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高二数学圆锥曲线知识汇总


高二数学圆锥曲线知识汇总 高二数学圆锥曲线知识汇总
知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型: 一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未 知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨 迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是 寻找与动点坐标有关的方程(等量关系) ,侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条 件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究
? | PF | ? (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集: ?P | = e, e > 0? ,其中 d ? ?

F 为定点,d 为 P 到定直线的l距离,F ? l,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律 性。 当 0<e<1 时,点 P 轨迹是椭圆;当 e>1 时,点 P 轨迹是双曲线;当 e=1 时,点 P 轨迹 是抛物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|>0,F1、F2 为定点}, 双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2 为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改 变而改变。 ①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、 短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 ②定量:

椭 焦 距 2a

圆 2c

双 曲 线

抛 物 线

长轴长 实轴长 短轴长 焦点到对应 准线距离 通径长

—— 2a 2b P=2
b2 c b2 a

——

p



2p

离心率 基本量关系 a =b +c
2 2 2

e=

c a

1 C =a +b
2 2 2

(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 举焦点在 x 轴上的方程如下: 椭
x2 a2 + y2 b2


=1

双 曲 线
x2 a2 ? y2 b2 =1
2

抛 物 线

标准方程

y =2px(p>0)

(a>b>0) 顶 焦 准 中 点 点 线 心 |x|≤a |y|≤b (±a,0) (0,±b) (±c,0) X=±
a2 c

(a>0,b>0) (±a,0) (0,0) (
p ,0) 2

x= ?

p 2

(0,0) |x|≥a x≥0

有界性

P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,F1、F2 分别为左、右焦点 P 在右支时: |PF1|=a+ex0 焦半径 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 |PF2|=-a+ex0 P 在左支时: |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+
p 2

总之研究圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结 合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。 2、直线和圆锥曲线位置关系 (1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为 0) 。 其中直线和曲线只有一个公共点, 包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两 种情形;后一种情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两 种情况;后一种情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 (2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法。

4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方 法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。

例题研究
例1、 根据下列条件,求双曲线方程。 (1)与双曲线 (2)与双曲线 分析: 分析: 法一: (1)双曲线
x 2 y2 4 ? = 1 的渐近线为 y = ± x 9 16 3

x 2 y2 ? = 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ) ; 9 16

x 2 y2 ? = 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2) 。 16 4

令 x=-3,y=±4,因 2 3 < 4 ,故点(-3, 2 3 )在射线 y = ? 轴之间, ∴ 双曲线焦点在 x 轴上 设双曲线方程为
x2 a2 ? y2 b2 =1, (a>0,b>0)

4 x (x≤0)及 x 轴负半 3

?b 4 ?a = 3 ? ? 2 2 ? (?3) ? (2 3 ) = 1 ? b2 ? a2

? 2 9 ?a = 解之得: ? 4 ?b 2 = 4 ?

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? =1 9 4 4 x2 a2 ? y2 b2 = 1 (a>0,b>0)

(2)设双曲线方程为
?a 2 + b 2 = 20 ? 则 ? (3 2 ) 2 2 2 ? 2 =1 ? b ? a2
?a 2 = 12 ? 解之得: ? ?b 2 = 8 ?

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? =1 12 8 x 2 y2 ? = λ (λ≠0) 9 16

法二: (1)设双曲线方程为



( ?3) 2 ( 2 3 ) 2 ? =λ 9 16
1 4

∴ λ=

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? =1 9 4 4
?16 ? k > 0 ? y2 x2 ? =1 ? ?4 + k > 0 ? ? 16 ? k 4 + k ? ?

(3)设双曲线方程为



(3 2 ) 2 22 ? =1 16 ? k 4+k

解之得:k=4 ∴ 双曲线方程为 评注:与双曲线
x 2 y2 ? =1 12 8 x2 a2 ? y2 b2 = 1 共渐近线的双曲线方程为 x2 a2 x2 a2 ? ? y2 b2 y2 b2 = λ (λ≠0) ,当λ>0 = 1 共焦点的双曲线为

时,焦点在 x 轴上;当λ<0 时,焦点在 y 轴上。与双曲线
x2 a +k
2

?

y2 b ?k
2

= 1 (a +k>0,b -k>0) 。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高
2 2

解题质量, 特别是充分利用含参数方程的几何意义, 可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例 2、设 F1、F2 为椭圆
x 2 y2 + = 1 的两个焦点,P 为椭圆上一点,已知 P、F1、F2 是一 9 4 | PF1 | 的值。 | PF2 |

个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 解题思路分析:

当题设涉及到焦半径这个信息时,通常联想到椭圆的两个定义。
?| PF1 | + | PF2 |= 6 ? 法一:当∠PF2F1=90 时,由 ?| PF1 | 2 =| PF2 | 2 +(2c) 2 得: ? 2 ?c = 5
0

| PF1 |=

14 4 , | PF2 |= 3 3



| PF1 | 7 = | PF2 | 2
0

当∠F1PF2=90 时,同理求得|PF1|=4,|PF2|=2 ∴
| PF1 | =2 | PF2 |
0

法二:当∠PF2F1=90 , x P = 5

∴ yP = ±

4 3 4 ) 3

∴ P( 5 , ±

又 F2( 5 ,0) ∴ |PF2|=
4 3 14 3

∴ |PF1|=2a-|PF2|=

?x 2 + y 2 = ( 5 ) 2 ? 当∠F1PF2=90 ,由 ? x 2 y 2 得: + =1 ? 4 ? 9
0

P( ±

3 4 5, ± 5) 。下略。 5 5

评注:由|PF1|>|PF2|的条件,直角顶点应有两种情况,需分类讨论。 例 3、设点 P 到 M(-1,0) ,N(1,0)的距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴的距离之比为 2, 求 m 取值范围。 分析: 分析: 根据题意,从点 P 的轨迹着手 ∵ ||PM|-|PN||=2m ∴ 点 P 轨迹为双曲线,方程为 又 y=±2x(x≠0) ①②联立得: x 2 = 将此式看成是 取值范围。 根据双曲线有界性:|x|>m,x >m ∴
m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m 2
2 2 2 2

x2 m2

?

y2 1 ? m2

= 1 (|m|<1) ①


m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m 2

m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m 2

关于 x 的二次函数式,下求该二次函数值域,从而得到 m 的

> m2

又 0<m <1 ∴ 1-5m >0 ∴ | m |< ∴ m ∈ (?
5 且 m≠0 5 5 5 , 0) U (0, ) 5 5

评注:利用双曲线的定义找到点 P 轨迹是重要一步,当题目条件有等量关系时,一般考

虑利用函数思想,建立函数关系式。

例 4、已知 x +y =1,双曲线(x-1) -y =1,直线l同时满足下列两个条件:①与双曲线交 于不同两点;②与圆相切,且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。 分析: 分析: 选择适当的直线方程形式,把条件“l是圆的切线” “切点 M 是弦 AB 中点”翻译为关于 参数的方程组。 法一:当l斜率不存在时,x=-1 满足; 当l斜率存在时,设l:y=kx+b l与⊙O 相切,设切点为 M,则|OM|=1 ∴
2

2

2

2

2

|b| k2 +1
2

=1

∴ b =k +1



? y = kx + b 2 2 2 由? 得:(1-k )x -2(1+kb)x-b =0 2 2 ?( x ? 1) ? y = 1

当 k≠±1 且△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则中点 M(x0,y0) ,
x1 + x 2 = 2(1 + kb) 1? k
2

, x0 =

1 + kb 1? k2

∴ y0=kx0+b=

k+b 1? k2

∵ M 在⊙O 上 ∴ x0 +y0 =1 ∴ (1+kb) +(k+b) =(1-k )
2 2 2 2 2 2



? ? 3 3 ?k = ?k = ? ? ? 3 3 由①②得: ? 或 ? 2 2 ?b = ? ?b = 3 3 ? ? 3 3 ? ?

∴ l: y =

3 2 3 2 x? 3或y=? + 3 3 3 3 3

法二:设 M(x0,y0) ,则切线 AB 方程 x0x+y0y=1 当 y0=0 时,x0=±1,显然只有 x=-1 满足; 当 y0≠0 时, y = ?
2 2

x0 1 x+ y0 y0
2 2 2 2

代入(x-1) -y =1 得:(y0 -x0 )x +2(x0-y0) x-1=0 ∵ y0 +x0 =1 ∴ 可进一步化简方程为:(1-2x0 )x +2(x0 +x0-1)x-1=0
2 2 2 2 2

由中点坐标公式及韦达定理得: x 0 = ? 即 2x0 -x0 -2x0+1=0 解之得:x0=±1(舍),x0= ∴ y 0= ±
3 。下略 2
1 2
3 2

x0 + x0 ?1
2

1 ? 2x 0

2



评注:不管是设定何种参数,都必须将形的两个条件( “相切”和“中点” )转化为关于 参数的方程组,所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。 例 5、A、B 是抛物线 y =2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB, (1)求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求证:直线 AB 过定点; (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; (4)求△AOB 面积的最小值; (5)O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程。 分析: 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,中点 P(x0,y0) (1) k OA = ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1 ∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y1 =2px1,y2 =2px2 ∴
y1 2 y 2 2 ? + y1 y 2 = 0 2p 2p
2 2 2

y1 y , k OB = 2 x1 x2

∵ y1≠0,y2≠0 ∴ y1y2=-4p ∴ x1x2=4p
2 2 2 2

(2)∵ y1 =2px1,y2 =2px2 ∴ (y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2) ∴
y1 ? y 2 2p = x 1 ? x 2 y1 + y 2 2p y1 + y 2 2p (x ? x 1 ) y1 + y 2

∴ k AB =

∴ 直线 AB: y ? y1 =

∴ y= ∴ y=

2px 1 2px + y1 ? y1 + y 2 y1 + y 2

y 2 ? 2px 1 + y1 y 2 2px + 1 y1 + y 2 y1 + y 2 y1 y 2 = ?4p 2

∵ y1 2 = 2px 1 , ∴ y= ∴ y=

2px ? 4p 2 + y1 + y 2 y1 + y 2 2p ( x ? 2p ) y1 + y 2

∴ AB 过定点(2p,0) ,设 M(2p,0) (3)设 OA∶y=kx,代入 y =2px 得:x=0,x= ∴ A(
2p 2p , ) k2 k
1 2 代 k 得 B(2pk ,-2pk) k
2

2p k2

同理,以 ?

1 ? 2 ? x 0 = p( k + 2 ) ? k ∴ ? ? y = P( 1 ? k ) ? 0 k ?

∵ k2 + ∴

1 k = ( ? )2 + 2 k k k 1
2

x0 y = ( 0 )2 + 2 p p
2 2 2 2

即 y0 =px0-2p

∴ 中点 M 轨迹方程 y =px-2p

(4) S ?AOB = S ?AOM + S ?BOM =

1 | OM | (| y1 | + | y 2 |) = p(| y1 | + | y 2 |) 2

≥ 2p | y 1 y 2 | = 4p 2 当且仅当|y1|=|y2|=2p 时,等号成立 评注:充分利用(1)的结论。 (5)法一:设 H(x3,y3) ,则 k OH = ∴ k AB = ?
x3 y3 x3 (x ? x 3 ) y3 y3 x3

∴ AB: y ? y 3 = ?

y 2py 3 2p 2 即 x = ? 3 ( y ? y 3 ) + x 3 代入 y =2p 得 y 2 + y ? 3 ? 2px 3 = 0 x3 x3 x3

2

由(1)知,y1y2=-4p
2

2



2py 3 + 2px 3 = 4p 2 x3
2 2 2 2

整理得:x3 +y3 -2px3=0 ∴ 点 H 轨迹方程为 x +y -4x=0(去掉(0,0) ) 法二:∵ ∠OHM=90 ,又由(2)知 OM 为定线段 ∴ H 在以 OM 为直径的圆上 ∴ 点 H 轨迹方程为(x-p) +y =p ,去掉(0,0) 例 6、设双曲线 x 2 ?
y2 = 1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 2
2 2 2 0

(1)求直线 AB 方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆, 为什么? 分析: 分析: (1)法一:显然 AB 斜率存在 设 AB:y-2=k(x-1)
? y = kx + 2 ? k ? 2 2 2 得:(2-k )x -2k(2-k)x-k +4k-6=0 由 ? 2 y2 =1 ?x ? 2 ?

当△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则l =
x 1 + x 2 k (2 ? k) = 2 2 ? k2

∴ k=1,满足△>0 ∴ 直线 AB:y=x+1 法二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)
? 2 y1 2 =1 ?x 1 ? ? 2 则? 2 ? 2 y2 x2 ? =1 ? 2 ?

两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)= ∵ x1≠x2 ∴
y1 ? y 2 2( x 1 + x 2 ) = x1 ? x 2 y1 + y 2 2 ×1 =1 2

1 (y1-y2)(y1+y2) 2

∴ k AB =

∴ AB:y=x+1 代入 x 2 ?
y2 = 1 得:△>0 2

评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处 理。在利用点差法时,必须检验条件△>0 是否成立。 (2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足 所有条件。 本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心 设 A、B、C、D 共圆于⊙OM,因 AB 为弦,故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上;又 CD 为弦, 故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
?y = x + 1 ? 得:A(-1,0) ,B(3,4) 由 ? 2 y2 =1 ?x ? 2 ?

又 CD 方程:y=-x+3
?y = ?x + 3 ? 2 由 ? 2 y2 得:x +6x-11=0 =1 ?x ? 2 ?

设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 中点 M(x0,y0) 则 x0 =
x3 + x4 = ?3, y 0 = ? x 0 + 3 = 6 2

∴ M(-3,6) ∴ |MC|=|MD|=
1 |CD|= 2 10 2

又|MA|=|MB|= 2 10 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| ∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 评注: 充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰, 在复习中必须引起足够重 视。


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