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高考数学冲刺专题复习之——均值不等式(教师版)


高考数学(文)冲刺专题复习之——均值不等式
一、知识点梳理
1、均值不等式 (1)基本不等式:若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号) (2) 均值不等式: 若 a,b∈R+, 则

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 (当且仅当 a=b 2

时取“=”号) ①(一正) a ? 0, b ? 0 ; ②(二定:积定和最小,和定积最大)若 a ? b ? s ,则 ab 有最大
ab ? p ,则 a ? b 有最小 2 p 值;

s2 值;若 4

③(三相等)当且仅当 a=b 时取“=”号; (3)均值不等式的推广(三个数的均值不等式) :若 a, b, c ? R ? ,则 a ? b ? c ≥

3 3 abc (等号仅当 a ? b ? c 时成立)
2、均值不等式的变形
a 2 ? b2 ? a?b? ① ab ≤ ? ≤ ; ? 2 ? 2 ?
2

? a?b?c ? ② abc ≤ ? ? ; 3 ? ?

3

3、二个重要不等式: ①若 a,b 同号,则
b a ? ? 2 (当且仅当 a=b 时取“=”号) a b

②若 x∈R+,则 x ?

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=”号) x

4、由不等式求最值的方法: (1) 、积定,求和最小值:①基本不等式 a2+b2≥2ab
2



a?b ? ab 2

? a?b? (2) 、和定,求积最大值: ab ≤ a ? b(ab ≤ ? ? ) 2 ? 2 ?

a 2 ? b2 a ? b (3) 、和定,求和与积的最大、最小:① ≤ 2 2

② ab ≤

a 2 ? b2 2

5. 不等式解法 像法

⑴整式不等式:① ax ? b ? a ? 0? ; ② ax2 ? bx ? c ? ? ?? 0 ? a ? 0? ——图

③ 高次不等式: m( x ? a)( x ? b) 解) ⑵ 分 式 不 等 式 : ①

( x ? c) ? 0 ——穿根法(系数正化、轴上标根、穿根取

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ( 分 → 整 ); ② ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

f ( x) f ( x ) ? g ( x ) h( x ) ? h( x ) ? ? 0; g ( x) g ( x)
⑶绝对值不等式:① f ( x) ? a ( a ? 0 ) ? ?a ? f ( x) ? a ; ② f ( x) ? a ( a ? 0 ) ? f ( x) ? a 或 f ( x) ? ?a . (若 a 换为 g ( x) 可仿上处理) . 6.简单的线性规划 ⑴二元一次不等式(组)表示的平面区域及判定方法; ⑵可行域:满足约束条件(不等式组)所表示的平面区域; ⑶目标函数:关于 x, y 的函数解析式; ⑷线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。 ⑸解线性规划问题的一般步骤:设未知数、列出约束条件、建立目标函数、求最优解。

二、考点、题型及方法
考点 1 均值不等式 1、设 x, y ? R ,且 xy ? 0 ,则 ( x 2 ?
1 1 )( ? 4 y 2 ) 的最小值为 y 2 x2
1 4 ? 的最小值是 a b 9 (C) 2



2、 (重庆)已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则 y ? (A) (C)
7 2

(B)4

(D)5

x ≤a , 3、 (10 山东) 若对任意 x ? 0 , 2 则实数 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1 1 【解】因为 x ? 0 ,所以 x ? ≥ 2 (当且仅当 x ? 1 时等号成立) , x 1 x 1 x 1 1 1 则 2 的最大值为 ,故 a ≥ . = ≤ ? ,即 2 5 x ? 3x ? 1 5 x ? 3x ? 1 x ? 3 ? 1 2 ? 3 5 x

.

4、 (四川)设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a 2 ? k#s5_u.c o*m (A)2 【解】 2a 2 ? (B)4

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是 w_w w. ab a(a ? b)

(C) 2 5

(D)5

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 ab a(a ? b) 1 1 w_w_w.k*s 5*u.c o*m ? ab a(a ? b)

= (a ? 5c)2 ? a 2 ? ab ? ab ?

= (a ? 5c)2 ? ab ?
? 0?2?2 ? 4

1 1 ? a ( a ? b) ? ab a ( a ? b)

当且仅当 a ? 5c ? 0, ab ? 1, a ? a ? b? ? 1 时等号成立 如取 a ? 2, b ? (B) 5、 (上海)若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是( (A) a 2 ? b2 ? 2ab
1 1 2 (C) ? ? a b ab

2 2 满足条件. ,c ? 2 5



(B) a ? b ? 2 ab
b a (D) ? ? 2 a b

(D) 6、 (重庆)已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值是( (A)3 【解】考察均值不等式 (B)4 (C)
9 2


11 2

(D)

? x ? 2y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y ) ? 8 ? ? ? ,整理得 ?x ? 2 y ? ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0 ? 2 ?
即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4
4 6 x2 ? 1 7、 (1)求 y ? 2 的最大值。 (2)求函数 y ? x 2 ? 2 的最小值。 x ?1 x ?4

2

【解】 (1) y ?

6 x2 ? 1 6 x2 ? 1 ? 2 ? x2 ? 4 ( x ? 1) ? 3

6 x ?1 ?
2

3 x2 ? 1

?

6 2 3

? 3,

即 y 的最大值为 3 ,当且仅当 x 2 ? 1 ? 大值。

3 x ?1
2

时,即 x 2 ? 2 , x ? ? 2 时取得最

4 4 ? x2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 4 ? 1 ? 3. x ?1 x ?1 4 ? x 2 ? 1 ,即 ( x2 ? 1)2 ? 4 , x2 ? 1 ? 2 , x ? ?1 时 ? y 的最小值为 3,当且仅当 2 x ?1 取得最小值。

(2) y ? x 2 ?

2

8、已知 x ?1 ? y ? 2 ? 5 ,求 x ? y 的最小值 【 解 】 法 1 :( 换 元 法 ) 令 u ? x ?1, v ? y ? 2 , 即 在 u ? v ? 5 时 ,
1 2 ?u ? v ? , 所 以 2 5 25 27 21 33 u 2 ? v2 ? 。所以 u 2 ? v 2 ? 1 ? 。当 u ? v ? ,即 x ? , y ? 时, x ? y 有最 2 2 2 4 4 27 小值是 2

x? y ? 2 u 1 ? ?2v 2 ?

2 ? u

2 取 ? v1 ?最 小 值 。 因 为 u 2 ? v 2 ?

法 2: x ? y ? 1 ? 2 所以, x ? y ?
27 2

? x ? 1?? y ? 2 ? =25 ? x ? y ? 1 ? ? ?? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? ? =2 ? x ? y ? ? 2

训练 x、y ? R , x ? y ? 1 ,求 2x ?1+ 2 y ?1 的最大值。

a 2 ? b2 a ? b 提示: ≤ 2 2
9、若实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值为( (A)18 (B)
1 10、当 x, y ? R 时,函数 f ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ? ( ? y ) 2 的最小值是 x

) (D)2 3

(B)6

(C) 2 3



11、已知 0 ? x ? 1 ,求

5 3 ? 的最小值。 1? x x

12、已知 a ? b ? 0 ,求 a 2 ? 提示: ? a 2 ? ab ? ? ab ?

1 1 的最小值。 ? ab a ? a ? b ?

tan A ? tan B 3 tan B ? ? 13、已知 tan A ? 4 tan B , A 为锐角,求 tan ? A ? B ? 的最大值 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan 2 B 3 提示:利用公式,得到 ? 1 ? 4 tan B tan B

1 1 ? 2 ab a ? ab

考点 2 线性规划
1、 (四川) (8)某加工厂用某原料由车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品, 每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工, 每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天获利最大的 生产计划为(A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱
? x ? y ? 70 ? 则 ?10 x ? 6 y ? 480 ? x, y ? N ?
70 (15,55) 80 y

目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案:B 0 训练 (四川)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产 品可获得利润 5 万元, 每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内 消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万 元 【解析】设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则有关系: A原 料 甲产品 x 吨 3x 料 2x B 原

48

乙 产 品
y吨

y

3y
13

y

?x ? 0 ?y ? 0 ? 则有: ? ?3 x ? y ? 13 ? ?2 x ? 3 y ? 18
目标函数 z ? 5x ? 3 y

(0,6) O

(3,4)



13 9 ,0) 3

x

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知: 当 x =3, y =5 时可获得最大利润为 27 万元,故选 D

三、高考链接
1、 (浙江) )若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 24 28 A. B. C .5 D.6 5 5 【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧. 【解析】 x+3y=5xy,
1 13 ? 2 ? 36 ? ? 5 . 5 5
1 1 2、 (天津)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为( ) a b 1 A 8 B 4 C1 D 4 【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运 用,考查了变通能力。 【解析】因为 3 a ? 3 b ? 3 ,所以 a ? b ? 1 , b a 1 1 1 1 1 b a b a 当且仅当 ? 即 a ? b ? ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4, a b 2 a b a b a b a b 时“=”成立,故选择 C





1 3 1 1 3 1 3x 12 y 13 ? ? 5 , (3x ? 4 y ) ? ( ? ) ? ( ? )? ? 5 y x 5 y x 5 y x

3、 (四川)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可 获得利润 5 万元, 每吨乙产品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 .

【考点定位】本小题考查简单的线性规划,基础题。 (同文 10) 解析:设甲、乙种两种产品各需生产 x 、 y 吨,可使利润 z 最大,故本题即
? 3 x ? y ? 13 ? 2 x ? 3 y ? 18 ? 已知约束条件 ? ,求目标函数 z ? 5 x ? 3 y 的最 ?x ? 0 ? ?y ? 0

?x ? 3 大值,可求出最优解为 ? ,故 zmax ? 15 ? 12 ? 27 ,故 ?y ? 4
选择 D。
? x ? y ? 2, ? 4、 ( 2009 浙 江 ) 若 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组 ? 2 x ? y ? 4, 则 2 x ? 3 y 的 最 小 值 ? x ? y ? 0, ?

是 答案:4

..

2 【 解 析 】 通 过 画 出 其 线 性 规 划 , 可 知 直 线 y ? ? x ? Z 过 点 ?2 , 0 ? 时, 3

? 2x ? 3y ?m i n?

4

5、(山东)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至 少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元. .

【解析】:设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费 为 z 元,则 z ? 200 x ? 300 y , 甲、 乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示: 产 品 设备 甲设备 乙设备 5 6 A 类产品 (件)(≥50) B 类产品 (件)(≥ 140) 10 20 200 300 租赁费 (元)

? 6 x ? y ? 10 ? 5 x ? 6 y ? 50 ? ? 5 ? 则满足的关系为 ?10 x ? 20 y ? 140 即: ? ,. x ? 2 y ? 14 ? ? x ? 0, y ? 0 ? ? ? x ? 0, y ? 0
? 6 ? x ? y ? 10 作出不等式表示的平面区域,当 z ? 200 x ? 300 y 对应的直线过两直线 ? 5 ? ? x ? 2 y ? 14
的交点(4,5)时,目标函数 z ? 200 x ? 300 y 取得最低为 2300 元. . 答案:2300 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量 之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数 ,通过数 形结合解答问题.. 6、设 a, b ? R ? 且 2a ? b ? 1, S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值是_________. 7、若实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 a ? 3b 的最小值是________. 8、设 x, y 是满足 2 x ? y ? 20 的正数,则 lg x ? lg y 的最大值是_________. 9、 (浙江)若正实数 x, y 满足 2 x ? y ? 6 ? xy ,则 xy 的最小值是 10、 (江苏). x, y, z ? R? , x ? 2 y ? 3z ? 0,
y2 的最小值为 xz

. .

3.

2 ?1 ;4.6;5. 2 ? lg 2 ;6.18; 8.3; 2

?2 x ? y ? 2 ? 11 、 (江苏)设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?

18



? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 12、 (浙江) (7)若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9, ? x ? my ? 1 ? 0, ?

则实数 m ? (A) ?2 (B) ?1 (C)1 (D)2 解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,将 m 等价为斜率的倒数,数形结合可知

答案选 C,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想 和数形结合的思想,属中档题
? x ? y ? 3, ? (2010 天津文数) (2)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 则目标函数 z=4x+2y ? y ? 1, ?

的最大值为 (A)12 (B)10 (C)8 (D)2 【答案】B 【解析】 本题主要考查目标函数最值的求法, 属于容易 题,做出可行域,如图由图可知,当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点(2,1)时 z 取得最大值 10. 13、 (安徽)(15)若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒 成立的是 ① ab ? 1 ; ④ a 3 ? b3 ? 3 ; 15.①,③,⑤ 【解析】令 a ? b ? 1 ,排除②②;由 2 ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 1,命题①正确; (写出所有正确命题的编号). ② a? b ? 2;
1 1 ⑤ ? ?2 a b

③ a 2 ? b2 ? 2 ;

a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2 ,命题③正确;
⑤正确。

1 1 a?b 2 ? ? ? ? 2 ,命题 a b ab ab


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