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第二轮第 4讲 函数与方程的思想方法


科大附中高三数学第二轮专题复习(19 讲)

第4讲
一、知识整合

函数与方程的思想方法

函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程 f(x)=0 的解 就是函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标,函数 y=f(x)也可以看作二元方程 f(x)-y=0 通过方程进行研究。 就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关 初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问 题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转 化为讨论函数的有关性质, 达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以 用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的 思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函 数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得 解决。函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函 数观点观察、分析和解决问题。 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或 者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题 获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或 方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 3.(1) 函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方 程 f(x)=0,也可以把函数式 y=f(x)看做二元方程 y-f(x)=0。函数问题(例如求 反函数,求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数 问题来求解,如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不 等式 f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解 不等式。 (3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问 题十分重要。 (4) 函数 f(x)= (ax ? b) n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用 赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。
(5) 解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才 能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论。
1

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(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式 的方法加以解决。 二、例题解析 Ⅰ.运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。 例 1 已知

5b ? c (a、b、c∈R) ,则有( ? 1, 5a
b 2 ? 4ac
(B)



(A)

b 2 ? 4ac (C) b 2 ? 4ac (D) b 2 ? 4ac

解析 法一:依题设有 a·5-b· 5 +c=0
2 ∴ 5 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的一个实根; 2 2 ∴△= b ? 4ac ≥0 ∴ b ? 4ac

故选(B)

法二:去分母,移项,两边平方得:

5b 2 ? 25a 2 ? 10ac ? c 2 ≥10ac+2·5a·c=20ac
2 ∴ b ? 4ac

故选(B)

点评解法一通过简单转化,敏锐地抓住了数与式的特点,运用方程的思想使问题得到解决;解 法二转化为 b2 是 a、c 的函数,运用重要不等式,思路清晰,水到渠成。 练习 1 已知关于 x 的方程

x 2 -(2 m-8)x + m2 -16 = 0 的两个实根 x 、 x
1

2

满足

x<
1

3 2

< x2 ,则实数 m 的取值范围_______________。 答案: {m | ?

1 7 ? m ? }; 2 2


2 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如下,则( (A) b? ? ??,0? (C) b ? (1, 2) 答案:A. (B) b ? ? 0,1? (D) b ? (2, ??) 0 1 y

2 x

3 求使不等式 lg( xy) ≤ lg a · lg2 x ? lg2 y 对大于 1 的任意 x、y 恒成立的 a 的取值范围。 Ⅱ:构造函数或方程解决有关问题: 例 2 已知 f (t ) ? log 2 ,t∈[ 2 ,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式
t

2

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x 2 ? mx ? 4 ? 2m ? 4 x 恒成立,求 x 的取值范围。
解析∵t∈[ 2 ,8],∴f(t)∈[

1 ,3] 2

原题转化为: m( x ? 2) ? ( x ? 2) 2 >0 恒成立,为 m 的一次函数(这里思维的转化很重要) 当 x=2 时,不等式不成立。 ∴x≠2。令 g(m)= m( x ? 2) ? ( x ? 2) 2 ,m∈[

1 ,3] 2

? 1 1 ?g ( ) ? 0 问题转化为 g(m)在 m∈[ ,3]上恒对于 0,则: ? 2 ; 2 ? g (3) ? 0 ?
解得:x>2 或 x<-1 评析 首先明确本题是求 x 的取值范围,这里注意另一个变量 m,不等式的左边恰是 m 的一 次函数,因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中,选准“主元”往往是解 题的关键。 例 3 为了更好的了解鲸的生活习性,某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置,从 海洋放归点 A 处,如图(1)所示,把它放回大海,并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达 40 分钟的跟踪观测,每隔 10 分钟踩点测得数据如下表(设鲸沿海面游动) ,然后又在观测站 B 处 对鲸进行生活习性的详细观测,已知 AB=15km,观测站 B 的观测半径为 5km。 观测时刻 t(分钟) 10 20 30 40 跟踪观测点到放归 点的距离 a(km) 1 2 3 4 鲸位于跟踪观测点正北 方向的距离 b(km) 0.999 1.413 1.732 2.001
西 海岸 图1 B A 东

(1)据表中信息:①计算出鲸沿海岸线方向运动的速度;②试写出 a、b 近似地满足的关系式并 画出鲸的运动路线草图; (2)若鲸继续以(1)-②运动的路线运动,试预测,该鲸经过多长时间(从放归时开设计时) 可进入前方观测站 B 的观测范围?并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻。 (注: 41 ≈6.40; 精确到 1 分钟) 解析(1)由表中的信息可知: ①鲸沿海岸线方向运动的速度为: y

1 (km/分钟) 10

②a、b 近似地满足的关系式为: b ?

a 运动路线如图

A

图2

B

x

(2)以 A 为原点,海岸线 AB 为 x 轴建立直角坐标系,设鲸所在 位置点 P(x,y) ,由①、②得: y ? 依题意:观测站 B 的观测范围是:
3

x ,又 B(15,0) ,

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(x ?15) 2 ? y 2 ≤5 (y≥0)
∴ ( x ? 15) 2 ? x ≤25 由①得:∴该鲸经过 t=

又y?

x

解得:11.30≤x≤17.70

11 .30 =113 分钟可进入前方观测站 B 的观测范围 1 10

持续时间:

17.70 ? 11.30 =64 分钟 1 10
2

∴该鲸与 B 站的距离 d= ( x ?15) 2 ? y 2 = x ? 29 x ? 225 当 d 最小时为最佳观测时刻,这时 x= 练习 4.已知关于 x 的方程 sin (答案:0≤ a ≤4- 2
2

29 =14.5,t=145 分钟。 2

x + a cos x -2 a = 0 有实数解,求实数 a 的取值范围。

3)

Ⅲ:运用函数与方程的思想解决数列问题 例 4 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3 ? 12, S1 2 >0, S13 <0, (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 、 S 2 、 S 3 ?, S1 2 中哪一个最大,并说明理由。 解析(1)由 a3 ? 12得: a1 ? 12 ? 2d , ∵ S1 2 = 12a1 ? 44d ? 144 ? 42d >0 ∴?

S13 = 13a1 ? 78d ? 156 ? 52d <0

24 <d<-3 7

(2) S n ? na1 ?

n(n ? 1) 1 5 d ? dn2 ? (12 ? d )n 2 2 2 5 12 ? 2 d

∵d<0, S n 是关于 n 的二次函数,对称轴方程为:x= ∵?

24 <d<-3 7

∴6<

5 12 13 ? < 2 d 2

∴当 n=6 时, S n 最大。

三、强化练习 1. ( x ?

1 8 ) 展开式中 x 5 的系数为____________. x
4

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2.已知方程 ( x2 ? 2x ? m)( x2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为

1 的等差数列,则 4

m ? n ?(
A 1

) B

3 4

C

1 2

D

3 8


3.设双曲线的焦点 x 在轴上,两条渐近线为 y ? ?

1 x ,则该双曲线的离心率 e ? ( 2
5 2
D

A 5

B

5

C

5 4

4.已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B) ?

Ⅰ.求证 tan A ? 2tan B ; Ⅱ.设 AB ? 3 ,求 AB 边上的高。 5.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加

3 1 ,sin( A ? B) ? 。 5 5

1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的 4 1 2 概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 。 12 9
工的零件不是一等品的概率为 Ⅰ.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; Ⅱ.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率。 6.设 a ? 0 , f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值范围 为 ? 0,

? ?? ,则点P到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围是( ? 4? ?
? 1? B. ?0, ? ? 2a ?
? b ? C . ? 0, ? ? 2a ?



? 1? A. ?0, ? ? 2?

? b ?1 ? D. ?0, ? ? 2a ?

x2 2 7.设双曲线 C: 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B。 a
Ⅰ.求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; Ⅱ.设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

??? ?

? 5 ??? PB ,求 a 的值。 12

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