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解析几何题型与方法1


解析几何题型与方法
有关圆锥曲线的定义的问题
1 已知某椭圆的焦点 F1(-4,0) 2(4,0) ,F ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个 交点为 B,且=10,椭圆上不同两点 A(x1,y1) ,C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,| F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标. 解: (1)由椭圆的定义及已知条件知:2a=|F1B|+|F2B|=10,所以 a=5, 又 c=4,故 b=3.故椭圆的方程为

x2 y2 + = 1. 25 9

9 25 ,因为椭圆的右准线方程为 x = , 5 4 4 4 25 4 离心率 e = .所以根据椭圆的第二定义,有 | F2 A |= ( ? x1 ) = 5 ? x1 , 5 5 4 5 4 25 4 | F2 C |= ( ? x 2 ) = 5 ? x 2 .因为|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列, 5 4 5 4 4 9 于是 5 ? x1 + 5 ? x 2 = 2 × ,所以: x1+x2=8, 5 5 5
由点 B(4,y0)在椭圆上,得|F2B|=|y0|= 从而弦 AC 的中点的横坐标为

x1 + x 2 = 4。 2

点评:涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题,常常要注意运用第一定义,而涉及 曲线上的点到某一焦点的距离,常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者,需要注意的是右焦 点与右准线对应,不能弄错.

圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
设 P 是双曲线

x2 y2 ? = 1 右支上任一点. 4 16

(1)过点 P 分别作两渐近线的垂线,垂足分别为 E,F,求 | PE | ? | PF | 的值; (2)过点 P 的直线与两渐近线分别交于 A、B 两点,且 AP = 2 PB, 求?AOB 的面积.
2 x0 2 2 解: (I)设 P ( x 0 , y 0 ), 则 = 1 ? 4 x 0 ? y 0 = 16 4

∵两渐近线方程为 2 x ± y = 0

由点到直线的距离公式得

∴| PF | ? | PF |=

2 2 | 4 x0 ? y 0 | 16 = . 5 5

设两渐近线的夹角为 α ,

则 tan α =|
∴ sin α =

2+2 4 1 3 |= , cos α = = , 2 1? 4 3 1 + tan α 5

4 5

∴ ∠AOB = π ? α , 设A( x1 ,?2 x1 ), B( x 2 ,2 x 2 ), ∴| OA |= 5 x1 , | OB |= 5 x 2 , (Q P是AB的内分点) ∴| OA | ? | OB |= 5 x1 x 2 .

又 AP = 2 PB, x1 + 2 x 2 ? , ? x0 = x2 y2 ? 3 ∴? 代入 ? = 1, 4 16 ? y = 2 x1 ? 4 x 2 , ? 0 3 ? ( x + 2 x 2 ) 2 ( x1 + 2 x 2 ) 2 8x x 得 1 ? = 1, 即 1 2 = 1, 36 36 36
∴ x1 x 2 = S ?AOB 9 2 1 1 9 4 = | OA | ? | OB | sin(π ? α ) = ? 5 ? ? = 9 2 2 2 5

点评:把两个向量之间的关系,转化为两个向量坐标之间的关系,再通过代数运算的方法来 解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。

求范围

x2 y2 AP 设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 + = 1 顺次交于 A、B 两点,试求 的取值范围. 9 4 PB
解:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

AP 1 =? ; PB 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A( x1 , y1 ), B ( x 2,y 2 ) ,直线 l 的方程为: y = kx + 3 ,代入椭 圆方程,消去 y 得

(9k
解之得

2

+ 4 x 2 + 54kx + 45 = 0

)

x1, 2

? 27k ± 6 9k 2 ? 5 . = 9k 2 + 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k > 0 的情形. 当 k > 0 时, x1 =

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27k + 6 9k 2 ? 5 , x2 = , 9k 2 + 4 9k 2 + 4
.

所以

x 18k 18 AP ? 9 k + 2 9k 2 ? 5 =? 1 = =1 ? =1 ? PB x2 9k + 2 9 k 2 ? 5 9 k + 2 9k 2 ? 5 9+2 9? 5
? = (?54k ) 2 ? 180 9k 2 + 4 ≥ 0 , 解得 k 2 ≥

k2

由 所以

(

)

5 , 9

?1 ≤ 1?
?1 ≤

18 9+2 9? 5 k2

1 <? , 5

综上

AP 1 ≤? . PB 5

强化训练

1.双曲线

x2 y 2 ? = 1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( C ) b2 a 2
(B) 3 (C) 2 (D)

(A) 2

3 2

2.椭圆短轴长是 2,长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆中心到其准线的距离是( D ) (A)

8 5 5

(B)

4 5 5

(C)

8 4 3 (D) 3 3 3

3. θ 是任意实数,则方程 x 2 + y 2 sin θ = 4 的曲线不可能是( C ) (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆

4.双曲线

x2 y 2 + = 1 的离心率 e ∈ (1, 2) ,则 k 的取值范围是( B ) 4 k
(B) ( ?12, 0) (C) (?3, 0) (D) ( ?60, ?12)

(A) (?∞, 0)

5.以

x2 y2 ? = ?1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( D ) 4 12 x2 y 2 (B) + =1 12 16
(D)

x2 y 2 (A) + =1 16 12
(C)

x2 y 2 + =1 16 4

x2 y 2 + =1 4 16

6.

x2 y2 x2 y 2 ? 2 = 1 与 2 ? 2 = 1 (a > b > 0) 的渐近线( D ) a2 b b a
(B)不重合,但关于 x 轴对称

(A)重合

(C )不重合,但关于 y 轴对 (D)不重合,但关于直线 y = x 轴对称 7.已知直线 l1 : 2 x + ay = 2 ,直线 l 2 : ax + 2 y = 1 ,若 l1 ⊥ l 2 ,则 a 的值为( B ) A、1 8. 设 F(c,0)为椭圆 B、0 C、0 或 1 D、—1

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点,椭圆上的点与点 F 的距离的最 a 2 b2

大值为 M,最小值为 m,则椭圆上与 F 点的距离是 A.( c,±

b ) a

B.(0, ± b )

1 ( M + m) 的点是( B ) 2 b C.( ? c,± ) D.以上都不对 a

9.已知圆的方程为: x 2 + y 2 + 2 x = 0 ,则它关于直线 y = x 对称的圆的方程是( C ) A、 x 2 + y 2 ? 2 x = 0 C、 x 2 + y 2 + 2 y = 0 B、 x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 = 0 D、 x 2 + y 2 ? 2 y = 0

10.点(3,1)和(—4,6)在直线 3 x ? 2 y + a = 0 的两侧,则 a 的取值范围是( B ) A、 a < ?7或a > 24 B、 ? 7 < a < 24 C、 a = ?7或a = 24 D、 a ≥ ?7

考 查 线 性 规 划 的 同 侧 和 异 侧 问 题 , 同 侧 同 号 , 异 侧 异 号

(7 + a )(?24 + a ) < 0 ? ?7 < a < 24
11
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抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,

x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( D ) A =0
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w 源k.x源源.cm /w /xc 源 源w j tyg o源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王@ 1王.c王m 王 新新 w c 2 o x k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源k.x源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

x3=x1+x2

B

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x1x2=x1x3+x2x3

C

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x1+x2+x3=0

D

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x1x2 +x2x3 +x3x1

? y = ax 2 k b 解析: 解方程组 ? ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=- ,x3=- a a ? y = kx + b

b ,代入验证即可 答案 k
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新







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B

12

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设 u,v∈R,且|u|≤ 2 ,v>0,则(u-v)2+( 2 ? u 2 ? A
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9 2 ) 的最小值为( C ) v
D
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4

B

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2

C

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8

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2 2

解析: 考虑式子的几何意义,转化为求圆 x2+y2=2 上的点与双曲线 xy=9 上的点的 距离的最小值
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