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高中数学人教课标版选修1-1《双曲线的简单几何性质》教学课件2_图文

2.2.2 双曲线的简单几何性质 一、复习回顾: 1.双曲线的标准方程: 形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 -c,0)、 F( (焦点在x轴上,( 2 c,0)) 形式二: y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c)) 其中 c ? a ? b 2 2 2 2.椭圆的图像与性质: 标 准 方 程 范 围 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b Y B2 |x|?a,|y|≤b 关于X,Y轴, 原点对称 对称性 顶点 焦 点 对称轴 离心率 (±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 c e? a A1 F1 o A2 F2 X B1 二、讲授新课: x2 y 2 一、研究双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的简单几何性质 a b y (-x,y) -a o a (x,y) 1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ?a 2、对称性 x (-x,-y) (x,-y) 关于x轴、y轴和原点都是对称的. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。 3、顶点 (1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点 顶点是 A1 (?a,0)、A2 (a,0) ( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线 A1 -a y b B2 o a A2 x x ? y ? m ( m ? 0) 2 2 -b B 1 4、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。 (2)e的范围: (3)e的含义: e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大! ? c>a>0 ? e >1 b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ? 1 ? e2 ? 1 a a a b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大, 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大 x2 y2 双曲线 ? ?1 16 9 (1)范围: x ? ?4或x ? 4, y ? R y (2)顶点坐标:A1 (?4,0), A2 (4,0) (3)焦点坐标:F1 (?5,0), F2 (5,0) F ? ? 1 A1 O A2 ? ? F2 x c 5 (4)离心率: e ? ? a 4 1 思考:y ? 的图像是什么? 图像无限靠近x轴和y轴 x 1 x轴, y轴叫做y ? 的渐进线. x 5、渐近线 x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b b a2 b 2 2 y?? x ? a ? ? | x | 1? 2 a x a a2 当x ? ?时, 2 ? 0. x b a2 ? ? x 1? 2 a x y y? b x a 说明: 当x ? ?时, 双曲线上点的纵坐标 b 与y ? ? x的纵坐标很接近. a O x y?? b x a b a2 b 即y ? ? x 1 ? 2 与y1 ? ? x中,当x ? ?时, y ? y1. a x a x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b b 直线y ? ? x叫做双曲线的渐进线. a x2 y2 3 ? ? 1的渐进线为: y?? x 2 4 3 x2 y2 y ? ?x ? ? 1的渐进线为: 2 2 y b y? x a O x b y?? x a 等轴双曲线 e ? 2 焦点在x轴上的双曲线的几何性质 x2 y2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b 1、 范围: x≥a或x≤-a 2、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称。 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0) 4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 b 5、渐近线方程: y ? ? x a c e= 6、离心率: A1 Y B2 X A2 B1 a B2 . . B2 A2 2 2 2 2 图形 . . F1(-c,0) 2 2 y y F2 F1 A1 A2 O B1 F2(c,0) F2 x A1 O F1 B1 F2(0,c) x F1(0,-c) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线 x y ? ? 1 ( a ? b ? 0) a b 2 2 y x ? ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) a b x ? a 或 x ? ? a, y ? R y ? a 或 y ? ? a, x ? R 关于x轴、y轴、原点对称 A1(- a,0),A2(a,0) 关于x轴、y轴、原点对称 A1(0,-a),A2(0,a) c c e? (e ? 1) e? (e ? 1) a a b a y ? ? x y ? ? x 如何记忆双曲线的渐进线方程? a b 例1、求下列双曲线的渐近线方程 2x±3y=0 (1)4x2-9y2=36, (2)25x2-4y2=100. 5x±2y=0 例2、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为20m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m). y 13 C′ 12 A′ 0 A x C B′ 20 B