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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数 理


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念 与基本初等函数 I 2.5 指数与指数函数 理

1.分数指数幂 (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a n =n a m ( a ? 0,m,n ? N*,且n ? 1); 正数的负 分数指数幂的意义是 a n = 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质:a a =a 2.指数函数的图象与性质
s t s+t

m

?

m n

1 a
m

0 的正分数指数幂等于 0;0 (a ? 0,m,n ? N*,且n ? 1);

,(a ) =a ,(ab) =a b ,其中 a>0,b>0,s,t∈Q.

s t

st

t

t t

y=ax

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域

(1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1)

性质

(4)当 x>0 时,y>1;当 x<0 时, 0<y<1 (6)在(-∞,+∞)上是增函数

(5)当 x>0 时,0<y<1;当 x<0 时,y>1 (7)在(-∞, +∞)上是减函数

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) a =( a) =a.( × ) (2)分数指数幂 a 可以理解为 个 a 相乘.( × (3) (-1) 4 =(-1) 2 = ?1. (
2 1

n

n

n

n

m n

m n

)

× )

1

(4)函数 y=a 是 R 上的增函数.( ×
2

-x

)

(5)函数 y=a x +1 (a>1)的值域是(0,+∞).( × ) (6)函数 y=2
x-1

是指数函数.( × )

1.若 a=(2+ 3) ,b=(2- 3) ,则(a+1) +(b+1) 的值是________. 答案 2 3
-1 -1

-1

-1

-2

-2

解析 ∵a=(2+ 3) =2- 3,b=(2- 3) =2+ 3, ∴(a+1) +(b+1) =(3- 3) +(3+ 3) = 1 2 + = . 12-6 3 12+6 3 3 1
-2 -2 -2 -2

1 x 2.函数 f(x)=a - (a>0,a≠1)的图象可能是______.(填图象序号)

a

答案 ④ 解析 函数 f(x)的图象恒过(-1,0)点,只有图象④适合. 3.(教材改编)已知 0.2 <0.2 ,则 m________n(填“>”或“<”). 答案 > 解析 设 f(x)=0.2 ,f(x)为减函数, 由已知 f(m)<f(n), ∴m>n. 4. 若函数 y=(a -1) 在(-∞, +∞)上为减函数, 则实数 a 的取值范围是________________. 答案 (- 2,-1)∪(1, 2) 解析 由 y=(a -1) 在(-∞,+∞)上为减函数,得 0<a -1<1,∴1<a <2,即 1<a< 2或- 2<a<-1. 5.函数 y=8-2 答案 [0,8) 解析 ∵x≥0,∴-x≤0,∴3-x≤3, ∴0<2
3-x 3-x 2 2

m

n

x

x

x

2

2

(x≥0)的值域是________.

≤2 =8,∴0≤8-2
3-x

3

3-x

<8,

∴函数 y=8-2

的值域为[0,8).

2

题型一 指数幂的运算 例 1 化简:(1)

a 3b 2 3 ab 2 (a b ) a b
1 4 1 2 4 ? 1 3 1 3

(a ? 0,b ? 0);

(2) (-

1 27 ? 2 ? ) 3 +? 0.002? 2 -10( 5-2)-1+( 2- 3)0 . 8
1
3 2

2

1

+ -1+ 1+ -2- ?a b a 3 b 3 ? 2 3 b 3 3=ab-1. 解 (1)原式= = a2 6 1 1

3

1

1

1

1

ab2a
(2)原式= (-

?

3

b3

27 ? 2 1 ?1 10 ) 3 +( ) 2- +1 8 500 5 ?2

1 8 2 3 =(- ) +500 2 -10( 5+2)+1 27

4 167 = +10 5-10 5-20+1=- . 9 9 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、 分数指数幂统一为分数指数幂, 以便利用法则计算, 还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
1 2

(1) [(0.064 5 )-2.5 ]3 -3 3 -π0= _________________________. ? 4ab ? ?1? 2 (2) ? ? · 1 =________. ?4? -1 3 -3 ?0.1? ·?a ·b ? 2
-1 3

3 8

?

1

8 答案 (1)0 (2) 5
5 3 ? 1 ?2 ? ? ? 1 1 5 2 1 ? 4 ?3? 5 ?( ? 2 )? 3 ??3?3? 3 5 3 ? ?? 64 ? 5 ? ? ? ?27? 3 ? ? 解析 (1)原式= ? ? - ?? ? ? - 1 = - - 1 = ? -1=??10? ? ? -? ? 8 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1000 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2

0.

3

2×4 ×a b (2)原式= 3 3 10a 2 b
? 2

3 2

3 2

?

3 2

8 = . 5

题型二 指数函数的图象及应用 例 2 (1)函数 f(x)=a
x-b

的图象如

图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是________. ①a>1,b<0; ②a>1,b>0; ③0<a<1,b>0; ④0<a<1,b<0. (2)若曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________. 答案 (1)④ (2)[-1,1] 解析 (1)由 f(x)=a 函数 f(x)=a (2)
x-b x-b x

的图象可以观察出, 函数 f(x)=a
x

x-b

在定义域上单调递减, 所以 0<a<1.

的图象是在 f(x)=a 的基础上向左平移得到的,所以 b<0.

曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可知:如果|y|=2 +1 与直线 y=b 没 有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1]. 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点, 若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸 缩、对称变换而得到.特别地,当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关 指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. (1)如图,面积为 8 的平行四边形 OABC,对角线 AC⊥CO,AC 与 BO 交于点 E.某指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)经过点 E,B,则 a= ________. (2)已知函数 f(x)=|2 -1|,a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中, 一定成立的是________.
4
x x

x

x

①a<0,b<0,c<0; ②a<0,b≥0,c>0; ③2 <2
-a

c;

④2 +2 <2. (2)④
t t t
2t

a

c

答案 (1) 2

解析 (1)设点 E(t,a ),则点 B 坐标为(2t,2a ).因为 2a =a ,所以 a =2.因为平行四边 形 OABC 的面积=OC×AC=a ×2t=4t,又平行四边形 OABC 的面积为 8,所以 4t=8,t=2, 所以 a =2,a= 2. (2)
2

t

t

作出函数 f(x)=|2 -1|的图象,如图, ∵a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),结合图象知 0<f(a)<1,a<0,c>0, ∴0<2 <1. ∴f(a)=|2 -1|=1-2 <1, ∴f(c)<1,∴0<c<1. ∴1<2 <2,∴f(c)=|2 -1|=2 -1, 又∵f(a)>f(c),∴1-2 >2 -1, ∴2 +2 <2. 题型三 指数函数的图象和性质 命题点 1 比较指数式的大小 例 3 (1)下列各式比较大小正确的是________. ①1.7 >1.7 ③0.8
-0.1 2.5 3;

x

a

a

a

c

c

c

a

c

a

c

②0.6 >0.6 ;
0.2;

-1

2

>1.25

④1.7 >0.9 .

0.3

3.1

2 3 2 3 5 2 5 2 5 (2)设 a=( ) ,b=( ) ,c=( ) , 则 a,b,c 的大小关系是________. 5 5 5

答案 (1)②④ (2)a>c>b 解析 (1)①中, ∵函数 y=1.7 在 R 上是增函数, 2.5<3,∴1.7 <1.7 ,错误; ②中,∵y=0.6 在 R 上是减函数,-1<2, ∴0.6 >0.6 ,正确; ③中,∵(0.8) =1.25, ∴问题转化为比较 1.25 与 1.25 的大小.
0.1 0.2 -1 -1 2 2.5 3

x

x

5

∵y=1.25 在 R 上是增函数,0.1<0.2, ∴1.25 <1.25 ,即 0.8
0.3 0.1 0.2 -0.1

x

<1.25 ,错误;

0.2

④中,∵1.7 >1,0<0.9 <1, ∴1.7 >0.9 ,正确.
0.3 3.1

3.1

?2?x (2)∵y=? ? 为减函数, ?5?
? 2 ?5 ? 2 ?5 ∴ ? ? ? ? ? 即 b<c, ?5? ?5?
3 2

又 =

?3? 5 ? ? a ?5?

2

?3? ?3?0 =? ? 5 >? ? =1, 2 c ?2? ?2? ?2? ?5? 5 ? ?

2

∴a>c,故 a>c>b. 命题点 2 解简单的指数方程或不等式 1? ? ?? ?2?x-7,x<0, 例 4 设函数 f(x)=?? ? ? ? x,x≥0, 答案 (-3,1) 1 ?1?a ?1?a ?1?a ?1?-3 解析 当 a<0 时,不等式 f(a)<1 可化为? ? -7<1,即? ? <8,即? ? <? ? ,因为 0< <1,所 2 ?2? ?2? ?2? ?2? 以 a>-3,此时-3<a<0;当 a≥0 时,不等式 f(a)<1 可化为 a<1,所以 0≤a<1.故 a 的取值 范围是(-3,1). 命题点 3 和指数函数有关的复合函数的性质 例 5 设函数 f(x)=ka -a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x +2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 2x -2x (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a -4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2 解 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数, 所以 f(0)=0,所以 k-1=0,即 k=1,f(x)=a -a . 1 (1)因为 f(1)>0,所以 a- >0,
x
-x 2

若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是__________.

x

-x

a

又 a>0 且 a≠1,所以 a>1. 因为 f′(x)=a ln a+a ln a=(a +a )ln a>0, 所以 f(x)在 R 上为增函数,原不等式可化为 f(x +2x)>f(4-x), 所以 x +2x>4-x,即 x +3x-4>0,
2 2 2

x

-x

x

-x

6

所以 x>1 或 x<-4. 所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}. 3 1 3 (2)因为 f(1)= ,所以 a- = , 2 a 2 1 2 即 2a -3a-2=0,所以 a=2 或 a=- (舍去). 2 所以 g(x)=2 +2
x
-x 2 2x -2x

-4(2 -2 )
-x

x

-x

=(2 -2 ) -4(2 -2 )+2. 3 x -x 令 t(x)=2 -2 (x≥1),则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知),即 t(x)≥t(1)= , 2 所以原函数为 ω (t)=t -4t+2=(t-2) -2, 所以当 t=2 时,ω (t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2). 即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2. 思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题. 解决此类问题应利用指数函数的单调性, 要特别注 意底数 a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论. (3)解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、 周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论. (1)已知函数 f(x)=2
|2x-m| 2 2

x

(m 为常数),若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则

m 的取值范围是________.
(2) 如果函数 y = a + 2a - 1(a>0 , a≠1)在区间 [ - 1,1] 上的最大值是 14 ,则 a 的值为 ________. 1 答案 (1)(-∞,4] (2) 或 3 3 解析 (1)令 t=|2x-m|,则 t=|2x-m|在区间[ ,+∞)上单调递增,在区间(-∞, ]上 2 2 单调递减.而 y=2 为 R 上的增函数,所以要使函数 f(x)=2 则有 ≤2,即 m≤4,所以 m 的取值范围是(-∞,4]. 2 (2)令 a =t,则 y=a +2a -1=t +2t-1 =(t+1) -2. 1 ?1 ? 2 当 a>1 时,因为 x∈[-1,1],所以 t∈[ ,a],又函数 y=(t+1) -2 在? ,a?上单调递增,
2 2x

x

m

m

t

|2x-m|

在[2,+∞)上单调递增,

m

x

2x

x

2

a

?a

?

所以 ymax=(a+1) -2=14,解得 a=3(负值舍去).

2

7

1 当 0<a<1 时,因为 x∈[-1,1],所以 t∈[a, ],

a

1 2 又函数 y=(t+1) -2 在[a, ]上单调递增,

a

1 1 2 则 ymax=( +1) -2=14,解得 a= (负值舍去). a 3 1 综上知 a=3 或 a= . 3

4.换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用

?1?x ?1?x 典例 (1)函数 y=? ? -? ? +1 在区间[-3,2]上的值域是________. ?4? ?2?

?1? (2)函数 f ? x ?=? ? ?2?

-x2+2x+1

的单调减区间为_____________________________________.

?1?x 思维点拨 (1)求函数值域,可利用换元法,设 t=? ? ,将原函数的值域转化为关于 t 的二 ?2?
次函数的值域. (2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求. 解析 (1)因为 x∈[-3,2],

?1?x ?1 ? 所以若令 t=? ? ,则 t∈? ,8?, ?2? ?4 ? ? 1?2 3 2 故 y=t -t+1=?t- ? + . ? 2? 4
1 3 当 t= 时,ymin= ;当 t=8 时,ymax=57. 2 4

?3 ? 故所求函数值域为? ,57?. ?4 ? ?1?u 2 (2)设 u=-x +2x+1,∵y=? ? 在 R 上为减函数, ?2?

?1? ∴函数 f ? x ?=? ? ?2?
2

-x2+2x+1

的减区间即为函数 u=-x +2x+1 的增区间.

2

又 u=-x +2x+1 的增区间为(-∞,1], ∴f(x)的减区间为(-∞,1].

?3 ? 答案 (1)? ,57? ?4 ?

(2)(-∞,1]

温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时, 要熟练掌握指数函数
8

的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题;(2) 换元过程中要注意“元”的取值范围的变化.

[方法与技巧] 1.通过指数函数图象比较底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值,再进行比较. 2.指数函数 y=a (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关,一定要分清 a>1 与 0<a<1. 3.对与复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成. [失误与防范] 1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为 a +b·a +c=0 或 a +b·a +c≥0 (≤0)形式的方程或不等式,常借助换元 法解决,但应注意换元后“新元”的范围.
2x

x

x

2x

x

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.函数 f(x)=a 答案 (2,2) 解析 ∵a =1,∴f(2)=2,故 f(x)的图象必过点(2,2). 1 2.5 2.5 0 2.已知 a=2 ,b=2.5 ,c=( ) ,则 a,b,c 的大小关系是__________. 2 答案 a>b>c 1 0 0 解析 a>2 =1,b=1,c<( ) =1,∴a>b>c. 2 3. 若函数 f(x)=a 答案 [2,+∞) 1 1 2 解析 由 f(1)= 得 a = , 9 9 1 1 1 |2x-4| 所以 a= 或 a=- (舍去),即 f(x)=( ) . 3 3 3 由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减. 4. 若关于 x 的方程|a -1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个不等实根, 则 a 的取值范围是__________.
9
x
|2x-4| 0

x-2

+1(a>0 且 a≠1)的图象经过定点的坐标为__________.

1 (a>0, a≠1), 满足 f(1)= , 则 f(x)的单调递减区间是____________. 9

? 1? 答案 ?0, ? 2 ? ?
x x

解析 方程|a -1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y=|a -1|与 y=2a 有两个 交点. 1 ①当 0<a<1 时,如图(1),∴0<2a<1,即 0<a< . 2

②当 a>1 时,如图(2),而 y=2a>1 不符合要求.

1 综上,0<a< . 2 4 ?3? ? ? 7?0 5.计算:? ? 3 ×?- ? +8 4 × 2- ?2? ? 6? 答案 2
3 1 ? 2 ?3 ? 2 ?3 解析 原式= ? ? ? 1+2 4 ? 2 4 -? ? =2. ?3? ?3? 1 1
1 1

?-2? 3 =________. ? 3? ? ?

2

6. 已知函数 y=a +b (b>0)的图象经过点 P(1,3),如图所示,则 1 的最小值为______. 9 2
x

x

4 + a-1

b

答案

解析 由函数 y=a +b (b>0)的图象经过点 P(1,3),得 a+b=3,所以 则 1 ?a-1 b? 4 1 ? 4 1 2b a -1 5 + ? + ?=2+ + + =? + ≥ +2 ?? 2? a-1 b ?a-1 b?? 2 2 a-1 2b 2

a-1 b
2

+ =1,又 a>1, 2

2b a-1 9 · = ,当且仅当 a-1 2b 2

2b a-1 7 2 4 1 9 = ,即 a= ,b= 时取等号,所以 + 的最小值为 . a-1 2b 3 3 a-1 b 2 7.已知正数 a 满足 a -2a-3=0,函数 f(x)=a ,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的 大小关系为________.
10
2

x

答案 m>n 解析 ∵a -2a-3=0,∴a=3 或 a=-1(舍). 函数 f(x)=3 在 R 上递增,由 f(m)>f(n),得 m>n.
?f?x?,x≥0, ? 1 x 8 .已知函数 f(x) = 2 - x ,函数 g(x) = ? 2 ? ?f?-x?,x<0,
x
2

则函数 g(x) 的最小值是

________. 答案 0 1 x 解析 当 x≥0 时,g(x)=f(x)=2 - x为单调增函数, 所以 g(x)≥g(0)=0;当 x<0 时,g(x) 2 =f(-x)=2 -
-x

1 -x为单调减函数,所以 g(x)>g(0)=0,所以函数 g(x)的最小值是 0. 2
ax2-4 x+3

?1? 9.已知函数 f ? x ?=? ? ?3?

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.

?1? 解 (1)当 a=-1 时, f ? x ?=? ? ? 3?
令 g(x)=-x -4x+3,
2

-x2-4x+3



由于 g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,

?1?t 而 y=? ? 在 R 上单调递减, ?3?
所以 f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的单调递增区间是(-2,+∞), 单调递减区间是(-∞,-2].

?1?g(x) 2 (2)令 g(x)=ax -4x+3,f(x)=? ? , ?3?
由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1,

a>0, ? ? 因此必有?3a-4 =-1, ? ? a

解得 a=1,

即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1. 10.已知函数 f(x)=e -e (x∈R,且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性; (2)是否存在实数 t, 使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x∈R 都成立?若存在, 求出 t; 若不存在,请说明理由.
11
2 2

x

-x

?1?x x 解 (1)∵f(x)=e -? ? , ?e? ?1?x x ∴f′(x)=e +? ? , ?e?
∴f′(x)>0 对任意 x∈R 都成立, ∴f(x)在 R 上是增函数. ∴f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e -e =-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)存在.由(1)知 f(x)在 R 上是增函数和奇函数, 则 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x∈R 都成立, ?f(x -t )≥f(t-x)对一切 x∈R 都成立, ?x -t ≥t-x 对一切 x∈R 都成立,
2 2 2 2 2 2 -x

x

? 1?2 1 2 2 ?t +t≤x +x=?x+ ? - 对一切 x∈R 都成立, ? 2? 4
1 2 1 ? 1?2 2 2 ?t +t≤(x +x)min=- ?t +t+ =?t+ ? ≤0, 4 4 ? 2? 1 ? 1?2 ? 1?2 又?t+ ? ≥0,∴?t+ ? =0,∴t=- . 2 ? 2? ? 2? 1 2 2 ∴存在 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x∈R 都成立. 2 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟)

11 .函数 f(x) = a ____________.

|x + 1|

(a>0 , a≠1)的值域为 [1 ,+∞),则 f( - 4) 与 f(1) 的大小关系是

答案 f(-4)>f(1) 解析 由题意知 a>1,∴f(-4)=a ,f(1)=a ,由单调性知 a >a ,∴f(-4)>f(1).
3 2 3 2

?1? ?1? 下列五个关系式: 12. 已知实数 a, b 满足等式? ?a=? ?b, ①0<b<a; ②a<b<0; ③0<a<b; ④b<a<0; ?2? ?3?
⑤a=b.其中不可能成立的关系式有________个. 答案 2

?1?x ?1?x ?1?a ?1?b 解析 函数 y1=? ? 与 y2=? ? 的图象如图所示. 由? ? =? ? 得 a<b<0 或 0<b<a 或 a=b=0. ?2? ?3? ?2? ?3?

12

故①②⑤可能成立,③④不可能成立.

?3?x 2+3a有负数根,则实数 a 的取值范围为__________. 13.关于 x 的方程? ? = ?2? 5-a ? 2 3? 答案 ?- , ? ? 3 4? ?3?x 解析 由题意,得 x<0,所以 0<? ? <1, ?2?
2+3a 2 3 从而 0< <1,解得- <a< . 5-a 3 4 14. 当 x∈(-∞, -1]时, 不等式(m -m)·4 -2 <0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 (-1,2)
2

x

x

?1?x 2 解析 原不等式变形为 m -m<? ? , ?2? ?1?x 因为函数 y=? ? 在(-∞,-1]上是减函数, ?2? ?1?x ?1?-1 所以? ? ≥? ? =2, ?2? ?2? ?1?x 2 2 当 x∈(-∞,-1]时,m -m<? ? 恒成立等价于 m -m<2,解得-1<m<2. ?2?
2 15.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解? 解 (1)∵f(x)是 x∈R 上的奇函数,∴f(0)=0. 设 x∈(-1,0),则-x∈(0,1),
x

f(-x)=

2

-x

4 +1

-x



2 =-f(x), 4 +1
x

x

13

2 ∴f(x)=- x ,∴f(x)= 4 +1

x

? ?0,x=0, ?2 ? ?4 +1,x∈?0,1?.
x x

2 - x ,x∈?-1,0?, 4 +1

x

(2)设 0<x1<x2<1,

f(x1)-f(x2)=
x x

? 2 1 ? 2 2 ?+? 2 1
x x x x1+x2

x +2x2 x

-2 x2+2x1 ?

?4 1 +1??4 2 +1? ? ,
x +x2



?2 1 -2 2 ??1-2
x1 x2

?4 +1??4 +1?
x x

∵0<x1<x2<1,? 2 1 ? 2 2 ,2 1

? 20=1,

∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数. (3)∵f(x)在(0,1)上为减函数, ∴
1 0 2 2 ?2 1? < f ( x )< ,即 f(x)∈? , ?. 1 0 4 +1 4 +1 ?5 2?

2? ? 1 同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈?- ,- ?. 5? ? 2 2? ?2 1? ? 1 又 f(0)=0,当 λ ∈?- ,- ?∪? , ?, 2 5? ?5 2? ? 或 λ =0 时,方程 f(x)=λ 在 x∈(-1,1)上有实数解.

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