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2015-2016学年概率论与数理统计竞赛试卷


中国石油大学(华东)第五届 《概率论与数理统计》竞赛试卷
(2015-2016 学年)
专业班级 姓 学 名 号 教务处 理学院 2015 年 11 月 22 日

主办单位 承办单位 考试日期

页 号 本页满分 本页得分
注意事项:

一 24

二 20

三 20

四 20

五 总分 16

1.封面及试卷背面为草稿纸,附加页为答题纸,背面答题一律无效; 2.答案必须写在该题下方空白处,不得写在草稿纸上,否则该题答案无效; 3.本试卷正文共 6 页,共五道大题,满分 100 分; 4. 必须保持试卷本完整,拆页的作废。

一.填空题(每题 3 分,共 12 分)
1. 设 A, B 是任意两个事件,则

本页满分 24 分 本 页 得 分

P{ A? B ( A ? B )( A ?

______. B )( ? A ? B )______ }

2. 设随机变量 X 服从泊松分布,且 P( X ? 1) ? 4P( X ? 2) ,则
P( X ? 3) ? ____.

3. 设随机变量 X 服从(-2,2)上的均匀分布,则随机变量 Y ? X 2 的概率密度函 数为 f Y ( y) ? 次可拨通朋友家的概率为 .

4. 小王忘了朋友家电话号码的最后一位数 , 故只能随意拨最后一个号,则他拨三

二.选择题(每题 3 分,共 12 分)
1. 设 B ? A ,则下面正确的等式是 (a) P( AB) ? 1 ? P( A) ; (c) P( B | A) ? P( B) ; 。 (b) P( B ? A) ? P( B) ? P( A) ; (d) P( A | B) ? P( A)

2.设连续性随机变量 X1 与 X2 相互独立,且方差均存在,X1 与 X2 的概率密度分别 1 f1 x) 为( 与 f2 ? x ? ,随机变量 Y1 的概率密度为 fY 1 ? y ? = [ f1 ( y ) ? f 2 ( y )] ,随机变量 2 1 Y2= ( X 1 ? X 2 ) .则( ) 2 (a)EY1>EY2,DY1>DY2 (b)EY1=EY2,DY1=DY2 (c)EY1=EY2,DY1<DY2 (d)EY1= EY2,DY1>DY2 3.离散随机变量 X 的分布函数为 F ( x) , 且 xk ?1 ? xk ? xk ?1 , 则 P( X ? xk ) ? (a) P( xk ?1 ? X ? xk ) ; (c) P( xk ?1 ? X ? xk ?1 ) ; 4. (b) F ( xk ?1 ) ? F ( xk ?1 ) ; (d) F ( xk ) ? F ( xk ?1 ) . .

设 随 机 变 量 X ~ ? (3), Y ~ N (3, 1) 且 X , Y 相 互 独 立 , 根 据 切 比 雪夫不等式有 P( X ? 3 ? Y ? X ? 3) ( ) 5 5 (a) ? 0.25 . (b) ? . (c) ? 0.75 . (d) ? . 9 9

三.计算题(50 分,每题 10 分)

1. 已知一批产品中 90%是合格品,检查时,一个合格品被误认 为是次品的概率为 0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为 0 . 0 2 求 ( 1 ) 一 个产品 经 检 查后 被 认为 是合 格 品 的概 率 ; (2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

本页满分 20 分 本 页 得 分

2. 设随机变量 X 的绝对值不大于 1,且 P( X ? ?1) ? 1/ 8 , P( X ? 1) ? 1/ 4 ; 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比 求 X 的分布函数 F(x)

本页满分 20 分
第6页 共6页

3. 设在区间 [0,1] 上随机取 n 个点,求相距最远的两点间距离 的数学期望。

本 页 得 分

4. X 和 Y 独立,联合分布律如下,试求 a,b,c,d,e

X

Y 1 2 3

1

2

3 d e 0.1

0.03 0.02 a 0.14 b c

第6页 共6页

5. X,Y 独立同分布于几何分布 e(p) ,求 Z=Max{X,Y}的分布律

本页满分 20 分 本 页 得 分

四.应用题(10 分)设考生的高数成绩(百分制) X

服从正态分布,平均成绩(即参

数 ? 之值)为 72 分,96 以上的人占考生总数的 2.3%,今任取 100 个考生 的成绩,以 Y 表示成绩在 60 分至 84 分之间的人数,求(1) Y 的分布列. (2)

EY 和 DY . (? ( 2 ) ? 0 . 9 7? 7,

? (1)

0.8413)

第6页 共6页

五.证明题(16 分)
1.(8 分)设随机变量 X , Y , Z 相互独立且服从同一贝努利分 布 B (1, p ) . 试证明随机变量 X ? Y 与 Z 相互独立

本页满分 16 分 本 页 得 分

2.(8 分)随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从参数为 3 的泊松(Poisson)分 布,证明 X ? Y 仍服从泊松分布,参数为 6

第6页 共6页


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