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2012年高考数学百所名校备考(新课标) 模拟试题08


年高考数学百所名校备考(新课标) 2012 年高考数学百所名校备考(新课标) 模拟试题 08
【重组报告】试题紧扣 2012 年《考试大纲》,题目新颖,难度适中。本卷注重对基础知识 重组报告】 和数学思想方法的全面考查, 同时又强调考查学生的基本能力。 选择题与填空题主要体现了 基础知识与数学思想方法的考查;第 15、16、17、18、19、20 题分别从三角函数、概率统 计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能 力的考查。 试卷整体体现坚持注重基础知识,全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力, 非常适合考前训练。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出 选择题 符合题目要求的一项. 1. (山东省青岛市 2012 届高三上学期期末检测理科 1) 1)命题“ ?x ∈ R, x 3 ? 2 x + 1 = 0 ”的 否定是( ) B.不存在 x ∈ R, x 3 ? 2 x + 1 ≠ 0 D. ?x ∈ R, x 3 ? 2 x + 1 ≠ 0

A. ?x ∈ R, x 3 ? 2 x + 1 ≠ 0 C. ?x ∈ R, x 3 ? 2 x + 1 = 0 【答案】D D

【解析】根据含有量词的命题的否定规律知 D 正确. 2.福建省泉州市 2012 年 3 月普通高中毕业班质量检查理科 2) 已知集合 A = x 1 < x < 3 , (

{

}

B = { x 1 < log 2 x < 2} ,则 A I B 等于(
A. x 0 < x < 3 【答案】B



{

}

B. x 2 < x < 3

{

} }

C. x 1 < x < 3

{

}

D. x 1 < x < 4

{

}

【解析】 B = x 1 < log 2 x < 2 = x 2 < x < 4 , A I B = x 2 < x < 3 . 3. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科1) 湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科1)复数 z = a + bi ( a, b ∈ R ) 的虚部记作 2012届高三第三次月考理科1)

{

} {

{

}

? 1 ? Im ( z ) = b ,则 Im ? ? =( ? 2+i?
A.



1 3

B.

2 5

C. ?

1 3

D. ?

1 5

【答案】D

【解析】因为

1 2?i 1 ? 1 ? ,所以 Im ? = ? = ? ,故选 D. 2+i 5 5 ? 2+i?


4.(北京市东城区 2012 届高三上学期期末考试文 4) ( 4)下列命题中正确的是( (A)如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行 (B)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面 (D)如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线共面

5. ( 山东省临沂市 2012 年 3 月高三一模文科 10) 10)如图, ?ABC 中, ∠C = 90 o ,且

AC = BC = 3 ,点 M 满足 BM = 2 MA ,则 CM ? CB = (
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6



uuuu uuu r r uuu uuuu uuu uuu 2 uuu ? 2 uuu ? uuu 2 2 uuu uuu uuu r r r r r r r r r r 1 uuu 2 r CM ? CB = CB + BM ? CB = CB + CB ? ? BA ? = CB + CB ? CA ? CB = CB = 3. 3 3 ?3 ?

(

)

(

)

6.(北京市西城区 月高三期末考试理科) 6.(北京市西城区 2012 年 1 月高三期末考试理科)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 ( ) (A) 3 (B) ?6 (C) 10 (D) ?15

【答案】C 【解析】执行程序框图可得: i = 1, S = ?1; i = 2, S = 3; i = 3, S = ?6; i = 4, S = 10; i = 5, 程序结束,输出 S = 10. 7. (浙江省宁波市鄞州区 2012 年 3 月高考适应性考试文科 8) 8)先后掷两次正方体骰子(骰子 的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为 m, n ,则 mn 是 奇数的概率是( )

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

【答案】C 【解析】本题主要考查概率中古典概型的计算。 先后掷两次正方体骰子总共有 36 种可能, 要使 mn 是奇数,则 m, n 都是奇数,因此有以下几 种可能:

(1,1) , (1,3) , (1,5) , ( 3,1) , ( 3,3) , ( 3,5) , ( 5,1) , ( 5,3) , ( 5,5) 共

9 种可能.因此

P=

9 1 = . 36 4
3, PB = 1 ,则 ∠ABC =(

8. (2012 年 4 月北京市房山区高三一模理科如图, PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PO 交 月北京市房山区高三一模理科 圆 O 于 B, C 两点, PA = (A) 70° (B) 60
°

)

(C) 45° (D) 30° 【答案】B 【解析】由切割线定理得: PA2 = PB ? PC ,因为 PA =

3, PB = 1 ,所以解得 PC = 3 ,

即 BC=2, OA=1, OP=2, 因为 OA⊥PA, 所以 ∠P = 30o , AOB = 60o , ∠ 因为 OA=OB, 所以 ∠ABC = 60° ,故选 B.

第 II 卷(共 110 分) 小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 填空题: 9.(河南省郑州市 2012 届高三第一次质量预测文 4) ( 4)一个几何体的三视 图如图所示,则这个几何体的体积为 A.1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体为一放倒的直三棱柱,故

1 S表 = × 2 × 1× 2 = 2. 2
10.(福建省泉州市 11)已知等差数列 {a n } 中, 10.(福建省泉州市 2012 年 3 月普通高中毕业班质量检查理科 11)

a5 = 1 , a3 = a2 + 2 ,则 S11 =
【答案】33 【解析】 d = 2, a6 = 3, S11 =

.

11( a1 + a11 ) = 11a6 = 33. 2 ? 3 x, x ≤ 0,
那么

11.(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试文科)已知函数 f ( x) = ? ( 月高三考试文科)

? f ( x ? 1), x > 0,

5 f ( ) 的值为 6 1 【答案】 ? 2 5 6



【解析】 f ( ) = f ( ? 1) = f ( ? ) = 3( ? ) = ?

5 6

1 6

1 6

1 2

? y ≥ 0, ? 12. (2012 年 3 月北京市朝阳区高三一模文科)设 x, y 满足约束条件 ? y ≤ x, 月北京市朝阳区高三一模文科) 则目标 ?2 x + y ? 3 ≤ 0, ?
函数 z = 2 x ? y 的最大值是 ; 使 z 取得最大值时的点 ( x, y ) 的坐标是 .

【答案】3; ?

?3 ? ,0? ?2 ? 3 2

【解析】画出平面区域可知,当直线过点 ( , 0) 时, z = 2 x ? y 取得最大值 3. 13.(2012 月北京市丰台区高三一模文科) 13 (2012 年 3 月北京市丰台区高三一模文科)已知函数 f ( x) = 1+2 x + 取到最小值,则 a=________.

3 ( x > 0) 在 x=a 时 x

【答案】

6 2
3 3 6 时, f ( x ) 取得最小值 1 + 2 6 , ≥ 2 6 ,当且仅当 2x = ,即 x = x x 2

【解析】因为 2 x +

故 a=

6 . 2

14.(江苏省淮阴中学、 (江苏省淮阴中学、海门中学、 14)在平面直角坐标系 xoy 中, 海门中学、天一中学 2012 届高三联考 14) 抛物线 y 2 = 2x 的焦点为 F 设 M 是抛物线上的动点,则
MO 的最大值为 MF

.

【解析】焦点 F ?

1 ?1 ? , 0 ? ,设 M ( m, n ) ,则 n 2 = 2m , m > 0 ,设 M 到准线 x = ? 的距离 2 ?2 ?

等于 d ,则

=

=

=

=

=

=

=

.令 m-

1 1 =t , t> ,则 4 4
(当且仅当 t=

=

=



=

3 时,等号成立). 4



的最大值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明 解答题: 过程. 15. 2012 年 3 月北京市朝阳区高三一模) ( 月北京市朝阳区高三一模 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) = cos( x ? ) . 朝阳区高三一模) (Ⅰ)若 f (α ) =

π 4

3 π 3π π? ? ,其中 < α < , 求 sin ? α ? ? 的值; 5 4 4 4? ?
? ?

(II)设 g ( x) = f ( x ) ? f ? x +

π? ? π π? ? ,求函数 g ( x ) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?
π 4

【解析】(Ⅰ)因为 f (α ) = cos(α ? ) = 所以 sin ? α ?

3 π π ,且 0 < α ? < , 5 4 2

…………1 分

? ?

π? 4 ?= . 4? 5

…………5 分.

(II) g ( x ) = f ( x ) ? f ? x +

? ?

π π π π π? ? = cos( ? x ) ? cos( x + ) = sin( + x) ? cos( x + ) 4 4 4 4 2?
………10 分

=

1 π 1 sin( + 2 x ) = cos 2 x . 2 2 2

当 x ∈ ??

? π π? ? π 2π ? , ? 时, 2 x ∈ ? ? , ? . ? 6 3? ? 3 3?
1 π 1 ;当 x = 时, g ( x ) 的最小值为 ? . ……13 分 2 3 4

则当 x = 0 时, g ( x ) 的最大值为

16.(理科)(2012 年 3 月北京市东城区示范校高三联考理科)(本小题满分 13 分) (理科)(2012 月北京市东城区示范校高三联考理科) )( 某中学选派 40 名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的次 数统计如表所示: 培训次数 参加人数 1 5 2 15 3 20

(1) 从这 40 人中任意选 3 名学生, 求这 3 名同学中至少有 2 名同学参加培训次数恰好相等 的概率; (2) 40 人中任选两名学生, X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值, 从 用 求随机变量 X 的分布列及数学期望 EX .

则随机变量 X 的分布列:

X P

0

1

2

61 156

75 156

5 39

所以X 的数学期望EX = 0 ×

61 75 5 115 + 1× + 2× = . 156 156 39 156

………………13 分

16.(文科)(2012 年 3 月北京市东城区示范校高三联考文科)(本小题满分 13 分) . 文科)(2012 月北京市东城区示范校高三联考文科) )( 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设 A , B , C 三个工作组,其分别有组员 36, 36,18 人,现在意见稿已公布,并向社会公开征求意见,为搜集所征求的意见,拟采用分 层抽样的方法从 A , B , C 三个工作小组抽取 5 名工作人员来完成. (Ⅰ)求从三个工作组分别抽取的人数; (Ⅱ)搜集意见结束后,若从抽取的 5 名工作人员中再随机抽取 2 名进行汇总整理,求这 两名工作人员没有 A 组工作人员的概率.

从 C 组抽得的工作人员,若从这 5 名工作人员中随机抽取 2 名,其所以可能的结果是:

( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B 2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B 2 ), ( A2 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ),

( B2 , C1 ) ,共有 10 种,

--------------------------9 分

其中没有 A 组工作人员的结果是: ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ) 有 3 种,------11 分 所以从抽取的 5 名工作人员中再随机抽取 2 名进行汇总整理,此时这两名工作人员中 没有 A 组工作人员的概率 P =

3 。 10

-------------------------13 分

17.(理科)(2012 年 4 月北京市海淀区高三一模理科)(本小题满分 14 分) ( 月北京市海淀区高三一模理科) 在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ^ AD , AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 ,

PA ^ 平面 ABCD , PA = 4 .
(Ⅰ)设平面 PAB I 平面 PCD = m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ⊥ 平面 PAC ; (Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为

3 PQ ,求 3 PB

的值. 【解析】(Ⅰ)证明: 因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 CD //平面 PAB . ……………………………2 分

因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB I 平面 PCD = m , 所以 CD // m . ………………………………4 分

(Ⅱ)证明:因为 AP ^ 平面 ABCD , AB ^ AD ,所以以 A 为坐标原点, AB, AD , AP 所 在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 B (4, 0, 0) , P (0, 0, 4) , D (0, 2 2, 0) , C (2, 2 2, 0) . …………5 分 所以 BD = ( ?4, 2 2, 0) , AC = (2, 2 2, 0) ,

uuu r

uuur

uuu r AP = (0, 0, 4) ,
所以 BD ? AC = ( ?4) × 2 + 2 2 × 2 2 + 0 × 0 = 0 ,

uuu uuur r

uuu uuu r r BD ? AP = ( ?4) × 0 + 2 2 × 0 + 0 × 4 = 0 .
所以 BD ⊥ AC , BD ⊥ AP . 因为 AP I AC = A , AC ? 平面 PAC ,

PA ? 平面 PAC ,
所以 BD ⊥ 平面 PAC . (Ⅲ)解:设 ………………9 分

PQ = λ (其中 0 #λ PB uuu r uuu r 所以 PQ = λ PB .

1 ),Q ( x, y , z ) ,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 θ .

所以 ( x, y , z - 4) = λ (4, 0, - 4) .

ì x = 4λ , ? ? ? 所以 í y = 0, 即 Q (4λ , 0, - 4λ + 4) . ? ? z = - 4λ + 4, ? ? ? uuu r 所以 CQ = (4λ - 2, - 2 2, - 4λ + 4) . ………………………………11 分
由(Ⅱ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD = ( ?4, 2 2, 0) . ………………………………12 分

uuu r

uuu uuu r r uuu uuu r r CQ ×BD 因为 sin θ = cos < CQ, BD > = uuu uuu , r r CQ ×BD

所以

3 ?4(4λ ? 2) ? 8 = . 3 2 6 ? (4λ ? 2) 2 + 8 + (?4λ + 4)2

解得 λ =

7 ∈ [0,1] . 12 PQ 7 . 所以 = PB 12

……………………………14 分

17.(文科)(2012 年 4 月北京市海淀区高三一模文科)(本小题满分 14 分) ( 月北京市海淀区高三一模文科)
o 已知菱形 ABCD 中,AB=4, ∠BAD = 60 (如图 1 所示),将菱形 ABCD 沿对角线 BD

翻折,使点 C 翻折到点 C1 的位置(如图 2 所示),点 E,F,M 分别是 AB,DC1,BC1 的中点. (Ⅰ)证明:BD //平面 EMF ; (Ⅱ)证明: AC1 ⊥ BD ; (Ⅲ)当 EF ⊥ AB 时,求线段 AC1 的长.
A B
A E C1

D

C
F M D B

图 【解析】证明:(Ⅰ)因为点 F , M 分别是 C1 D , C1 B 的中点, 1 所以 FM / / BD .

图2

………………………………………2 分

又 FM ? 平面 EMF , BD ? 平面 EMF , 所以 BD / / 平面 EMF . ………………………………………4 分

(Ⅱ)在菱形 ABCD 中,设 O 为 AC , BD 的交点, 则 AC ⊥ BD . 所以 在三棱锥 C1 - ABD 中, ………………………………………5 分
C1 F M D O A E B

C1O ⊥ BD, AO ⊥ BD .
又 C1O I AO = O ,

所以 BD ⊥ 平面 AOC1 . 又 AC1 ? 平面 AOC1 ,

………………………………………7 分

所以 BD ⊥ AC1 .

………………………………………9 分

所以 AB ⊥ C1 E . 因为 AE = EB, AB = 4 , BC1 = AB , 所以 AC1 = BC1 = 4 . ………………………………………14 分

18.(2012 年北京市石景山区高三一模)(本小题满分 13 分) ( 年北京市石景山区高三一模) 已知函数 f ( x) = x 2 + 2a ln x . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x ) =

2 + f ( x ) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x 2a 2 x 2 + 2a = x x
…………1 分

【解析】(Ⅰ) f '( x ) = 2 x +

由已知 f '(2) = 1 ,解得 a = ?3 . (II)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) .

…………3 分

(1)当 a ≥ 0 时, f '( x ) > 0 , f ( x ) 的单调递增区间为 (0, +∞ ) ;……5 分 (2)当 a < 0 时 f '( x ) =

2( x + ? a )( x ? ?a ) . x

当 x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化情况如下:

x

(0, ? a )

?a

( ? a , +∞)

f '( x ) f ( x)

-

0
极小值

+

由上表可知,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ? a ) ; 单调递增区间是 ( ? a , +∞ ) . (II)由 g ( x ) = …………8 分

2 2 2a ,…………9 分 + x 2 + 2a ln x 得 g '( x ) = ? 2 + 2 x + x x x

由已知函数 g ( x ) 为 [1, 2] 上的单调减函数, 则 g '( x ) ≤ 0 在 [1, 2] 上恒成立, 即?

2 2a + 2x + ≤ 0 在 [1, 2] 上恒成立. 2 x x 1 即 a ≤ ? x 2 在 [1, 2] 上恒成立. x
…………11 分

令 h( x) =

1 1 1 ? x 2 ,在 [1, 2] 上 h '( x ) = ? 2 ? 2 x = ?( 2 + 2 x ) < 0 , x x x 7 所以 h( x) 在 [1, 2] 为减函数. h( x ) min = h(2) = ? , 2 7 所以 a ≤ ? . …………13 分 2

19. (2012 年 3 月北京市朝阳区高三一模)(本题满分 14 分) 月北京市朝阳区高三一模)

已知椭圆 C :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点分别为 F1 (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) ,点 a 2 b2

M (1, 0) 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 M (1, 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A ,B 两点,设点 N (3, 2) , 记直线 AN ,BN 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 + k2 为定值. 【解析】(Ⅰ)依题意,由已知得 c = 解得 a =

2 , a 2 ? b 2 = 2 ,由已知易得 b = OM = 1 ,
………………………3 分

3.

x2 + y 2 = 1. 则椭圆的方程为 3

………………………4 分

? x = 1, 6 ? (II) ①当直线 l 的斜率不存在时,由 ? x 2 解得 x = 1, y = ± . 2 3 ? + y =1 ?3

6 6 设 A(1, ) , B (1, ? ) ,则 k1 + k2 = 3 3

2?

6 6 2+ 3 + 3 = 2 为定值. ………5 分 2 2

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为: y = k ( x ? 1) . 将 y = k ( x ? 1) 代入

x2 + y 2 = 1 整理化简,得 (3k 2 + 1) x 2 ? 6k 2 x + 3k 2 ? 3 = 0 .…6 分 3

依题意,直线 l 与椭圆 C 必相交于两点,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则 x1 + x2 =

6k 2 3k 2 ? 3 , x1 x2 = . 3k 2 + 1 3k 2 + 1

……………………7 分

又 y1 = k ( x1 ? 1) , y2 = k ( x2 ? 1) , 所以 k1 + k2 =

2 ? y1 2 ? y2 + 3 ? x1 3 ? x2

………………………8 分

=

(2 ? y1 )(3 ? x2 ) + (2 ? y2 )(3 ? x1 ) (3 ? x1 )(3 ? x2 ) [2 ? k ( x1 ? 1)](3 ? x2 ) + [2 ? k ( x2 ? 1)](3 ? x1 ) 9 ? 3( x1 + x2 ) + x1 x2 12 ? 2( x1 + x2 ) + k[2 x1 x2 ? 4( x1 + x2 ) + 6] 9 ? 3( x1 + x2 ) + x1 x2
12 ? 2( x1 + x2 ) + k [2 × 3k 2 ? 3 6k 2 ? 4× 2 + 6] 3k 2 + 1 3k + 1 6k 2 3k 2 ? 3 9 ? 3× 2 + 2 3k + 1 3k + 1
……………………13 分

=

=

=

12(2k 2 + 1) = = 2. 6(2k 2 + 1)
综上得 k1 + k 2 为常数 2.

……………………14 分

20. (北京市师大附中 2012 届高三下学期开学检测)(本题满分 13 分) 届高三下学期开学检测) 正数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足: 2 S n = a n a n +1 ? 1 , a1 = a > 0 。

(1)求证: a n +2 ? a n 是一个定值; (2)若数列 {a n } 是一个单调递增数列,求 a 的取值范围; (3)若 S 2013 是一个整数,求符合条件的自然数 a 。

a < 2+

1 <a+2 a

解得 1 < a < 1 +

2

(3)解: a 2012 = 2012 +

1 , a 2013 = 2012 + a a

S 2013 = ( a1 + a 3 + L + a 2013 ) + ( a 2 + a 4 + L + a 2012 )

=

(a + 2012 + a ) × 1007 + 2

(2 +

1 1 + 2012 + ) a a × 1006 = 2026084 + 1007 a + 1006 2 a
对一个得 1 分,合计 4 分

S 2013 是一个整数,所以 a = 1,2,503,1006 一共 4 个
另解:

1 2 S 2013 = a 2013 a 2004 ? 1 = (2012 + a )(2014 + ) ? 1 a

S 2013 = a 2013 a 2004 ? 1 = 1007 × 2012 + 1007 a +

1006 a .


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