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2015年下期新化一中高一年级周考数学试卷(10月11日·教师版)


2015 年下期新化一中高一年级周考数学试卷(10 月 11 日)
编题:伍震斌 时量:120 分钟 审核:谭跃东 满分:150 分

一、选择题(共 12 道小题,每道小题 5 分,共 60 分。请将每小题唯一正确的答案代号填涂在答题卡上)
1、已知 U 为全集,集合 P ? Q,则下列各式中不成立 的是( ... A. P∩Q=P B. P∪Q=Q 2、下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是( )D D. Q∩( ? UP)= ? C. P∩( ? UQ) = ? )A

A. A ? {?1, 0,1} , B ? {?1, 0,1} , f : A 中的数平方 B. A ? {0,1} , B ? {?1,0,1)} , f : A 中的数求平方根 C. A ? Z , B ? Q , f : A 中的数取倒数 D. A ? R , B ? Z , f : A 中的数取绝对值 3、如果二次函数 y ? ax2 ? bx ? 1 的图象的对称轴是 x ? 1 ,并且通过点 A ? ?1,7 ? ,则( A.a=2,b= 4 4、函数 y ? B.a=2,b= -4 C.a= ?2 ,b= 4 )A )B D.a= ?2 ,b= ?4

?1 ? 1 的图象是下列图象中的( x ?1

5、下列函数中,既是偶函数又在区间 ? ??,0? 上单调递增的是( A. f ? x ? ? x
3

)C

B. f ? x ? ? x ? 1
2

C. f ? x ? ?

x ? ? ? 5 ?? ?2 , ? x ? 0 ? 6、已知函数 f ? x ? ? ? ,那么 f ? f ? ? ? 的值为( ? ? 2 ?? ? ?3 ? 2 x, ? x ? 0 ? 1 A. B.4 C. ? 4 4

1 x2
)A

D. f ? x ? ? 2

?x

D. ?

1 4

7、若 a>1,b>0,且 ab+a b=2 2,则 ab-a


-b

的值等于( C.-2

)B D.2 或-2 )D D.6 个
3

8、已知集合 A ? ?2,3,7? ,且 A 中至多有一个奇数,则这样的集合共有( A.2 个
2

A. 6

B.2

B.4 个

C.5 个

【解析】问题是求含有 3 个元素的集合的真子集且不同时包括 3,7 两个元素的个数,故有 2 ? 1 ? 1 ? 6 个。 9、如果函数 y ? x ? (1 ? a) x ? 2 在区间 ? ??,4? 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( )A ) A.a≥9 B.a≤-3 C.a≥5 D.a≤-7 10、 某城市房价从 1500 元/m2, 经过 4 年时间增加到了 6000 元/m2, 则这 4 年间房价的年平均增长率是 ( C A.1125 元
4

B.100%

C. 2 ? 1

D. 2 )D

【解析】 1500(1 ? x) ? 6000 ? x ?

2 ?1。 x 11、设函数 f ? x ? 定义在实数集上,当 x ? 1 时, f ( x) ? 3 ?1 ,且 f ( x ?1) 是偶函数,则有( 1 3 2 3 2 1 A. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 3 2 3 3

第 1 页 共 4 页

C. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

2 3

1 3

3 2

D. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

2 3

3 2

1 3

12、已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ?

f ? x ?1? ? f ? x ? ,则实数 a 的取值范围为(
A. ? ? , ? 6 6

1 ? x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 ? ,若? x∈R, ? 2?

)B

? 3 3? 6 6? ? 1 1? , , C. ? ? , ? D. ? ? ? ? ? 3 3? ? 6 6 ? ? 3 3 ? 【解析】1° 若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ;由题设“ f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数”可知 ?x ? R ,有

? 1 1? ? ?

B. ? ?

?

f ? x ? ? x ;所以 f ? x ?1? ? f ? x ? 恒成立;
2° 若 a ? 0 ,则当 x≥0 时,

y f(x) O 1
2

? x ? 3a 2 , ? x ? 2a 2 ? ? ? f ? x ? ? ? ? a 2 , ? a 2 ? x ? 2a 2 ? ; ? 2 ? ? ? x, ? 0 ? x ? a ?

f(x-1)

x

其图象如右所示。要使 f ? x ?1? ? f ? x ? 恒成立,必须且只需使 6a ? 1 ,解得 ?

6 6 ,故选 B. ?a? 6 6

二、填空题(共 4 道小题,每道小题 5 分,共 20 分。请将正确答案填写在答题卷上的相应位置)
13.已知函数 y ? f (n) ,满足 f (1) ? 2 ,且 f (n ? 1) ? 3 f (n),n ? N ? ,则 f (3) 的值为_________。18 14.若奇函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数,且 f (?1) ? 0 ,则使得不等式 xf ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 __________________。 ? ?, ?1? ? ?1, ???

4x ? 1 15.设函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? 1 ,且 f ? 2015? ? 2 ,则 f ? ?2015? = 。 2 4x ? 1 1 x ?x 【解析】∵ f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 x ? 1 ,所以 g ? x ? ? f ? x ? ?1为奇函数; 2 2 于是 g ? 2015? ? g ? ?2015? ? 0 ,即 ? ? f ? 2015 ? ? 1? ??? ? f ? ?2015 ? ? 1? ??0,
所以 f ? ?2015? ? 2 ? f ? 015? ? 2 ? 2 。 16.数学老师给出一个函数 f ( x ) ,甲、乙、丙、丁四个同学各说了这个函数的一条性质: 甲:在 (??, 0] 上函数单调递减; 乙:在 [0, ??) 上函数单调递增; 丙:在定义域 R 上函数的图象关于直线 x=1 对称; 丁: f (0) 不是函数的最小值。 现已知这四个同学中恰好有三个人说的正确,那么, ① 你认为_________说的是错误的;乙 ② 写出符合题意的一个函数解析式: 。f

? x? ? ?

x ? 1? , f ? x ? ? 2 x ?1 等
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

2 2 17. (本题满分 10 分)已知集合 A= x x ? 4 x ? 3 ? 0 ,B= x x ? mx ? 3 ? 0 ,且 A ? B ? A ,求实数 m

?

?

?

?

的取值范围。 【解析】由 A ? B ? A ,得 B ? A 。 易知 A={1,3},对于 B 中的方程 x ? mx ? 3 ? 0 ,其 ? ? m ? 12 。
2 2 2 1° 若 B ? ? ,则 ? ? m ? 12 ? 0 ,解得 ?2 3 ? m ? 2 3 ;

2° 若 B={1}或 B={3},则 ?

?? ? 0 ?? ? 0 或? ,此时的 m 无解; ?1 ? m ? 3 ? 0 ?9 ? m ? 3 ? 0
第 2 页 共 4 页

3° 若 B=A={1,3},则 ?

?1 ? 3 ? m ? m ? 4。 ?1? 2 ? 2

综上所述,所求实数 m 的取值范围为 m ?2 3 ? m ? 2 3 或 m ? 4 。
? 2 3

?

?

18. (本题满分 12 分)求值:⑴ 0.027 【解析】 : (1)原式 ? (0.33 )
? 2 3

2 lg20+lg22。 ? 10240.3 ? (ln ? )0 ? ( 3) ? 4 ;⑵ lg25+ lg8+lg5· 3
1

? (210 )0.3 ? 1 ? (32 )?4 3 100 1 ? ( ) ?2 ? 23 ? 1 ? 3?2 ? ? 8 ? 1 ? ? 20 ; 10 9 9
2 3

…..…..…..…..…..6 分

(2)原式 ? lg 25 ? lg8 ? (1 ? lg 2)(1 ? lg 2) ? lg 2 2

? lg 25 ? lg 4 ?1 ? lg2 2 ? lg2 2 ? lg100 ? 1 ? 3 。
19. (本题满分12分)已知 2 x
2

…..…..…..……..12 分
?x

?x

?1? ?? ? ?4?
2

x ?2

,求函数 f ? x ? ? 2 ? 2 的值域。
x

【解析】∵ 2 x

2

?x

?1? ?? ? ?4?

x ?2

? 2x

?x

? 2?2? x?2? ,∴ x2 ? x ? 4 ? 2 x ,
…..…..…..…..…..6分

2 即 x ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 ?4 ? x ? 1 ;

又因为函数 f ? x ? ? 2 ? 2 是 ? ?4,1? 上的增函数,
x ?x

所以 f ? x ?min ? f ? ?4 ? ? 2 故所求函数的值域为 ? ?

?4

? 24 ? ?

255 1 3 , f ? x ?max ? f ?1? ? 2 ? ? , 16 2 2
…..…..…..……..12分

? 255 3 ? , 。 ? 16 2 ? ?

20. (本题满分 12 分)有一个自来水厂,蓄水池有水 450 吨. 水厂每小时可向蓄水池注水 80 吨,同时蓄水池 又向居民小区供水,t 小时内供水量为 160 5 t 吨. 现在开始向池中注水并同时向居民供水. 问多少小时后蓄 水池中水量最少?并求出最少水量。 【解析】设t小时后蓄水池内水量为y吨, 根据题意,得 …………………………………… 1分

y ? 450 ? 80t ?160 5t
?80 t
= ? 80

……………………………………… 5分

? ? ?

2

? 1 6 0 ? 5t ?

450
……………………………………… 10分 ………………………… 11分

t ? 5 ? 50

?

2

∴当 t ? 5 ,即 t ? 5 时,y取得最小值是50。 答:5小时后蓄水池中的水量最少,为50吨。

…………………………… 12分
2

说明:①本题解题过程中可设 t ? x ,从而 y ? 80x ?160 5x ? 450 . ②未写出答,用“所以,5 小时后蓄水池中的水量最少,为 50 吨”也可以。未答者扣 1 分。

第 3 页 共 4 页

21. (本题满分 12 分)已知 f ? x ? ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )图象过点 (2, 4) ,且 g ( x) ? b ? (1)求 g ( x) 的解析式; (2)记 ? x ? 为不超过 x 的最大整数,求 ? g ( x)? 的值域。
2 【解析】 (1)首先,由题设可得 a ? 4 ,所以 a ? 2 ;于是 f ? x ? ? 2x , g ( x) ? b ?

f ?1? 是奇函数。 f ? x? ?1

2 ; 2 ?1
x

然后,由 g ( x) ? b ?

2 知其定义域为 R, 2 ?1 要使 g ? x ? 为奇函数,必须且只需使 g ? ? x ? ? ? g ? x ? ,即 g ? x ? ? g ? ? x ? ? 0 ;
x

2 2 ? 2x ?b? x 又 g ? ?x? ? b ? ? x , 2 ?1 2 ?1 2 2 2 ? 2x ? x ? 2b ? 2 ? 0 ? b ? 1 ;从而 g ( x) ? 1 ? x 因此,有 2b ? x 。 2 ?1 2 ?1 2 ?1
(2)由于 x ? R , 2 ? ? 0, ??? ,所以
x

……………… 6分

2 ? ? 0, 2 ? ; 2 ?1
x

2 ? ? ?1,1? 。 2 ?1 从而:当 g ? x ? ? ? ?1,0? 时, ? g ( x)? = ?1 ,
因此 g ( x ) ? 1 ?
x

综上, ? g ( x)? 的值域为 ??1,0? 。

当 g ? x ? ??0,1? 时, ? g ( x)? =0。

……………………………………… 12 分

22. (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? 定义在 R 上,且同时满足下列条件:① f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? 对任 意 x, y ? R 恒成立;② 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 。 (Ⅰ)求 f ? 0 ? 的值; (Ⅱ)证明: f ? x ? ? 0 ; (Ⅲ)试判断函数 f ? x ? 的单调性并给以证明。 【解析】 (Ⅰ)在条件式①中,令 x ? ?1 , y ? 0 得: f ? ?1? ? f ? ?1? f ? 0? ,即 f ? ?1? ? ?1 ? f ? 0 ? ? ? ? 0, 又由②,可得 f ? ?1? ? 1,因此 1 ? f ? 0? ? 0 ,即 f ? 0 ? =1. ……………………… 2 分 (Ⅱ)在条件式①中,令 y ? ? x ,得 f ? 0? ? f ? x ? f ? ?x ? ,由(Ⅰ)的结果,可知 f ? x ? ? 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,由②得 f ? ? x ? ? 1 ,所以 0 ? 即当 x ? 0 时,有 0 ? f ? x ? ? 1。 又当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 >0,且 f ? 0 ? =1>0,故 ? x ? R ,恒有 f ? x ? ? 0 。……………………… 7 分 (Ⅲ)在 R 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x1 ? ? x2 ? x1 ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? f ? x2 ? x1 ?

1 ; f ??x?

1 ? 1; f ??x?

? f

由于 x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0 ,于是由(Ⅱ)的证明可知 f ? x1 ? ? 0 ,且 0 ? f ? x2 ? x1 ? ? 1, 所以 f ? x1 ? ? ?1 ? f ? x2 ? x1 ? ? ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 故函数 f ? x ? 是 R 上的减函数。 ……………………… 12 分

?x 1?? ?1 ? f?

x x? 2 ? ? 1 ?。

第 4 页 共 4 页


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