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2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 专题综合检测二 文


专题综合检测(二)
(时间:120 分钟,满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = A.- 5 3 B.- 5 9 C. 5 9 D. 5 3 3 ,则 cos 2α =(A) 3

解析:sin α +cos α =

3 , 3

1 2 两边平方可得 1+sin 2α = ? sin 2α =- , 3 3 ∵α 是第二象限角,因此 sin α >0,cos α <0, 所以 cos α -sin α =- (cos α -sin α ) =-
2 2 2

2 15 1+ =- . 3 3 5 . 3

∴cos 2α =cos α -sin α =(cos α +sin α ) (cos α -sin α )=-

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cos C =(A) A. 7 7 7 24 B.- C.± D. 25 25 25 25

解析:∵8b=5c,由正弦定理得 8sin B=5sin C. 又∵C=2B,∴8sin B=5sin 2B. 所以 8sin B=10sin Bcos B.易知 sin B≠0, 4 7 2 ∴cos B= ,cos C=cos 2B=2cos B-1= . 5 25 π? 2? 3.函数 y=2cos ?x- ?-1 是(A) 4? ? A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 π? π? 2π ? 2? 解析:因为 y=2cos ?x- ?-1=cos?2x- ?=sin 2x 为奇函数,T= =π .故选 4? 2? 2 ? ? A.

1

4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=

3,b=

2,B=45°,则

A=(D)
A.30° B.30°或 105° C.60° D.60°或 120° 5. (2014?安徽卷)若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位, 所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是(C) A. π 8 π B. 4 3π C. 8 3π D. 4

π? ? 解析:由题意 f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?,将其图象向右平移 φ 个单 4? ? π? π? π ? ? 位,得 2sin?2(x-φ )+ ?= 2sin?2x-2φ + ?,要使图象关于 y 轴对称,则 -2 4? 4? 4 ? ? π π kπ 3π φ = +kπ ,解得 φ =- - ,当 k=-1 时,φ 取最小正值 .故选 C. 2 8 2 8

→ 6.(2015?新课标Ⅰ卷)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量AC=(-4,-3) ,则向量 →

BC=(A)
A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) → 解析:解法一 设 C(x,y) ,则AC=(x,y-1)=(-4,-3) , 所以?
?x=-4, ? ?y=-2, ?

→ 从而BC=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选 A.

→ → → → 解法二 AB=(3,2)-(0,1)=(3,1) ,BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1) =(-7,-4).故选 A. 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边,设向量 m=(b-c,c-a) , n=(b,c+a) ,若向量 m⊥n,则角 A 的大小为(B) A. π 6 π B. 3 π C. 2 2π D. 3

解析:∵m=(b-c,c-a) ,n=(b,c+a)且 m⊥n, 2 2 2 2 2 ∴m?n=(b-c,c-a)?(b,c+a)=b(b-c)+c -a =0,即 b +c -a =bc,

b2+c2-a2 bc 1 π 又∵cos A= = = ,0<A<π ,∴A= . 2bc 2bc 2 3
8.设 0≤x<2π ,且 1-sin 2x=sin x-cos x,则 x 的取值范围是(B) π 5π A.0≤x≤π B. ≤x≤ 4 4

2

C.

π 7π ≤x≤ 4 4

π 3π D. ≤x≤ 2 2

→ → 9.(2015?新课标Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则(A) 1→ 4→ → → 1→ 4→ A.AD=- AB+ AC B.AD= AB- AC 3 3 3 3 → 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3

4→ 1→ 1→ 4→ → → → → 1→ → 1 → → 解析:AD=AC+CD=AC+ BC=AC+ (AC-AB)= AC- AB=- AB+ AC.故选 A. 3 3 3 3 3 3

10.(2015?新课标Ⅰ卷)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 2

x2

2

C 的两个焦点.若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是(A)
3 3? 3 3? ? ? , ? B.?- , ? 3? 6? ? 3 ? 6 ? 2 2 2 2? ? 2 3 2 3? C.?- , ? D.?- , ? 3 3 3 ? ? ? ? 3 A.?- → 解析:由题意知 a= 2,b=1,c= 3,∴ F1(- 3,0) ,F2( 3,0) ,∴ MF1=(- → → → 3-x0,-y0) ,MF2=( 3-x0,-y0).∵ MF1?MF2<0, ∴ (- 3-x0) ( 3-x0)+y0<0,即 x0-3+y0<0. ∵ 点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴
2 2 2





x2 0
2

-y0=1,即 x0=2+2y0,
2 2

2

2

2

∴ 2+2y0-3+y0<0,∴ -

3 3 <y0< .故选 A. 3 3

3 2?π 11.已知 tan α =- ,则 cos ? +α 5 ?4 A. 16 15 B. 17 17 C. 9 8 D. 17 17

?=(A) ? ?

1 12.若向量 a、b 满足|a|=|b|=1,且(a+b)?b= ,向量 a、b 的夹角为(B) 2 A. π 3 2π B. 3 π C. 6 5π D. 6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(a+b-c) (a+b+c)=ab, 则角 C= W.

3

解析:由(a+b-c) (a+b+c)=ab? a +b -c =-ab,根据余弦定理可得 cos C=

2

2

2

a2+b2-c2 1 2π =- ? C= . 2ab 2 3
2π 答案: 3 14.(2015?新课标Ⅱ卷)设向量 a,b 不平行,向量 λ a+b 与 a+2b 平行,则实数λ = W. 解析:∵ λ a+b 与 a+2b 平行,∴ λ a+b=t(a+2b) ,即 λ a+b=ta+2tb,∴ 1 λ = , 2 ? ?λ =t, ? 解得 ? 1 ?1=2t, t= . 2

? ? ? ? ?

1 答案: 2 15.当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π )取得最大值时,x= ? π? 解析:y=sin x- 3cos x=2sin?x- ?, 3? ? π π 5π 0≤x<2π ? - ≤x- < , 3 3 3 W.

? π? 可知-2≤2sin?x- ?≤2. 3? ?
π π 5π 当且仅当 x- = 时,即 x= 时取得最大值. 3 2 6 5π 答案: 6 16.(2014?江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小 值是 W. 解析: 由已知 sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得 a+ 2b=2c, cos C=

a2+b2-c2 2ab

a2+b2-?


?a+ 2b?2 ? ? 2 ? 3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab
= 8ab ≥ 8ab

2ab



6- 2 2 2 ,当且仅当 3a =2b 即 4

a 2 = 时等号成立. b 3
答案: 6- 2 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)

4

17.(10 分) (2015?茂名一模)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,且 a=2bsin A. (1)求角 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求△ABC 的面积及 b. 解析: (1)∵a=2bsin A,由正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,由于 sin A≠0,故有 1 sin B= , 2 又∵B 是锐角,∴B=30°. (2)依题意得:

S△ABC= acsin 30°= ?3 3?5? =
2 2 2

1 2

1 2

1 2

15 3 , 4

∴由余弦定理 b =a +c -2accos B 可得

b2=(3 3)2+52-2?3 3?5?cos 30°
=27+25-45=7, ∴b= 7. 18.(12 分) (2015?安徽卷)已知函数 f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x. (1)求 f(x)最小正周期;
2

? π? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?
π? 2π ? 分析: (1)化简可得 f (x) = 2sin?2x+ ?+1,即可求出 f (x) 的最小正周期 T= 4? |2| ? =π ; π? ? 2 ? ? π? ? (2)∵x∈?0, ?,所以 sin x?2x+ ?∈?- ,1?,即可求出最值. 2? 4? ? 2 ? ? ? π? ? 2 解析: (1)∵f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ? 4? ? +1, 2π ∴f(x)最小正周期 T= =π . |2| π ?π 5π ? ? π? (2)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?, 2? 4 ? 4 ?4 ? π? ? 2 ? ? ∴sin x?2x+ ?∈?- ,1?, 4? ? 2 ? ? ∴f(x)max=1+ 2,f(x)min=0. ωx + 3cos ω x-3(ω >0)在一个周期内的图象如 2

19.(14 分)函数 f(x)=6cos

2

图所示,A 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 3 ? 10 2? (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?,求 f(x0+1)的值. 5 ? 3 3?

5

解析: (1)由已知可得:f(x)=6cos π? ? =2 3sin?ω x+ ?(ω >0). 3? ?

2

ωx + 3cos ω x-3=3cos ω x+ 2

3sin ω x

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3,则 BC=4, 所以,函数 f(x)的周期 T=4?2=8, 即 2π π =8,得ω = . ω 4

所以,函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3 ]. 8 3 (2)因为 f(x0)= ,由(1)有 5

f(x0)=2 3sin?
即 sin?

?π x0+π ?=8 3, 3? ? 4 ? 5

?π x0+π ?=4. ? 3? 5 ? 4

? 10 2? ?π x0+π ?∈?-π ,π ?, 由 x0∈?- , ?,得? ? ? 3? ? 3 3? ? 4 ? ? 2 2?
所以,即 cos?

?π x0+π ?= ? 3? ? 4

2 ?4? 3 1-? ? = . ?5? 5

故 f(x0+1)=2 3sin? =2 3sin??

?π x0+π +π ? 4 3? ? 4 ?

??π x0+π ?+π ? 3? ? 4? ?? 4 ?

? ?π x0+π ?cos π +cos?π x0+π ?sin π ? =2 3?sin? ? 4 ? 3? 3? 4 4? ? ? ? ? ? 4
2 3 2? 7 6 ?4 =2 3? ? + ? ?= . ?5 2 5 2 ? 5 → → → → 20.(12 分)在△ABC 中,已知AB?AC=3BA?BC. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

→ → → → 解析: (1)∵AB?AC=3BA?BC,∴AB?AC?cos A=3BA?BC?cos B,即 AC?cos A=

6

3BC?cos B. 由正弦定理,得 = , sin B sin A

AC

BC

∴sin B?cos A=3sin A?cos B. 又∵0<A+B<π ,∴cos A>0,cos B>0. ∴ sin B sin A =3? ,即 tan B=3tan A. cos B cos A 5 ,0<C<π , 5

(2)∵cos C=

∴sin C=

1-?

? 5?2 2 5 ? = 5 . ?5?

∴tan C=2. ∴tan[π -(A+B)]=2, 即 tan(A+B)=-2. ∴ tan A+tan B =-2. 1-tan A?tan B

4tan A 由 (1) ,得 =-2, 2 1-3tan A 1 解得 tan A=1 或 tan A=- . 3 π ∵cos A>0,∴tan A=1.∴A= . 4

21.(12 分) (2015?福建卷)已知函数 f(x)=10 3sin ?cos +10cos . 2 2 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度,再向下平移 a(a>0)个单位长度 6 后得到函数 g(x)的图象,且函数 g(x)的最大值为 2. ①求函数 g(x)的解析式; ②证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)>0.

x

x

2

x

? π? 分析: (1) 首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将 f (x) 化为 f (x) =10sin ?x+ ? 6 ? ?
2π +5,然后利用 T= 求周期; |ω | π (2)由函数 f(x)的解析式中给 x 减 ,再将所得解析式整体减去 a 得 g(x)的解析 6 式为 g(x)=10sin x+5-a,当 sin x 取 1 时,g(x)取最大值 10+5-a,列方程求得 a =13,从而 g(x)的解析式可求;欲证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0) >0,可解不等式 g(x0)>0,只需解集的长度大于 1,此时解集中一定含有整数,由周期 性可得,必存在无穷多个互不相同的正整数 x0. 解析: (1)因为 f(x)=10 3sin cos +10cos 2 2 2

x

x

2

x

7

=5 3sin +5cos x+5 ? π? =10sin ?x+ ?+5. 6? ? 所以 f(x)函数的最小正周期 T=2π . π (2)①将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到 y=100sin x+5 的图象,再向 6 下平移 a(a>0)个单位长度后得到 g(x)=10sin x+5-a 的图象. 又已知函数 g(x)的最大值为 2,所以 10+5-a=2,解得 a=13. 所以 g(x)=10sin x-8. ②要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)>0,就是要证明存在无穷多 4 个互不相同的正整数 x0,使得 10sin x0-8>0,即 sin x0> . 5 4 3 π 4 由 < 知,存在 0<α 0< ,使得 sin α 0= .由正弦函数的性质可知,当 x∈(α 0, 5 2 3 5 4 π -α 0)时,均有 sin x> . 5 因为 y=sin x 的周期为 2π ,所以当 x∈(2kπ +α 0,2kπ +π -α 0) (k∈Z)时,均 4 有 sin x> . 5 π 因为对任意的整数 k, (2kπ +π -α 0)-(2kπ +α 0)=π -2α 0> >1,所以对任 3 4 意的正整数 k,都存在正整数 xk∈(2kπ +α 0,2kπ +π -α 0) ,使得 sin xk> .亦即存在 5 无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)>0.

? ? ? ? 22.(12 分)已知向量 m=?2cos ,1?,n=?sin ,1?(x∈R) ,设函数 f(x)=m?n 2 ? ? ? 2 ?
x x
-1. (1)求函数 f(x)的值域; 5 3 (2)已知锐角三角形 ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A)= ,f(B)= ,求 13 5

f(C)的值.

? ? ? ? 解析: (1)f(x)=m?n-1=?2cos ,1???sin ,1?-1=2cos sin +1-1=sin 2 ? ? 2 ? 2 2 ?
x x x x x.
∵x∈R, ∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= , 13 5 5 3 ∴sin A= ,sin B= . 13 5 ∵A,B 都为锐角, 12 2 ∴cos A= 1-sin A= , 13

8

4 2 cos B= 1-sin B= . 5 ∴f(C)=sin C=sin[π -(A+B)] =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = = 5 4 12 3 ? + ? 13 5 13 5 56 . 65

56 ∴f(C)的值为 . 65

9


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