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福建省漳州市芗城中学高考数学一轮复习 2.6幂函数与二次函数教案

第六节

幂函数与二次函数

教学目标: 知识与技能:了解幂函数的概念,结合五个幂函数的图象了解它们的变化情况;理解并掌握 二次函数的定义,图象及性质,能用二次函数,方程,不等式之间的关系解决简单的问题。 过程与方法:通过画五种幂函数的图象,了解它们的图象的性质,通过图象掌握二次函数的 单调性结合方程或不等式 解决问题。 情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生动手画图,感受图形解题,充分体验数形结合 思想。 教学重点:而次函数的性质及与方程和不等式解题。 教学难点: 利用图象的研究函数 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.二次函数的解析式 一般式:f(x)= ax +bx+c(a≠0) 顶点式: f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k) 零点式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为 f(x)的零点 2.二次函数的图象与性质 函 数 图 象 y=ax +bx+c(a>0)
2 2

y=ax +bx+c(a<0)

2

定义域 值 域

R

R

4ac ? b 2 [ , ??) 4a
在 在

4ac ? b 2 (??, ] 4a
在 在

单调性

b上递减, ] 2a b 上递增 [ ? , ?? ) 2a ( ??, ?
函数的图象关于 x=-

b 上递增 ( ?? ,? , ] 2a b [ ? 上递减 , ??) 2a

奇偶 性 对称轴 3.幂函数

当 b=0 时为偶函数

b 成轴对称 2a

1

形如 y=x (α ∈R)的函数叫幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 4.幂函数的图象 幂函数
1 2

a

y ? x, y ? x , y ? x 2 , y ? x ?1 , y 的图象如下: ? x3

5.幂函数的性质 二例题讲解 【典例 1】(1)已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根 x1,x2 满足 x1+x2=4 和 x1·x2=3,那么二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是( )

(2)已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当 a=-2 时,求 f(x)的最值; ②求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; ③当 a=-1 时,求 f(|x|)的单调区间. 【思路点拨】(1)先根据条件求出两个根,进而得到对称轴方程,最后可得结论. (2)解答①和②可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于③,应先将函 数化为分段函数,再求单调区间.
2

【规范解答】 (1)选 C.因为一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根 x1,x2 满足 x1+x2=4 和 x1·x2=3,所以两个根为 1,3,所以对应的二次函数其对称轴为 x=2. 图象与 x 轴的交点坐标为(1,0),(3,0),故选 C. (2 )①当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在[-4,2)上为减函数,在(2,6]上为增函数, ∴ f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35. 2a ②函数 f(x)=x2+2ax+3 的对称轴为 x ? ? ∴要使 ? ?a,f(x)在[ -4,6]上为单

2

调函数,只需-a≤-4 或-a≥6,解得 a≥4 或 a≤-6. ① 当 a=-1 时,f(|x|)=x -2|x|+3
2 2 ? ? x ? 2x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2, x ? 0, ? 2 2 ? ? x ? 2x ? 3 ? (x ? 1) ? 2, x>0,
2

= 其图象如图所示:

又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1]和[0,1]上为减函数,在区间[-1,0]和[1,6] 上为增函数. 【小结】 1.求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动, 不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时, 要依据对称轴与区间的关 系进行分类讨论. (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象 求解,最值一般在区间的端点或顶点处取 得. 2.二次函数单调性问题的解法 结合 二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解 【变式训练】(2014·三明模拟)已知二次函数 f(x)的图象过点 A(-1,0),B(3,0),C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式. (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值. (3)求不等式 f(x)≥0 的解集. 【解析】(1)由题意可设 f(x)=a(x+1)(x-3), 将 C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),所以 a=2, 即 f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. (2)f(x)=2(x-1)2-8,如图所示, 当 x∈[0,3]时,由二次函数图象知 f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0.
3

(3)f(x)≥0,即 2x2-4x-6≥0 亦即 x2-2x-3≥0, 解得 x≤-1 或 x≥3. 故不等式的解集为{x|x≤-1 或 x≥3}. 【典例 2】(1)已知函数
2 ? ? x ? 2x ? 1, x ? 0, f ?x? ? ? 2 ? ? x ? 2x ? 1, x ? 0,

则对任意 x1,x2∈R,若 0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是( ) (A)f(x1)+f(x2)<0 (B)f(x1)+f(x2)>0 (C)f(x1)-f(x2)>0 (D)f(x1)-f(x2)<0 (2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. ①若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式,并写出单调区间. ②在①的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求 k 的范围. 【思路点拨】(1)从函数的图象及奇偶性、单调性入手解答. b (2)①根据 f(-1)=0 及 列方程组求解 . ? ?? 1

2a

②分离参数,转化为求函数的最值问题. 【规范解答】(1)选 D.
2 ? ?? x ? 1? ? 2, x ? 0, ?f ?x? ? ? 2 ? ?? x ? 1? ? 2, x ? 0,

由图象提供的信息及函数的解析式知 f(x)是偶函数,且 f(x)min=f(0)=-1. ∵|x2|>|x1|>0, ∴f(x2)>f(x1),即 f(x1)-f(x2)<0. (2) ①由题意知

∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2. 单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为[-1,+∞). ②f(x)>x+k 在 区间[-3,-1]上恒成立,转化为 x2+x+1>k 在 [-3,-1]上恒成立. 设 g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1], 则 g(x)在[-3,-1]上递减. ∴g(x)min=g(-1)=1. ∴k<1,即 k 的取值范围为(-∞,1). 【小结】 1.一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法:把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法:借助二次函数的图象性质,列不等式组求解 2.二次函数的应用 (1)解决一元二次方程根的分布问题的方法, 常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从 ①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)解决一元二次不等式的有关问题的策略,一般需借助于二次函数的图象、性质求解.

?f ? ?1? ? a ? b ? 1 ? 0, ?a ? 1, ? ?? ? b ?b ? 2, ?? ? ?1, ? 2a

4

【变式训练】设函数 f(x)=ax2-2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值,都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范围. 2 2 【解析】由 f(x)>0,即 ax2-2x+2>0,x∈(1,4),得 ,4)上恒成立. a ? ? 在2(1 ? x x 令

g?x? ? ?

1 ? ( ,1),? g ? x ?max ? g ? 2 ? ? . x 4 2
2

2 2 1 1 1 ? ? ?2( ? ) 2 ? , 2 1 x x x 2 21

所以要使 f(x)>0 在(1,4)上恒成立,只要 1 取 值范围为 a ? 【典例 3】(1)(2014·宁德模拟)函数 y=

1 a即可 ? .故实数 a 的 2
3 2 的图象大致是 (

x

)

(2)已知幂函数

f ? x ? ? xm

2

? 2m ?3

(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)
m

上是减函数,求满足 的实数 a 的取值范围. 2 a ? 1 2 ? 3 ? 2a 【小结】(1)结合幂函数的图象与 性质排除得解. (2)首先根据单调性求 m 的范围,其次由图象的对称性确定 m 的值,最后根据 解关于 a 的不等式. 2 3 3 【规范解答】(1)选 C.y= x∈R,排除 A,B, x 2 ? x其定义域为 , 又 0< <1,图象在第一象限为上凸的,排除 D,故选 C. (2)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴m2-2m-3<0,解之得-1<m<3. 又 m∈N*,∴m=1 或 m=2. 由于 f(x)的图象关于 y 轴对称. ∴|m2-2m-3|为偶数, 又当 m=2 时,|m2-2m-3|为奇数, ∴m=2 舍去,因此 m=1. 1 又 y ? x 2在[0,+∞)上为增函数,

?

?

?

?

m

的大小,求

m 2

? ? a ? 1? ? ? 3 ? 2a ? 等价于0 ? a ? 1 ? 3 ? 2a,
解之得 ?1 ? a ? , 3 故实数 a 的取值范围是

1 2

1 2

2

2 {a | ?1 ? a ? }. 3

【小结】幂函数的指数对函数图象的影响 当α ≠0,1 时,幂函数 y=xα 在第 一象限的图象特征(如图所示):

5

(1)α >1,图象过点(0,0),(1,1),
1 下凸递增,如 y=x2 . y ? x2. (2)0<α <1,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增,如 1 ? y ? x ?1 , y ? x 2 . (3)α <0,图象过点(1,1),单调递减,且以两坐标轴为渐近线,如 2 ? 2m ?3 【变式训练】(1)函数 x∈(0,+∞) f ? x ? ? (m2 ? m ? 1)x m是幂函数,且在 上是减函数,则实数 m 的值为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【解析】选 A.由题意知 m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,m2-2m-3=-3,f(x)=x-3 符合题意, 当 m=-1 时,m2-2m-3=0,f(x)=x0 不合题意. 综上知 m=2. (2)若 a<0,则下列不等式成立的是( )

(A)2a>( (C) (

1 a ) >0.2? 2

1 a ) >0.2a>2a 2

1 a ) >2a 2 1 a (D)2a>0.2a>( ) 2
(B)0.2a>(

【解析】选 B.∵a<0,∴y=xa 在(0,+∞)上是减函数,且函数值大于零,

故选 B. 三.课堂练习与作业 思考辨析,考点自测,知能巩固

1 ? 0.2a ? ( )a ? 2a, 2

6