a+b=



7.已知数列{an}中,a1=﹣16,3an=3an﹣1+2(n∈N*),若 anan+2<0,则 n=



8.数列{an}中,an≠0,a1=2 且 2anan﹣1+an﹣1﹣an=0(n∈N*),则 a15=



9.已知数列 an 中,a1=﹣60,an+1=an+3,那么|a1|+|a2|+…+|a30|的值为



10.若数列{an}为无穷等比数列,且

(a1+a2+a3+…+an)= ,则 a1 的取值范围是



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11.如图,已知正△ A1B1C1 的边长是 1,面积是 P1,取△ A1B1C1 各边的中点 A2,B2,C2,△ A2B2C2 的面积为 P2,再取△ A2B2C2 各边的中点 A3,B3,C3,△ A3B3C3 的面积为 P3,依此类推.记 Sn=P1+P2+…+Pn,则 = .

12.已知数列{an}的通项 an=

,则该数列中最大项是第

项.

13. 已知数列{an}的通项 an=n2 (cos2

﹣sin2

n∈N*, ) , 其前 n 项和为 Sn, 则 S60=



14.记号[x]表示不大于 x 的最大整数,数列{an}的通项 an= [S2500]= .

(n∈N*),Sn 为{an}的前 n 项和,则

二、选择题(共 6 题,每题 3 分,共 18 分) 15.数列 1, A. B. , C. ,…, D. 的前 n 项和为( )

16.数列{an}中,

则数列{an}的极限值(



A.等于 0

B.等于 1

C.等于 0 或 1

D.不存在

17.下列命题中真命题是(



A.若 与 互为负向量,则 + =0
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B.若 ? = ? ,则 = C.若 k 为实数且 k = ,则 k=0 或 = D.若 ∥ ,则 在 上的投影为| |

18.已知 A. B.

, C.

, D.

,则 与 的夹角为(



19.等差数列{an}、{bn}中的前 n 项和分别为 Sn、Tn, A. B. C. D.

=

,则

=(



20. + ?tan1=0 有唯一解, 已知数列{an}中 a1=1, 关于 x 的方程 x2﹣an+1?tan (cosx) (2an+1) 设 bn=nan, 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则 S9=( A.8143 B.8152 C.8146 D.8149 )

三、解答题(共 5 题 40 分,6+8+8+8+10) 21.在数列{an}中,a1=2,且 ,数列{an}前 n 项和为 Sn,求 的值.

22.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 (1)求证:数列{an}为等差数列,并求出其通项公式; (2)若 ,求正整数 m 的值.



23.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交 车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电 力型公交车 120 辆, 混合动力型公交车 300 辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%,

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混合动力型车每年比上一年多投入 m 辆.设 an,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车,混合动力型 公交车的数量,设 Sn,Tn 分别为 n 年里投入的电力型公交车,混合动力型公交车的总数量. (1)求 Sn,Tn,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn; (2)该市计划用 8 年的时间完成全部更换,求 m 的最小值.

24.已知 (1)求 (2)当|

=(cosθ,sinθ),

=(1+sinθ,1+cosθ),且 0≤θ≤π. |取最大值时 θ 的值; 的夹角 φ(用反三角函数表示).

模的最大值,并求出当| |取最大值时,求 与

25. P( y1) P( y2) P( yn) …, …是曲线 (2012?闸北区二模) 如图, , , , 1 x1, 2 x2, n xn, A1 0) A2 0) An 0) …, …是 x 轴正半轴上的点, △ A1A2P2, …, 上的点, (a1, , (a2, , (an, , 且△ A0A1P1, △ An﹣1AnPn,…均为斜边在 x 轴上的等腰直角三角形(A0 为坐标原点). (1)写出 an﹣1、an 和 xn 之间的等量关系,以及 an﹣1、an 和 yn 之间的等量关系; (2)猜测并证明数列{an}的通项公式; (3)设 ,集合 B={b1,b2,b3,…,bn,…},A={x|x2﹣2ax+a2﹣1

<0,x∈R},若 A∩B=?,求实常数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年上海外国语大学附属外国语学校高二(上)期 中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 题,每题 3 分,共 42 分) 1. 某礼堂有 20 排座位, 第一排有 18 个座位, 以后每排都比第一排多 2 个位置, 这个礼堂共能做 740 人. 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:此数列{an}为等差数列,a1=18,公差 d=2, ∴S20=20×18+ 故答案为:740. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. =740,

2.若向量 =(x,y), =(﹣1,2),且 + =(1,3),则| ﹣2 |= 【考点】向量的模;平面向量的坐标运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】先根据向量相等求出 的坐标,再求出 ﹣2 以及它的模长. 【解答】解:∵向量 =(x,y), =(﹣1,2),且 + =(1,3), ∴ ,

5



解得 x=2,y=1; ∴ =(2,1), ∴ ﹣2 =(4,﹣3), ∴| ﹣2 |= =5.
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故答案为:5. 【点评】本题考查了平面向量的应用问题,解题时应用向量数量积求模长,是计算题.

3.若数列{an}的前 n 项和 Sn=4n2﹣5,则通项 an= 【考点】等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用“当 n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出. 【解答】解:∵数列{an}的前 n 项和 Sn=4n2﹣5, ∴当 n=1 时,a1=S1=﹣1; 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n2﹣5﹣[4(n﹣1)2﹣5]=8n﹣4. ∴ ,



故答案为:



【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式,考查了变形能力、计算能力,属于中档题.

4.循环小数 0.2

化为最简分数 ,则 a+b= 51712. .

【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】0.2+0.0 = ,设 0.0 =x,则 10000x﹣x=343.4,化简即可得出.

【解答】解:循环小数 0.2 ∴0.2+0.0 设 0.0 = ,

化为最简分数 ,

=x,

则 10000x﹣x=343.4, 解得 x= ,

∴a=1717,b=49995, ∴a+b=51712.
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故答案为:51712. 【点评】本题考查了极限的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

5.向量 =(sinθ,

), =(1,cosθ),其中 θ∈(﹣



),则| + |的范围是 (

,3] .

【考点】向量的三角形法则. 【专题】函数思想;转化法;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 【分析】 根据平面向量的坐标运算, 求出 + , 再利用三角函数的性质求出 即得| + |的取值范围. 【解答】解:∵向量 =(sinθ, ∴ + =(1+sinθ ∴ +cosθ), ), =(1,cosθ), 的取值范围,

=(1+sinθ)2+ cosθ+cos2θ

=1+2sinθ+sin2θ+3+2 =5+2sinθ+2 =5+4sin(θ+ 又 θ∈(﹣ ∴θ+ cosθ ); , ), ,

∈(﹣

),

∴sin(θ+ ∴4sin(θ+

)∈(﹣ ,1], )∈(﹣2,4], )∈(3,9], ∈(3,9]; ,3]. ,3].

∴5+4sin(θ+ 即 ∴| + |∈( 故答案为:(

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题,也考查了三角函数的化简求值问题,是综合性题目.

6.若

(2n+

)= ,则 a+b= ﹣8 .

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【考点】极限及其运算. 【专题】计算题;极限思想;转化法;导数的概念及应用.

【分析】将原式化为

,再取极限.

【解答】解:

(2n+



=

=

=

= ,

其中,

=0,要使上式成立,须满足



解得

,所以,a+b=﹣8,

故答案为:﹣8. 【点评】本题主要考查了极限及其运算,并应用常用极限 =0 解题,属于中档题.

7.已知数列{an}中,a1=﹣16,3an=3an﹣1+2(n∈N*),若 anan+2<0,则 n= 【考点】数列递推式. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;等差数列与等比数列.

24 .

【分析】由已知递推式可得数列{an}是以﹣16 为首项,以 为公差的等差数列,求其通项公式后代 入 anan+2<0 求得 n 的值. 【解答】解:由 3an=3an﹣1+2,得 又 a1=﹣16, ∴数列{an}是以﹣16 为首项,以 为公差的等差数列, (n≥2),

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则 由 anan+2=

. ,得

(n﹣25)(n﹣23)<0,即 23<n<25. ∵n∈N*,∴n=24. 故答案为:24. 【点评】本题考查数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了等差数列的通项公式的求法,是中 档题.

8.数列{an}中,an≠0,a1=2 且 2anan﹣1+an﹣1﹣an=0(n∈N*),则 a15= 【考点】数列递推式. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】把已知的数列递推式变形,得到数列{ 其通项公式后得答案. 【解答】解:由 2anan﹣1+an﹣1﹣an=0,得 an﹣an﹣1=2anan﹣1,又 an≠0, ∴ ∵a1=2,∴ 则数列{ ,即 , ,



}构成以 为首项,以﹣2 为公差的等差数列,求

}构成以 为首项,以﹣2 为公差的等差数列,





∴ 则 故答案为:

. . .

【点评】本题考查数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了等差数列通项公式的求法,是中档 题.

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9.已知数列 an 中,a1=﹣60,an+1=an+3,那么|a1|+|a2|+…+|a30|的值为 765 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】综合题. 【分析】根据已知条件得到此数列是首项为﹣60,公差 d 为 3 的等差数列,写出等差数列的通项公 式,令通项公式大于等于 0 列出关于 n 的不等式,求出不等式的解集即可得到 n 的范围为 n 大于等 于 21,即可得到前 30 项中,前 20 项的值都为负数,21 项以后的项都为正数,根据负数的绝对值等 于其相反数,正数的绝对值等于其本身把所求的式子进行化简,然后前 20 项提取﹣1,得到关于前 30 项的和与前 20 项和的式子,分别利用等差数列的前 n 项和的公式求出前 20 项的和和前 30 项的 和,代入化简得到的式子中即可求出值. 【解答】解:{an}是等差数列,an=﹣60+3(n﹣1)=3n﹣63,an≥0,解得 n≥21. ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30| =﹣(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)=S30﹣2S20 = 故答案为:765 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,本题的突破点是 令通项公式大于等于 0 找出此数列从第 22 项开始变为正数. ﹣(﹣60+60﹣63)?20=765.

10.若数列{an}为无穷等比数列,且 且 } .

(a1+a2+a3+…+an)= ,则 a1 的取值范围是 {x|



【考点】数列的极限;等比数列的通项公式. 【专题】分类讨论;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】数列{an}为无穷等比数列,且 即可. 【解答】解:∵数列{an}为无穷等比数列,且 ∴ = ,0<|q|<1, (a1+a2+a3+…+an)= , (a1+a2+a3+…+an)= ,可得 = ,0<|q|<1,解出

则 a1=



,且 a1≠ .
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∴a1 的取值范围是{x| 故答案为:{x| ,且

,且 }.

}.

【点评】本题考查了无穷等比数列的前 n 项和公式、极限性质,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题.

11.如图,已知正△ A1B1C1 的边长是 1,面积是 P1,取△ A1B1C1 各边的中点 A2,B2,C2,△ A2B2C2 的面积为 P2,再取△ A2B2C2 各边的中点 A3,B3,C3,△ A3B3C3 的面积为 P3,依此类推.记 Sn=P1+P2+…+Pn,则 = .

【考点】极限及其运算. 【专题】计算题. 【分析】先利用边长之间的关系得出边长组成以 1 为首项, 为公比的等比数列,进而得出三角形 的面积组成以 为首项, 为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式进行求和,再求极限.

【解答】解:由题意,由于边长组成以 1 为首项, 为公比的等比数列, 所以三角形的面积组成以 为首项, 为公比的等比数列,

∴Sn=P1+P2+…+Pn=



故答案为 【点评】本题的考点是数列的极限,主要考查等比数列的和的极限,关键是从实际问题中抽象出等 比数列的模型,进而再求数列的极限.

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12.已知数列{an}的通项 an= 【考点】数列的函数特性.

,则该数列中最大项是第

23 项.

【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】an=1+ 调递减,an≥1.即可得出. 【解答】解:an= = =1+ , ,当 n≤22 时,数列{an}单调递增,an<1;当 n≥23 时,数列{an}单

当 n≤22 时,数列{an}单调递增,an<1; 当 n≥23 时,数列{an}单调递减,an≥1. 因此该数列中最大项是第 23 项. 故答案为:23. 【点评】本题考查了数列的单调性,考查了变形能力、计算能力,属于中档题.

13.已知数列{an}的通项 an=n2(cos2 【考点】数列的求和.

﹣sin2

),n∈N*,其前 n 项和为 Sn,则 S60= 1840 .

【专题】转化思想;分析法;等差数列与等比数列;三角函数的求值. 【分析】利用倍角余弦公式得出 an=n2(cos2 求和,即可得到所求值. 【解答】解:an=n2(cos2 由 T= ﹣sin2 )=n2cos , ﹣sin2 )=n2cos ,周期为 3,再利用分组法

=3,即最小正周期为 3,

所以 a3k﹣2+a3k﹣1+a3k=﹣ (3k﹣2)2﹣ (3k﹣1)2+(3k)2=9k﹣ ,其中 k∈N* 所以 S60=9×(1+2+3+…+20)﹣ ×20=9×210﹣50=1840. 故答案为:1840. 【点评】本题考查数列求和方法:分组求和,考查三角函数的二倍角公式和周期公式的运用,用 k 表示相邻三项的和是解题的关键.
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14.记号[x]表示不大于 x 的最大整数,数列{an}的通项 an= [S2500]= 98 . 【考点】数列的求和. 【专题】新定义;转化思想;转化法;等差数列与等比数列. 【分析】由 由 > < =2( =2( ﹣ ﹣

(n∈N*),Sn 为{an}的前 n 项和,则

),(n>1),运用裂项相消求和,可得 S2500<99;

),运用裂项相消求和,可得 S2500>98,即可得到所求值. , ),(n>1)可得, ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ )

【解答】解:an= 由 S2500= < + +

(n∈N*)= =2( +…+ ﹣

<1+2(

=1+2×(50﹣1)=99; 由 S2500= =2×( > + + =2( +…+ ﹣ >2( ),可得, ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ )

﹣1)∈(98,99).

则[S2500]=98. 故答案为:98. 【点评】本题考查新定义的理解和运用,注意运用不等式的放缩法和裂项相消求和,求得范围,考 查运算能力,属于中档题.

二、选择题(共 6 题,每题 3 分,共 18 分) 15.数列 1, A. B. , C. ,…, D. 的前 n 项和为( )

【考点】数列的求和. 【专题】计算题. 【分析】利用的等差数列的前 n 项和公式将已知数列的通项化简,利用裂项求和的方法求出数列的 前 n 项和.
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【解答】解:∵ 所以数列的前 n 项和为

= = 故选 B 【点评】求数列的前 n 项和的问题,一般先求出数列的通项,利用通项的特点,选择合适的求和方 法.

16.数列{an}中,

则数列{an}的极限值(



A.等于 0

B.等于 1

C.等于 0 或 1

D.不存在

【考点】极限及其运算. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】因为 n→ω,所以 值. 【解答】解: 故选 B 【点评】本题考查数列的极限,解题时要注意公式的选取和运用. , ,所以 ,由此可求出数列{an}的极限

17.下列命题中真命题是(



A.若 与 互为负向量,则 + =0 B.若 ? = ? ,则 = C.若 k 为实数且 k = ,则 k=0 或 = D.若 ∥ ,则 在 上的投影为| |
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【考点】向量的物理背景与概念. 【专题】对应思想;定义法;平面向量及应用. 【分析】根据平面向量的基本概念与运算,对题目中的命题进行分析判断即可. 【解答】解:对于 A,当 与 互为相反向量时, 对于 B,当 ? = ? 时, + = ,∴A 是假命题;

= 不一定成立,∴B 是假命题;

对于 C,当 k 为实数且 k = 时,有 k=0 或 = ,∴C 是真命题; 对于 D,当 ∥ 时, 在 上的投影为| |或﹣| |,∴D 是假命题. 故选:C. 【点评】本题考查了平面向量的基本概念与运算的应用问题,是基础题目.

18.已知 A. B.

, C.

, D.

,则 与 的夹角为(



【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】根据向量数量积的运算性质,化简题中的等式得到 计算,即可得到向量 与 的夹角. 【解答】解:∵ ∴ 解之得 =﹣6, = =﹣ , , , ,即 =﹣6,再利用向量的夹角公式加以

设 与 的夹角为 α,则 cosα=

∵α∈(0,π),∴ 故选:C



【点评】本题给出数量积和向量

的模,求向量 与 的夹角.着重考查了向量数量积的定义及

运算性质、向量的夹角公式等知识,属于中档题.

19.等差数列{an}、{bn}中的前 n 项和分别为 Sn、Tn,
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=

,则

=(



A.

B.

C.

D.

【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.

【分析】由等差数列的性质得

=

=

,由此能求出结果.

【解答】解:∵等差数列{an}、{bn}中的前 n 项和分别为 Sn、Tn,

=





=

=

=

=

=



故选:B. 【点评】本题考查两个等差数列的等 10 项比值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数 列的性质的合理运用.

20. + ?tan1=0 有唯一解, 已知数列{an}中 a1=1, 关于 x 的方程 x2﹣an+1?tan (cosx) (2an+1) 设 bn=nan, 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则 S9=( A.8143 B.8152 C.8146 D.8149 【考点】数列的求和. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】设 f(x)=x2﹣an+1?tan(cosx)+(2an+1)?tan1,则 f(x)是偶函数,且 f(0)=0 是其唯 一解,从而 an+1=2an+1,进而 组求和法和错位相减法求出 , ,由此 bn=nan=n(2n﹣1)=n?2n﹣n,利用分 ,由此能求出 S9. )

【解答】解:∵数列{an}中 a1=1,关于 x 的方程 x2﹣an+1?tan(cosx)+(2an+1)?tan1=0 有唯一解, ∴设 f(x)=x2﹣an+1?tan(cosx)+(2an+1)?tan1, 则 f(x)是偶函数, 由题意得 f(x)=0 有唯一解, ∴f(0)=0 是其唯一解, ∴02﹣an+1?tan1+(2an+1)?tan1=0
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an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1),a1+1=2, ∴{an+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴ , ,

∴bn=nan=n(2n﹣1)=n?2n﹣n, ∴Sn=1?2+2?22+3?23+…+n?2n﹣(1+2+3+…+n) =1?2+2?22+3?23+…+n?2n﹣ ,①

2Sn=1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1﹣n(n+1),② ①﹣②,得:﹣Sn=2+22+23+2n﹣n?2n+1+ = ﹣n?2n+1+

=(1﹣n)?2n+1﹣2+ ∴ ∴S9=8×210+2﹣45=8149. 故选:D.

, .

【点评】本题考查数列的前 9 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质、构造法、 分组求和法和错位相减法的合理运用.

三、解答题(共 5 题 40 分,6+8+8+8+10) 21.在数列{an}中,a1=2,且 ,数列{an}前 n 项和为 Sn,求 的值.

【考点】二阶行列式的定义;数列的求和;数列的极限. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由已知可得数列{an}是公比为 再求其极限即可得答案. 【解答】解:由 , ,首项为 a1=2 的等比数列,代入等比数列的前 n 项式,

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,… 所以数列{an}是公比为 所以 ,首项为 a1=2 的等比数列;



【点评】本题比较容易,主要考查了等比数列的定义、通项公式的求解及基本运算能力.要求考生 熟练掌握等比数列的基本概念及通项公式的基本求解.

22.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 (1)求证:数列{an}为等差数列,并求出其通项公式; (2)若 ,求正整数 m 的值.



【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【专题】方程思想;转化法;等差数列与等比数列. 【分析】(1)运用数列的通项和前 n 项和的关系:n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1,化简整理由等差数列的 定义和通项公式,即可得到; (2)运用等差数列的求和公式可得 Sn=n(2n﹣1),再化简所给等式,由等差数列的求和公式,解 方程可得 m=20. 【解答】解:(1)证明:当 n≥2 时,Sn=nan﹣2n(n﹣1), ∴Sn﹣1=(n﹣1)an﹣1﹣2(n﹣1)(n﹣2), 两式相减可得,an=nan﹣(n﹣1)an﹣1﹣4(n﹣1), 则(n﹣1)an=(n﹣1)an﹣1+4(n﹣1), ∴an=an﹣1+4, ∴{an}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,∴an=4n﹣3; (2)Sn= n(4n﹣2)=n(2n﹣1), 若 ,即为 1+3+5+7+…+(2m﹣1)=400,

即有 m(1+2m﹣1)=400,即 m2=400, 解得 m=20.

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【点评】本题考查等差数列的定义、通项和求和公式的运用,注意运用数列的通项和前 n 项和的关 系:当 n=1 时,a1=S1,n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1,是解题的关键.

23.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交 车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电 力型公交车 120 辆, 混合动力型公交车 300 辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%, 混合动力型车每年比上一年多投入 m 辆.设 an,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车,混合动力型 公交车的数量,设 Sn,Tn 分别为 n 年里投入的电力型公交车,混合动力型公交车的总数量. (1)求 Sn,Tn,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn; (2)该市计划用 8 年的时间完成全部更换,求 m 的最小值. 【考点】数列的应用. 【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】(1)由题意可得:数列{an}为等比数列,首项为 120,公比为 ;数列{bn}为等差数列,首 项为 300,公差为 m.利用等差数列与等比数列的前 n 项和公式即可得出; (2)F8= +300×8+ m≥10000,解出即可.

【解答】解: (1)由题意可得:数列{an}为等比数列,首项为 120,公比为 ;数列{bn}为等差数列, 首项为 300,公差为 m.

∴Sn=

=

,Tn=300n+



∴Fn=Sn+Tn= (2)F8= 解得 m≥59.65, 因此 m 的最小值为 60. 答:(1)Sn= +300n+ .

+300n+ +300×8+ m≥10000,



,Tn=300n+

,Fn=Sn+Tn=

(2)该市计划用 8 年的时间完成全部更换,m 的最小值为 60.

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【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

24.已知 (1)求 (2)当|

=(cosθ,sinθ),

=(1+sinθ,1+cosθ),且 0≤θ≤π. |取最大值时 θ 的值; 的夹角 φ(用反三角函数表示).

模的最大值,并求出当| |取最大值时,求 与

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】(1)由已知 =(cosθ,sinθ), =(1+sinθ,1+cosθ)(θ∈[0,π]),利用向量的模用 模的最大值,并求出当| |取最大值时 θ

坐标表示的式子写出关于角 θ 的三角函数式,即可求解 的值; (2)把(1)中所求的 θ 值代入 【解答】解:(1) ∴ 与

,然后利用向量数量积公式求夹角. =(1+sinθ,1+cosθ), , ), (1﹣sinθ) )

=(cosθ,sinθ),

= 1+cosθ﹣sinθ) = (1﹣cosθ+sinθ, ( ,2cos = (1+sinθ)+

=(2sin ∴

=2(1﹣cosθ)(1+sinθ)+2(1+cosθ)(1﹣sinθ) =2(2﹣sin2θ)(θ∈[0,π]), ∴ 的最大值为 6,即| |的最大值为 ,此时 sin2θ=﹣1,即 2 , ), = =﹣1. , , ;

(2)由(1)知,当| 此时 =(

|取最大值时, ), =(

∴cosφ=



∴φ=

=



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【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了利用向量的坐标求向量的模,训练了利用向量求 夹角,是中档题.

25. P( y1) P( y2) P( yn) …, …是曲线 (2012?闸北区二模) 如图, , , , 1 x1, 2 x2, n xn, A1 0) A2 0) An 0) …, …是 x 轴正半轴上的点, △ A1A2P2, …, 上的点, (a1, , (a2, , (an, , 且△ A0A1P1, △ An﹣1AnPn,…均为斜边在 x 轴上的等腰直角三角形(A0 为坐标原点). (1)写出 an﹣1、an 和 xn 之间的等量关系,以及 an﹣1、an 和 yn 之间的等量关系; (2)猜测并证明数列{an}的通项公式; (3)设 ,集合 B={b1,b2,b3,…,bn,…},A={x|x2﹣2ax+a2﹣1

<0,x∈R},若 A∩B=?,求实常数 a 的取值范围.

【考点】数学归纳法;数列的求和. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】(1)依题意利用等腰直角三角形的性质可得, , .

(2)由



=

,即

,猜测

, 再用数学归纳法进行证明. (3)用裂项法求得 区间 [1,+∞)上单调递增,且 ,求得 ,再由 A={x|x2﹣2ax+a2﹣1<0,a∈R}= ,由此求得实常数 a 的取值范围. 的值为 ,由函数 在

{x|x∈(a﹣1,a+1)},A∩B=φ,有 a+1≤0,或

【解答】解:(1)依题意利用等腰直角三角形的性质可得,
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.…

(2)由



=



即 证明:①当 n=1 时,可求得

,猜测

. ,命题成立. … ,… , ,



②假设当 n=k 时,命题成立,即有 则当 n=k+1 时,由归纳假设及 得 即 解得 即当 n=k+1 时,命题成立. 综上所述,对所有 n∈N*, (3) = ,( … .

不合题意,舍去),



=

.…

因为函数 所以

在区间[1,+∞)上单调递增,且 .…



A={x|x2﹣2ax+a2﹣1<0,a∈R}={x|x∈(a﹣1,a+1)} 由 A∩B=φ,有 a+1≤0,或 故 a∈(﹣∞,﹣1]∪[ ,+∞).… 【点评】本题主要考查数学归纳法的应用,用裂项法对数列求和,两个集合的交集的定义的应用, 属于难题. ,

第 22 页(共 22 页)


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