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2013年高考数学第一轮复习【三角恒等变形】章节资料


2013 年高考数学第一轮复习【三角恒等变形】章节资料

第六章
第一节

三角恒等变形
同角三角函数的基本关系

A组 5 10 1.已知 sinα= ,sin(α-β)=- ,α、β 均为锐角,则 β 等于________. 5 10 π π 3 10 解析:∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< ,∴cos(α-β)= 1-sin2(α-β)= . 2 2 10 ∵sinα= 5 ,∴cosα= 5 1-( 5 2 5 )2= . 5 5 2 . 2

∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=

π π π ∵0<β< ,∴β= .答案: 2 4 4 π 3 3 2.已知 0<α< <β<π,cosα= ,sin(α+β)=- ,则 cosβ 的值为________. 2 5 5 π π π 3 4 4 解析:∵0<α< , <β<π,∴ <α+β< π.∴sinα= ,cos(α+β)=- , 2 2 2 2 5 5 4 3 3 4 24 ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(- )× +(- )× =- .答 5 5 5 5 25 24 案:- 25 sin(α+β) 3.如果 tanα、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则 =________. cos(α-β) sin(α+β) sinαcosβ+cosαsinβ 解析:tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3,则 = cos(α-β) cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ 3 3 3 = = =- .答案:- 2 2 1+tanαtanβ 1-3 π 4 7π 4.(2008 年高考山东卷改编)已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是___. 6 5 6 3 1 4 1 3 4 解析:由已知得 cosα+ sinα+sinα= 3,即 cosα+ sinα= , 2 2 5 2 2 5 π 4 7 π 4 4 得 sin(α+ )= ,sin(α+ π)=-sin(α+ )=- .答案:- 6 5 6 6 5 5 π π 5.(原创题)定义运算 a?b=a2-ab-b2,则 sin ? cos =________. 12 12 π π π π π π 1 π π 2π 2π 解析:sin ? cos =sin -sin cos -cos =-(cos2 -sin2 )- ×2sin cos 12 12 12 12 12 12 12 12 2 12 12 1+2 3 1+2 3 π 1 π =-cos - sin =- .答案:- 6 2 6 4 4 π α α 6 6.已知 α∈( ,π),且 sin +cos = . 2 2 2 2 3 π (1)求 cosα 的值;(2)若 sin(α-β)=- ,β∈( ,π),求 cosβ 的值. 5 2 α α 6 1 解:(1)因为 sin +cos = ,两边同时平方得 sinα= . 2 2 2 2 π 3 又 <α<π.所以 cosα=- . 2 2 π π π π π (2)因为 <α<π, <β<π,所以-π<-β<- ,故- <α-β< . 2 2 2 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5

2013 年高考数学第一轮复习【三角恒等变形】章节资料 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 4 3+3 3 4 1 3 =- × + ×(- )=- . 2 5 2 5 10 B组 cos2α 1+tanα 1. · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα 2 2 cos2α 1+tanα cos α-sin α 1+tanα 解析: · = · 1+sin2α 1-tanα (sinα+cosα)2 1-tanα cosα-sinα 1+tanα 1-tanα 1+tanα = · = · =1. sinα+cosα 1-tanα 1+tanα 1-tanα sin2x-2sin2x π 3 2.已知 cos( +x)= ,则 的值为________. 4 5 1-tanx π 3 3 解析:∵cos( +x)= ,∴cosx-sinx= 2, 4 5 5 sin2x-2sin2x 2sinx(cosx-sinx) 18 7 7 ∴1-sin2x= ,sin2x= ,∴ = =sin2x= . 25 25 25 1-tanx cosx-sinx cosx π π 3.已知 cos(α+ )=sin(α- ),则 tanα=________. 3 3 π π π 1 3 π 解析:cos(α+ )=cosαcos -sinαsin = cosα- sinα,sin(α- ) 3 3 3 2 2 3 π π 1 3 =sinαcos -cosαsin = sinα- cosα, 3 3 2 2 1 3 1 3 由已知得:( + )sinα=( + )cosα,tanα=1. 2 2 2 2 π 3π π π 3 3π 5 4.设 α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= ,则 sin(α+β)=________. 4 4 4 4 5 4 13 π 3π π π π 3 π 4 解析:α∈( , ),α- ∈(0, ),又 cos(α- )= ,∴sin(α- )= . 4 4 4 2 4 5 4 5 π 3π 3π 3π 5 3π 12 ∵β∈(0, ),∴ +β∈( ,π).∵sin( +β)= ,∴cos( +β)=- , 4 4 4 4 13 4 13 π 3π ∴sin(α+β)=-cos[(α- )+( +β)] 4 4 π 3π π 3π 3 12 4 5 56 =-cos(α- )· cos( +β)+sin(α- )· sin( +β)=- ×(- )+ × = , 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即 sin(α+β)= . 65 1 1 π 5.已知 cosα= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈(0, ),则 cos(α-β)的值等于________. 3 3 2 π 1 7 解析:∵α∈(0, ),∴2α∈(0,π).∵cosα= ,∴cos2α=2cos2α-1=- ,∴sin2α= 2 3 9 4 2 π 2 2 1-cos22α= ,而 α,β∈(0, ),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 1-cos2(α+β)= , 9 2 3 7 1 4 2 2 2 ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(- )×(- )+ × 9 3 9 3 23 = . 27 π 1+ 2cos(2α- ) 4 3 6.已知角 α 在第一象限,且 cosα= ,则 =________. 5 π sin(α+ ) 2

2013 年高考数学第一轮复习【三角恒等变形】章节资料 π 1+ 2cos(2α- ) 4 = π sin(α+ ) 2

3 4 解 析 : ∵α 在 第 一 象 限 , 且 cosα = , ∴sinα = , 则 5 5 1+ 2(

2 2 cos2α+ sin2α) 2 2 2cos2α+2sinαcosα 4 3 14 = =2(sinα+cosα)=2( + )= . cosα cosα 5 5 5 π 2 π 7. 已知 a=(cos2α, sinα), b=(1,2sinα-1), α∈( , 若 a· , tan(α+ )的值为________. π), b= 则 2 5 4 2 3 2 2 2 解析:a· b=cos2α+2sin α-sinα=1-2sin α+2sin α-sinα=1-sinα= ,∴sinα= ,又 5 5 π 4 3 π tanα+1 1 α∈( ,π),∴cosα=- ,tanα=- ,∴tan(α+ )= = . 2 5 4 4 1-tanα 7 tan10° tan70° 8. 的值为______. tan70° -tan10° +tan120° tan70° -tan10° 解析:由 tan(70° -10° )= = 3, 1+tan70°tan10° · 故 tan70° -tan10° 3(1+tan70° = tan10° ),代入所求代数式得: tan70° tan10° tan70° tan10° tan70° tan10° 3 = = = . 3 3(1+tan70° tan10° )+tan120° 3(1+tan70° tan10° )- 3 3tan70° tan10° π sin(α+ ) 4 9.已知角 α 的终边经过点 A(-1, 15),则 的值等于________. sin2α+cos2α+1 π sin(α+ ) 4 1 2 解析:∵sinα+cosα≠0,cosα=- ,∴ = =- 2. 4 sin2α+cos2α+1 4cosα cos20° 10.求值: · cos10° 3sin10° + tan70° -2cos40° . sin20° cos20° cos10° 3sin10° sin70° 解:原式= + -2cos40° sin20° cos70° cos20° cos10° 3sin10° + cos20° = -2cos40° sin20° cos20° (cos10° 3sin10° + ) = -2cos40° sin20° 2cos20° (cos10° sin30° +sin10° cos30° ) = -2cos40° sin20° 2cos20° sin40° -2sin20° cos40° = =2. sin20° x x 11.已知向量 m=(2cos ,1),n=(sin ,1)(x∈R),设函数 f(x)=m· n-1. 2 2 5 (1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A, C, f(A)= , B, 若 f(B) 13 3 = ,求 f(C)的值. 5 x x x x 解:(1)f(x)=m· n-1=(2cos ,1)· ,1)-1=2cos sin +1-1=sinx. (sin 2 2 2 2 ∵x∈R,∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= ,∴sinA= ,sinB= . 13 5 13 5 12 4 ∵A,B 都为锐角,∴cosA= 1-sin2A= ,cosB= 1-sin2B= . 13 5 ∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

2013 年高考数学第一轮复习【三角恒等变形】章节资料 5 4 12 3 56 56 × + × = .∴f(C)的值为 . 13 5 13 5 65 65 π π 1 4 12.(2010 年南京调研)已知:0<α< <β<π,cos(β- )= ,sin(α+β)= . 2 4 3 5 π (1)求 sin2β 的值;(2)求 cos(α+ )的值. 4 π π π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos(β- )=cos cosβ+sin sinβ= cosβ+ sinβ= , 4 4 4 2 2 3 2 2 7 ∴cosβ+sinβ= ,∴1+sin2β= ,∴sin2β=- . 3 9 9 π π 7 法二:sin2β=cos( -2β)=2cos2(β- )-1=- . 2 4 9 π π π 3π π 3π π (2)∵0<α< <β<π,∴ <β- < , <α+β< ,∴sin(β- )>0,cos(α+β)<0. 2 4 4 4 2 2 4 π 1 4 π 2 2 3 ∵cos(β- )= ,sin(α+β)= ,∴sin(β- )= ,cos(α+β)=- . 4 3 5 4 3 5 π π π π ∴cos(α+ )=cos[(α+β)-(β- )]=cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- ) 4 4 4 4 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 =

第二节

两角和与差及二倍角的三角函数

A组 3 π π 5π 1.若 sinα= ,α∈(- , ),则 cos(α+ )=________. 5 2 2 4 π π 3 4 5π 解析:由于 α∈(- , ),sinα= 得 cosα= ,由两角和与差的余弦公式得:cos(α+ ) 2 2 5 5 4 2 2 =- (cosα-sinα)=- . 2 10 3 1 1 1 1 2.已知 π<θ< π,则 + + cosθ=________. 2 2 2 2 2 3π π θ 3π π θ 3π 解析:∵π<θ< ,∴ < < , < < . 2 2 2 4 4 4 8 1 1 1 1 + + cosθ= 2 2 2 2 1 1 θ θ = - cos =sin . 2 2 2 4 1 1 + 2 2 θ cos2 2

cos10° 3sin10° + 3.(2010 年南京市调研)计算: =________. 1-cos80° cos10° 3sin10° 2cos(10° + -60° 2cos50° ) 解析: = = = 2. 2 2sin 40° 2sin40° 1-cos80° 4.(2009 年高考上海卷)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 解析:y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1 π = 2sin(2x+ )+1≥1- 2. 4 1 1 5.(原创题)函数 f(x)=(sin2x+ )(cos2x+ )的最小值是________. 2010sin2x 2010cos2x (2010sin4x+1)(2010cos4x+1) 解析:f(x)= 20102sin2xcos2x 2 4 4 2010 sin xcos x+2010(sin4x+cos4x)+1 = 20102sin2xcos2x 2011 2 2 =sin2xcos2x+ - ≥ ( 2011-1). 20102sin2xcos2x 2010 2010

2013 年高考数学第一轮复习【三角恒等变形】章节资料 π π 6.已知角 α∈( , ),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. 4 2 π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3 解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0, π π 4 4 3 又 α∈( , ),∴tanα= ,sinα= ,cosα= , 4 2 3 5 5 π 4 tanα+tan +1 4 3 π (1)tan(α+ )= = =-7. 4 π 4 1-tanαtan 1- 4 3 7 24 2 (2)cos2α=2cos α-1=- ,sin2α=2sinαcosα= , 25 25 π π π 1 7 3 24 24 3-7 cos( -2α)=cos cos2α+sin sin2α= ×(- )+ × = . 3 3 3 2 25 2 25 50 B组 2 π 1 π 1.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=_____. 5 4 4 4 π 2 1 tan(α+β)-tan(β- ) - 4 5 4 π π 3 解析:tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )]= = = . 4 4 π 2 1 22 1+tan(α+β)tan(β- ) 1+ × 4 5 4 1 2.(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα+cosα=0,则 2 的值为________. cos α+sin2α sin2α+cos2α 1 解析:由 3sinα+cosα=0 得 cosα=-3sinα,则 2 = = cos α+sin2α cos2α+2sinαcosα 2 2 9sin α+sin α 10 = . 9sin2α-6sin2α 3 6 3.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= ,则 a、b、c 的大小关系是 2 解析:a= 2sin59° ,c= 2sin60° ,b= 2sin61° ,∴a<c<b. 1 3 2 1 3 2 3 2 或 a =1+sin28° <1+ = ,b =1+sin32° >1+ = ,c = ,∴a<c<b. 2 2 2 2 2 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 解析:原式= 4cos24+2 (sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4. 1 10 π π π 5.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4 π 2 2tanα 3 解析: 由题意知, tanα=3, sin(2α+ )= (sin2α+cos2α), sin2α= 而 = , cos2α 4 2 1+tan2α 5 1-tan2α 4 π 23 4 2 = =- .∴sin(2α+ )= ( - )=- . 5 4 2 5 5 10 1+tan2α 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 1 2π π 解析:f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x= sin4x,所以 T= = . 2 4 2 2cos5° -sin25° 7.(2010 年无锡质检) 的值为________. cos25° 2cos(30° -25° )-sin25° 3cos25° 解析:由已知得:原式= = = 3. cos25° cos25° 8.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 解 析 : |a - 2b|2 = (cos10°- 2cos70°2 + (sin10°- 2sin70°2 = 5 - 4cos10° ) ) cos70°- 4sin10° sin70° =5-4cos60° =3,∴|a-2b|= 3.

2013 年高考数学第一轮复习【三角恒等变形】章节资料 1-cos2α 1 9.(2010 年江苏省南通市调研)已知 =1,tan(β-α)=- ,则 tan(β-2α)=________. sinαcosα 3 2 1-cos2α 1-tan α 1 2tanα 1 解析:因为 =1,即 1- = × ,所以 2tanα=1,即 tanα= , sinαcosα 2 1+tan2α 2 1+tan2α 1 1 - - 3 2 tan(β-α)-tanα 所以 tan(β-2α)=tan(β-α-α)= = =-1. 1 1+tan(β-α)tanα 1- 6 2 sin2α+cos (π-α) π 10.已知 tanα=2.求(1)tan(α+ )的值;(2) 的值. 4 1+cos2α π 1+tanα π 1+2 解:(1)∵tan(α+ )= ,tanα=2,∴tan(α+ )= =-3. 4 1-tanα 4 1-2 sin2α+cos2(π-α) 2sinαcosα+cos2α (2) = = 错误! = 2cos2α 1+cos2α 1 5 tanα+ = . 2 2 11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在 第一、二 象限,点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点,△AOB 是正三角 形, 若点 A 3 4 的坐标为( , ),记∠COA=α. 5 5 1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α 1+sin2α 3 4 4 3 解:(1)∵A 的坐标为( , ),根据三角函数的定义可知,sinα= ,cosα= ,∴ 5 5 5 5 1+cos2α 1+2sinαcosα 49 = = . 2cos2α 18 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° .∴cos∠COB=cos(α+60° )=cosαcos60° - 3 1 4 3 3-4 3 sinαsin60° × - × = .= , 5 2 5 2 10 3-4 3 7+4 3 ∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|· |OB|cos∠COB=1+1-2× = . 10 5 sinA+sinB 12.(2009 年高考江西卷)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= , cosA+cosB sin(B-A)=cosC.(1)求角 A,C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB sinC sinA+sinB 解:(1)因为 tanC= ,即 = , cosC cosA+cosB cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3 1 π 5π 又因为 sin(B-A)=cosC= ,则 B-A= 或 B-A= (舍去), 2 6 6 π 5π π π 得 A= ,B= .故 A= ,C= . 4 12 4 3 6+ 2 1 a c a c S△ABC= acsinB= ac=3+ 3,又 = ,即 = ,得 a=2 2,c=2 3. 2 8 sinA sinC 2 3 2 2


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