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苏教版高中数学必修三南师大附属扬子中学~第一学期期中考试高二试题

高中数学学习材料
(灿若寒星 精心整理制作)

江苏省南师大附属扬子中学 2007-2008 高二年级第一学期期中考试
数学试题

试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 160 分,考试用时 120 分钟.

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第Ⅰ卷(选择题,共 30分)

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一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,仅有一项是

符合题目要求的.)中国数学教育网 http://www.mathedu.cn

1.某单位有老年人 27 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们

中间抽取一个容量 36 样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是

……………………………………………………………………………………………( )

A.6, 12 ,18

B. 7,11,19

C.6,13,17 D. 7,12,17

2.从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么对立的两个事件

是……………………………………………………………………………………( )

A、至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 B、至少有 1 个白球,都是红球

C、恰有 1 个白球,恰有 2 个白球

D、至少有 1 个白球,都是白球

3.抛物线 y ? ?2x2 的焦点坐标是…………………………………………………………( )

A.( 0 , 1 ) 8

B.( 0,? 1 ) 8

C.( 1 ,0 ) 8

D.( ? 1 ,0 ) 8

4. 条件p:x ? 1,条件q:x ? ?2,则?p是?q的……………………………………………( )

A.充分且必要条件

B.必要但不充分条件

C.充分但不必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.下面有三个游戏规则,袋子中分别装有球,从袋中无放回地取球,问其中不公平的游戏

是…………………………………………………………………………………………( )

游戏 1 3 个黑球和一个白球 取 1 个球,再取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜

游戏 2 一个黑球和一个白球 取 1 个球 取出的球是黑球→甲胜

游戏 3 2 个黑球和 2 个白球 取 1 个球,再取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜

取出的两个球不同色→乙胜

取出的球是白球→乙胜

取出的两个球不同色→乙胜

A. 游戏 1 和游戏 3

B. 游戏 1

C. 游戏 2

D. 游戏 3

6.如果以原点为圆心的圆经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的顶点,并且被直线 a2 b2
x ? a 2 ( c 为双曲线的半焦距)分为弧长为 3:1 的两段弧,则该双曲线的离心等于…( ) c

A.2

B. 3

C. 2

D. 6 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 130 分)

二、填空题(本大共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
7.设椭圆的两焦点分别为( 0,?2 ),( 0,2 ),两准线间的距离为 13,则椭圆的方程为 .

8.命题“任何有理数的平方仍是有理数”的否定用数学符号语言可以表示为▲ .

9.已知双曲线的对称轴为坐标轴,一条渐近线为 2x ? y ? 0 ,则双曲线的离心率为▲ .

10.若抛物线 y2 ? 2 px 的焦点与椭圆 x2 ? y2 ? 1的右焦点重合,则 p 的值为▲ . 62
11.有五条线段,其长度分别为 1,3,5,7,9.现任取 3 条,则能构成三角形的概率是▲ .
12.抛物线 x2 ? 4y 上的一点 M 到焦点的距离为 2,则点 M 的坐标是▲ .

13.若点(p, q)在| p|≤3,| q|≤3 中按均匀分布出现,则方程 x2 ? 2 px ? q 2 ? 1 ? 0 无实数根的概
率是▲ .
14.已知直线 x ? y ?1 ? 0与抛物线 y ? ax2 相切,则 a ? ▲ .
15.为了科学地比较考试的成绩,有些选拔性考试常常将考试分数转化为标准分,转化关系式为

Z ? x ? x (其中 x 是某位学生的考试分数, x 是该次考试的平均分,s 是该次考试的标准差, s

Z 称为这位学生的标准分),转化成标准分后可能出现小数或负数,因此,又常常再将 Z 分数作

线性变换转化成其他分数。例如某次学业选拔考试采用的是 T 分数,线性变换公式是:

T ? 40Z ? 60 ,已知在这次考试中某位考生的考试分数是 85,这次考试的平均分是 70,标准差

是 25,则该考生的 T 分数为▲ .

16.已知点 P 是椭圆 x 2 16

?

y2 12

? 1( y

? 0) 上的动点,

F1,F2 为椭圆的两个焦点,O 是坐标原点,若

M 是 ? F1PF2 平分线上的一点,且 F1M ? MP,则 OM 的取值范围是▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

17.已知命题 P :“若 ac ? 0, 则二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 没有实根”.

(1)写出命题 P 的否命题; (2)判断命题 P 的否命题的真假, 并证明你的结论.

18. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A
到抛物线准线的距离等于 5。 (1)求抛物线方程;
(2)过焦点 F 作倾斜角为 45? 的直线,交抛物线于 A, B 两点,求 ?? 的中点 C 到抛物线准线的
距离;

19. 某房地产公司对参加本次房交会的消费者进行了随机问卷调查,共发放 1000 份调查问卷,并 全部收回,根据调查问卷,制成表 1,表 2 及频数分布直方图.
表 1 被调查的消费者年收入情况

年收入(万元)

1.2

1.8

3.0

5.0

10.0

被调查的消费者数(人) 150

500

250

75

25

表 2 被调查的消费者打算购买住房的面积的情况(注:住房面积取整数)

21.

已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0, b ? 0) 的左顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 作垂直于 x 轴的直线

与双曲线交于 B、C 两点,且 AB⊥AC,|BC|=6.

(1)求双曲线的方程;

(2)设过点 F 且不垂直于 x 轴的直线 l 与双曲线分别交于点 P、Q,请问:是否存在直线 l,使△

APQ 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出所有满足条件的直线 l 的方程;若不

存在,请说明理由.

请根据以上信息,回答下列问题:

(1)根据表 1 可得,年收入

万元的人数最多,最多的有

(2)根据表 2 可得,打算购买 100.5~120.5 平方米房子的人数是

打算购买面积不超过 100 平方米的消费者的人数占被调查人数的百分数是

(3)在下面图中补全这个频数分布直方图; (4)计算被调查的消费者年收入的平均数.

人; 人;


22.

(1)求右焦点坐标是 ( 2, 0) ,且经过点 ( ? 2 , ? 2 ) 的椭圆的标准方程;

(2)已知椭圆 C 的方程是 x 2
a2

?

y2 b2

?1 (a ?b ?0).

设斜率为 k

的直线 l ,交椭圆 C 于 A 、B 两点,

AB的中点为 M . 证明:当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上;

(3)利用所学的知识,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出

椭圆的中心.

20. 某电子原件生产厂生产的 10 件产品中,有 8 件一级品,2 件二级品,一级品和二级品在外观 上没有区别.从这 10 件产品中任意抽检 2 件,计算:(1)2 件都是一级品的概率;(2)至少有一 件二级品的概率.

班级

南师大附属扬子中学 07~08 学年第一学期期中考试
数学答题卷

一、选择题:(每小题 5 分,共 30 分)。
AB CD

1.

7.

得分 二、填空题:(每小题 5 分,共 50 分)。
12.

2.

8.

13.

3.

9.

14.

4.

10.

15.

5.

6.

11.

16.

三、解答题:(共 80 分)。

请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

17.(本题满分 12 分)
解:

得分

评卷人

请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

18.(本题满分 12 分)

得分

解:

评卷人

19.(本题满分 12 分)
解:

得 分 评卷人

姓名

学号

请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

20.(本题满分 14 分)
解:
21.(本题满分 15 分)
解:

得 分 评卷人

22.(本题满分 15 分)
解:

得 分 评卷人

得 分 评卷人

请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!
江苏省南师大附属扬子中学高二年级第一学期期中考试

数学试题参考答案

一、选择题
1-6 A A B C D C 二、填空题

7. y2 ? x2 ? 1 13 9
12. (?2,1)
三、解答题

8. ?x ?Q, x2 ?Q

9??

1

13.

14.

9

4

9.

5或

5 2

15. 84

10. 4

3
11.
10

16. ?0, 2?

17.解:(1)命题 P 的否命题为:“若 ac ? 0, 则二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根”. ……5 分

(2)命题 P 的否命题是真命题. ……7 分
证明如下:

? ac ? 0,? ?ac ? 0,? ? ? b2 ? 4ac ? 0, ? 二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根.

∴该命题是真命题. ……12 分

18. 解:(1)抛物线 y 2 ? 2 px的准线为x ? ? p ,于是4 ? p ? 5,? p ? 2.

2

2

∴抛物线方程为 y2= 4x. ……………………4 分

(2)∵点 F 的坐标是(1,0),所以 AB 的方程为 y ? x ?1,……………6 分



? ? ?

y ? x ?1

y2 ? 4x

y



x2

?

6x

?1

?

0

……………8



设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6 ,所以 C 点的横坐标为 xC ? 3 ……10 分

所以 ?? 的中点 C 到抛物线准线的距离为 xC ?1 ? 4 ……12 分

19. (1)1.8 500 ……………………2 分

(2)240 52%……………………4 分

(3)略………………8 分

(4)2.445……………………12 分

20. 解: (1)设 2 件都是一级品为事件 A.……………………………1 分

从 10 件产品中抽取 2 件,共有 45 个基本事件,且都是等可能的 2 分

而事件 A 的结果(即包含的基本事件数)有 28 种, ……… …4 分

则 P(A)= 28 . 45

………………………………………………5 分

(2)设至少有一件二级品为事件 B,……………………………………6 分

则 B 是两个互斥事件:“抽取的 2 件产品中包含了一件一级品,一件二级品(记为 B1)”与“抽 取的 2 件产品均为二级品(B2)”的和. ………7 分



P(B1)=

16 45

,P(B2)=

1 45



…………………8 分

∴P(B)=P(B1+B2)= P(B1)+ P(B2)

……………10 分

= 16 ? 1 ? 17 . 45 45 45

…………………………………11 分

(用对立事件,参照给分)

答: 2 件都是一级品的概率为 28 ;至少有一件二级品的概率为 17 .12 分

45

45

21. (1)由题意得 A(?a, 0), F(c, 0), BC ? x 轴,? B(c, b2 ), C(c, ? b2 ). ………… 2 分

a

a

?c ? 2a

…………… 3 分

又|BC|=6,? 2b2 ? 6 a

…………… 4 分

∴ a2 ? 1, b2 ? 3 ∴所求双曲线的方程为 x2 ? y2 ? 1. 3

……………6 分

(2)设直线 l 的方程为 y ? k(x ? 2), P(x1, y1),Q(x2 , y2 ).

? y ? k(x ? 2)



? ?

??

x2

?

y2 3

?1

得 (k2

? 3)x2

? 4k 2x ? 4k 2

? 3 ? 0.

……………7 分

∵l 与双曲线有两个交点,故 k 2 ? 3 ? 0.

?

? ?? ? ? ??

x1 ? x2 x1x2 ?

? 4k 2 k2 ?3
4k 2 ? 3 k2 ?3

…………8 分

要使△APQ 成等腰直角三角形,则需 AP⊥AQ,且|AP|=|AQ|

由 AP⊥AQ,得 (x1 ?1)(x2 ?1) ? y1y2 ? 0

…………10 分



(1 ?

k2)

4k 2 ? 3 k2 ?3

?

(1 ?

2k 2 )

4k 2 k2 ?3

?1?

4k 2

?

0



k

?

R, 且

k

?

?

3 恒成立

12 分

(x1 ?1)2 ? y12 ? (x2 ?1)2 ? y22
由|AP|=|AQ|得
? x1 ? x2 ? 2 ? ?k 2 (x1 ? x2 ? 4)

?(1

?

k

2

)

4k 2 k2 ?3

?

4k

2

?

2

解得 k 2 ? 1 3

即k ?? 3 3

………… 14 分

综上所述,所求直线存在,其方程为 y ? ? 3 (x ? 2) 3

15 分

22.(1)设椭圆的标准方程为 x 2 a2

?

y2 b2

?1,a ?b?0,

∴ a 2 ? b2 ? 4 ,即椭圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1, b2 ? 4 b2

∵ 点( ? 2,? 2 )在椭圆上,∴ 4 ? 2 ?1, b2 ? 4 b2

解得 b2 ? 4 或 b2 ? ?2 (舍),

由此得 a 2 ? 8 ,即椭圆的标准方程为 x2 ? y 2 ? 1 . 84
(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

与椭圆 C 的交点 A ( x1, y1 )、 B ( x2 , y2 ),

则有

?? ? ??

y x2
a2

? kx ?y
b

?
2
2

m ?1



解得 (b 2 ? a 2k 2 )x 2 ? 2a 2kmx ? a 2m2 ? a 2b 2 ? 0 ,…… 6 分

…… 4 分

∵ ? ? 0 ,∴ m2 ? b2 ? a2k 2 ,即 ? b 2 ? a 2 k 2 ? m ? b 2 ? a 2 k 2 .



x1

?

x2

?

? 2a2km b2 ? a2k2

,

y1

?

y2

?

kx1

? m ? kx2

?m

?

2b 2 m b2 ? a2k2





AB 中点 M

的坐标为 ???? ?

a2km b2 ? a2k2

,

b2

b2m ? a2k

2

????

.

…… 8 分

∴ 线段 AB 的中点 M 在过原点的直线 b2 x ? a 2 k y ? 0 上.

…… 11 分

(3)如图,作两条平行直线分别交椭圆于 A 、 B 和 C、D ,并分别取 AB 、 CD的中点 M、N ,

连接直线 MN ;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于 A1 、B1和

C1、D1 ,并分别取 A1B1 、 C1D1 的中点 M1、N1 ,连接直线 M 1N1 ,那么直

线 MN 和 M1N1 的 交 点 O 即 为 椭 圆 中

心.

…… 15 分