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成都市石室中学高三2012级高三第一次月考数学试题(文科)

石室中学高 2012 级高三上期第一次月考数学试题(文科)
一、选择题(共 5×12=60 分) 1.集合 A ? {( x , y ) | 是( A. ( ? ? ,1) 2. ( x ? A.
1 2x 15 4
6

y ? a } ,集合 B ? {( x , y ) | y ? b ? 1, b ? 0, b ? 1 |} ,若集合 A ? B ? ?
x

,则实数 a 的取值范围

) B. ? ?? ,1? ) C.15
?
2

C. (1, ? ? )

D. R

) 的展开式中第三项的系数是(

B. ?

15 4

D. ?

5 2

3.已知非零向量 a 、 b 满足向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为

,那么下列结论中一 定成立的是( . ... D. a ? b )



A. a ? b 4.若双曲线
x a
2 2

B. | a |? | b |
? y b
2 2

C. a ? b

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

与直线 y ? 2 x 无交点,则离心率 e 的取值范围是( C. (1, 5 ) D. (1, 5 ]

A. (1, 2 )

B. (1, 2]

5.某单位员工按年龄分为 A,B,C 三组,其人数之比为 5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个 容量为 20 的样本,已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 A.110 B.100 6. 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 8 a 2 A.
a5 a3

1 45

, 则该单位员工总数为(



? a5 ? 0

C.90 D.80 ,则下列式子中数值不能确定的是( D.
S n ?1 Sn



B.

S5 S3

C.

a n ?1 an

7.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编号互不相同的概率( A.
5 21



B.

2 7

C.

1 3

D.

8 21

8.某球与一个 120? 的二面角的两个面相切于 A 、 B 两点,且 A 、 B 两点间的球面距离为 ? ,则此球的表面 积是( ) A. 1 2 ? B. 24 ? C. 3 6 ? D.144?
?3 , ? 9.已知函数 f ( x ) ? ? lo g x , 1 ? 3 ?
x

( x ? 1), ( x ? 1),

,则函数 y

? f (1 ? x )

的大致图象是( ) y

y

y

y

O A

x

O B
1 3

x C
x ?
3

O

x

O D

x

10.已知 ? 、 ? 是三次函数 f ( x ) ? 则
b?2 a ?1

1 2

a x ? 2 b x ( a , b ? R ) 的两个极值点,且 ? ? (0,1) , ? ? (1, 2) ,
2

的取值范围是(



A. (

1 4

, 1)

B. (

1 2

, 1)

C. ( ?

1 1 , ) 2 4

D. ( 0 , )
3 1 m ? 4 n

1

11.已知正项等比数列 { a n }满 足 : a 7 ? a 6 ? 2 a 5 , 若存在两项 a m 、a n 使得 a m a n ? 4 a1 ,则 为( A.
3 2

的最小值

) B.
5 3

C.

25 6

D.不存在

12.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 2 ) , 且当 x ? [ ? 2 , 0 ]时,
f (x ) ? ( 1 2 ) ? 1 若 在 区 间 ? 2 , 6内关于 x 的方程 f ( x ) ? log a ( x ? 2) ? 0( a ? 1) 恰有 3 个不同的实数 , ( ]
x

根,则 a 的取值范围是 A. (1,2) B. ( 2, ? ? )



) D. ( 3 4 , 2 )
5? 4

C. (1, 3 4 )

二、填空题(共 4×4=16 分) 13.已知 s in (? ? ? ) c o s ? ? c o s ( ? ? ? ) s in ? ? 14.函数函数 f ( x ) ? ? x ? 1( x ? 1) 的反函数是 15.若函数 f ( x ) = lo g 2 ( 4 x ? 2 ) ,则不等式 f 16.向量 V=( a n ? 1 ?
an 2 , a n ?1 2an
2
?1

3 5

, ? 是第三象限角,则 s in ( ? ?

)=

.


1 2

(x) ?

的解集为



)为直线 y=x 的方向向量,a 1 =1,则数列 ?a n ? 的前 2011 项的和为_______.

石室中学高 2012 级高三上期第一次月考数学试题(文科)
(第二卷) 二、填空题: 13、 15、 三、解答题: 17. (12 分)在三人兵乓球对抗赛中,甲、乙、丙三名选手进行单循环赛(即每两人比赛一场) ,共赛三场, 每场比赛胜者得 1 分, 输者得 0 分, 没有平局; 在每一场比赛中, 甲胜乙的概率为 乙胜丙的概率为
1 3 1 3 1 4

14、 16、

, 甲胜丙的概率为





(1)求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率; (2)求三人得分相同的概率;

18.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x ) ? c o s ( 2 x ?

2? 3

) ? cos 2 x

( x ? R ).

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ) ? A B C 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c ,若 和角 C。
f( B 2 )? ? 3 2 , b ? 1,

c ?

3 , 且 a ? b , 试求角 B

19. (共 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面为直角梯形, ? B A D

? 90 ? , B C ? A D



且 PA=AB=BC=1,AD=2. (Ⅰ)设 M 为 PD 的中点,求证: C M ? 平面 PAB; (Ⅱ)求侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的平面角的正切值.

P M A B C D

3 20、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ?

1 2

x ? b x ? c.
2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上是增函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x=1 时取得极值,且 x ? [ ? 1, 2] 时, f ( x ) ? c 2 ? c ? 1 恒成立,求 c 的取值范围.

21、 (共 12 分) 已知点 P 是⊙ O : x 2 ? y 2 ? 9 上的任意一点,过 P 作 P D 垂直 x 轴于 D ,动 点 Q 满足

???? 2 ???? DQ ? DP 。 3

(1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E (1,1) ,在动 点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点 M 、 N ,使 O E ? 是坐标原点 ),若存在,求出直线 M N 的方程,若不存在,请说明理由。
??? ? ? ???? 1 ???? ( O M ? O N ) (O 2

22. (共 14 分)位于函数 y ? 3 x ? 列点的横坐标构成以 ?
5 2

13 4

的图象上的一系列点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), ? , Pn ( x n , y n ) ,…,这一系

为首项,—1 为公差的等差数列 { x n } .

(1)求点 Pn 的坐标; (2)设抛物线 C 1 , C 2 , C 3 , ? C n , …中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,对于 n ? N * 第 n 条抛物线 C n 的 顶点为 Pn ( x n , y n ) ,抛物线 C n 过点 D n (0, n 2 ? 1) ,且在该点处的切线的斜率为 kn,求证
1 k1 k 2 ? 1 k2 k3 ?? ? 1 k n ?1 k n ? 1 10

.

石室中学高 2012 级高三上期第一次月考数学试题(文科)
1——`12:BABDB DDCDA AD

13.

7

2

14. y ? x 2 ? 1( x ? 0)
1 18 7 36
2π ? ? cos ? 2 x ? ? ? cos 2 x ? 3 ? ? 3 2

10

15. ? x 1 ? x ? 2?

16. 2011

17、 (1) P ( A ) ?



(2)P(B)=

18.解: (Ⅰ)∵ f ? x ? ?

s in 2 x ?

3 2

cos 2 x ?

π? ? 3 s in ? 2 x ? ? , 3? ?

∴ 故函数 f ? x ? 的最小正周期为 π ;递增区间为 ? k ? ? . (Ⅱ)
? B ? f ? ? ? ? 2 ? π? 3 ? 3 s in ? B ? ? ? ? 3? 2 ?

?

?

?
12

, k? ?

5? ? ? 12 ?

( k ? Z )………6 分

,∴ s in ? B
?

?

?

π ? 1 ? ? ? 3 ? 2


π 6

∵ 0 ? B ? π ,∴ ?
a

π 3

? B ?

π 3

?

2π 3

,∴ B ?
3

π 3

? ?

π 6

,即 B ?
3 2

.…………………9 分
π 3 2π 3

由正弦定理得:

?

1 s in π 6

?

,∴ s in C ?

,∵ 0 ? C ? π ,∴ C ?





s in A

s in C

当C ?

π 3

时, A ?

π 2

;当 C ?

2π 3

时, A ?

π 6

. (不合题意,舍)

所以 B ?

π 6

.

C ?

π 3

…12 分

19. 解法一: (Ⅰ) 证明: PA 的中点 N, 取 连结 BN、 NM, 在△PAD 中,MN 且BC
? 1 2 AD ? 1

? AD

, MN 且 .又 C M

1 ? A D 2

?1

; B 又 C

?A D



? ,所以 MN ? BC,即四边形 BCMN 为平行四边形, C M

? BN

?

平面 PAB, BN

?

平面

PAB,故 C M

?

平面 PAB.

……5 分

(Ⅱ)在平面 ABCD 中,AB 与 CD 不平行,延长 AB、CD 交于一点,设为 E,连结 PE,则 PE 为侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的棱,又由题设可知 D A ? 侧面 PAB,于是过 A 作 AF ? PE 于 F,连结 DF,由三垂线 定理可知 ? AFD 为侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的平面角. ……8 分 在△EAD 中, B C 由
AF ? 2 5

? AD

,B C
2 2 5 ?

?

1 2

AD

, B 为 AE 为中点, 知 ∴AE=2, Rt△PAE 中, 在 PA=1, AE=2, P E ∴
5.

?

5



. 故 ta n ? A F D ?

5

, 即所求侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的平面角的正切值为 P M F D C B A P

…12 分

解法二:以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AP 所在直线为 x、y、z N 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(1,0,0) , C(1,1 ,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,1). ……2 分 A (Ⅰ)由 M 为 PD 中点知 M 的坐标为(0,1,1) ,所以
???? ? C M ? ( ? 1, 0,1) ,又平面
???? ?? ? ???? ?

D C

PAB 的法向量可取为 m . 又 CM
?
?

??

? (0,1, 0),

B

∴ C M ?m

?0

,即 C M

?? ? m

平面 PAB,所以 C M ∵ PC
????

?

平面 PAB.……6 分 ,

E

(Ⅱ)设平面 PCD 的法向量为 n

? ( x1 , y1 , z1 ).

???? ? (1,1, ? 1), P D ? (0, 2, ? 1)

z P
???? ? ? P C ?n ? x 1 ? y 1 ? z 1 ? 0 , ? ∴ ? ???? ? ? P D ?n ? 2 y 1 ? z 1 ? 0 . ?

,不妨取 z1
??

? 2,

则 y1

? 1, x1 ? 1.

∴n

?

? (1,1, 2).

M A B C
30 6 , ta n ? ? 5.

D

又平面 PAB 的法向量为 m

? (0,1, 0).

设侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的平
1 6 6 6

y

?? ? ?? ? m ?n 面角大小为 ? ,则由 m , n 的方向可知 c o s ? ? ?? ? ? | m || n |

?

,? ?

x ? (0, ? ) ,∴ s in ? ?

即所求侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的平面角的正切值为 5 . ……12 分 (解法三:因为 D A ? 侧面 PAB, C B ? 侧面 PAB,所以也可以考虑用射影面积来求解)
3 20、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ?

1 2

x ? b x ? c.
2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上是增函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x=1 时取得极值,且 x ? [ ? 1, 2] 时, f ( x ) ? c 2 ? c ? 1 恒成立,求 c 的取值范围. 20.解: (Ⅰ) ∴?
f ?( x ) ? 3 x ? x ? b
2

,…1 分
1 12



f (x)

在 ( ?? , ?? ) 上是增函数,∴
1 12 , ? ? ).

f ?( x ) ≥ 0

恒成立.……3 分

? 1 ? 12 ≤ 0

,解得 b ≥

.∴b 的取值范围为 [

…5 分
? x ?1 ? ? 0 ? x0,则 ? ?x ?1 ? 0 ? ? 1 3 b 3 , ,

(Ⅱ) 由题意知 x=1 是方程 3 x

2

?x?b ? 0

的一个根,设另一根为

∴?

2 ? ? x0 ? ? , 3 ?b ? ?2, ?



f ? ( x ) ? 3 x ? x ? 2.
2

在[ ? 1, 2] 上 f(x)、 f ?( x ) 的函数值随 x 的变化情况如下表:
2 3

x
f ?( x ) f (x)

?1

( ? 1, ?

2 3

)

?

2 3

(?

,1)

1 0 极小值 ?
3 2 ?c

(1,2) + 递增

2

+
1 2 ?c

0 极大值
22 27 ? c

— 递减

递增

2+c ……9 分

∴当 x ? [ ? 1, 2] 时,f(x)的最大值为 ∴ 2 ? c ? c2
2

f (2) ? 2 ? c,

∵当 x ? [ ? 1, 2] 时,

f (x) ? c ? c ? 1
2

恒成立,

? c ? 1 ? c ? 2c ? 3 ? 0 ? c ? ?1 或

c>3,…11 分

故 c 的取值范围为 ( ? ? , ? 1) ? (3, ? ? ). (12 分)
???? 2 ???? DP 。 3

21、 已知点 P 是⊙ O : x 2 ? y 2 ? 9 上的任意一点,过 P 作 P D 垂直 x 轴于 D ,动 点 Q 满足 D Q ? (1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E (1,1) ,在动 点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点 M 、 N ,使 O E ? 是坐标原点 ),若存在,求出直线 M N 的方程,若不存在,请说明理由。
??? ?

? ???? 1 ???? ( O M ? O N ) (O 2

21、解: (1)设 P ( x 0 , y 0 ), Q ? x , y ? , 依题意,则点 D 的坐标为 D ( x 0 , 0 ) ………1 分 ∴ DQ
???? ???? ? ( x ? x 0 , y ), D P ? (0, y 0 )

……………2 分