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中山市高二级2009—2010学年度第一学期期末统一考试(数学理)


高二( 期末数学试卷 理科) 数学试卷( 中山市高二级 09—10 学年度高二(上)期末数学试卷(理科) — 学年度高二
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.在△ABC 中, A = 135° , C = 30° ,c=20,则边 a 的长为 A. 10 2 B. 20 2 C. 20 6 D.

20 6 3

2.不等式 x(9 ? x) > 0 的解集是 A. (0,9) B. (9, +∞ ) C. (?∞,9) D. (?∞,0) ∪ (9, +∞) 3.已知数列 {an } 满足 a1 = 1 , an = an ?12 ? 1 (n > 1) ,则 a5 = A.0 B.-1 C.-2 D.3 4.设函数 f(x)的图象如右图所示,则导函数 f ′(x)的图象可能为 y y

y

y = f '( x)
O x O

y = f '( x)
O 1 4

y = f ( x)

x

1

4

1

4

x

A. y

B. y

y = f '( x)
O 1 4 x O 1

y = f '( x)
4 x

C. D. 5.四个不相等的正数 a 、 b 、 c 、 d 成等差数列,则下列关系式一定成立的是

a+d a+d a+d a+c < bc B. > bc C. = bc D. > bd 2 2 2 2 6.命题“ ?x0 ∈ R, x0 2 ? x0 + 1 ≤ 0 ”的真假判断及该命题的否定为
A. A.真; ?x0 ∈ R, x0 2 ? x0 + 1 > 0 B.假; ?x0 ∈ R, x0 2 ? x0 + 1 > 0 C.真; ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 > 0 D.假; ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 > 0 7.我市某企业在 2009 年元月份为战胜国际背景下的金融危机,积极响应国务院提 出的产业振兴计划,对每周的自动化生产项目中进行程序优化. 在程序设计中,需 要采用一个七进制计数器,所谓七进制即“逢七进一” ,如 1203(7) 表示七进制数,将它 转换成十进制形式,是 1 × 73 + 2 × 7 2 + 0 × 71 + 3 × 7 0 = 444,那么将七进制数 666? 6
12 (7)

转换

成十进制形式是 A. 713 ? 7 B. 712 ? 7 C. 712 ? 1 D. 711 ? 1

高二数学(理)

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8.椭圆 C: ① 曲线

x2 y 2 + = 1 的焦点为 F1, F2 ,有下列研究问题及结论: 25 9

x2 y2 + = 1 (k < 9) 与椭圆 C 的焦点相同; 25 ? k 9 ? k ② 一条抛物线的焦点是椭圆 C 的短轴的端点,顶点在原点,则其标准方程为

x 2 = ±6 y ;
③ 若点 P 为椭圆上一点,且满足 PF1 i PF2 = 0 ,则 PF1 + PF2 = 8. 则以上研究结论正确的序号依次是 A.①② B.②③ C.①③ D. ①②③ 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上) 9. 如果双曲线 距离是

x2 y 2 ? = 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 7, 那么点 P 到另一个焦点 F2 的 36 100 .
. . .

10.已知函数 f ( x) = ( x + 2)e 2 x ,则 f '(0) =

11.已知向量 OA =(2,-1,2) OB =(1,0,3) , ,则 cos ∠OAB =

?0 ≤ x ≤ 2 ? 12.当 x、y 满足不等式组 ? y ≥ 0 时,目标函数 t = x + y 的最大值是 ? y ≤ x +1 ?
条件是 .

13.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn = 2n + c ,其中 c 为常数,则该数列 {an } 为等比数列的充要

14.为迎接 2010 年11 月 12 日至 27 日在广州举办的第 16 届亚运会,某高台跳水运动员加 强训练,经多次统计与分析,得到 t 秒时该运动员相对于水面的高度(单位:m)是

h(t ) = ?4.8t 2 + 8t + 10 . 则该运动员在 t = 2 秒时的瞬时速度为
后该运动员落入水中.

m / s ,经过



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 15. (13 分)已知函数 f ( x) = sin x ?

1 x, x ∈ (0, π ) . 2 (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间;
(2)求函数 f ( x) 的图象在点 x =

π
3

处的切线方程.

16. (13 分) 某市在进行城市环境建设中, 要把一个三 角形的区域改造成市内公园. 经过测量得到这个三角 形区域的三条边长分别为 70 m、90 m、120 m .
高二数学(理) 第 2 页(共 4 页)

(1)求该三角形区域最大角的余弦值; (2)求该三角形区域的面积.

17. (13 分) 如图, 一块矿石晶体的形状为四棱柱, 底面 ABCD 是正方形, 1 = 3, CD = 2 , CC 且 ∠C1CB = ∠C1CD = 60° . (1)设 CD = a, CB = b, 1 = c , 试用 a, b, c 表示 A1C ; CC (2)O 为四棱柱的中心,求 CO 的长; (3)求证: A1C ⊥ BD .

18. (13 分)斜率为

B 两点. (1)求该抛物线的标准方程和准线方程; (2)求线段 AB 的长;

4 的直线 l 经过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点 F (1,0) ,且与抛物线相交于 A、 3 y
A

F
O

x B

19. (14 分)某热电厂积极推进节能减排工作,技术改造项 目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔(如右图) ,以 使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用,从而 实现热电系统循环水的零排放. (1)冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的 曲面,要求它的最小半径为 12 m,上口半径为 13 m,下口半径 为 20 m,且双曲线的离心率为 为多少? (2)该项目首次需投入资金 4000 万元,每年节能后可 增加收入 600 万元. 投入使用后第一年的维护费用为 30 万 元,以后逐年递增 20 万元. 为使年平均节能减排收益达 到最大值,多少年后报废该套冷却塔系统比较适合?

34 ,试求冷却塔的高应当设计 3

高二数学(理)

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20. (14 分)已知函数 f ( x) =

1 2 3 x ? 3 x ? . 定义函数 f ( x) 与实数 m 的一种符号运算为 2 4 m ? f ( x) = f ( x)i[ f ( x + m) ? f ( x)] .
(1)求使函数值 f ( x) 大于 0 的 x 的取值范围; (2)若 g ( x) = 4 ? f ( x) +

7 2 x ,求 g ( x) 在区间 [0, 4] 上的最大值与最小值; 2
7 2 n . 若存在,求出其 2

(3)是否存在一个数列 {an } ,使得其前 n 项和 Sn = 4 ? f ( n) + 通项;若不存在,请说明理由.

中山市 2009—2010 学年度第一学期期末统一考试

高二数学试卷(理科)答案
一、选择题:BABC BDCC 二、填空题:9. 19; 10. 5; 11. 三、解答题: 15. 解: f '( x) = cos x ?

3 ; 12. 5; 13. c = ?1 ; 14. ?11.2 ,2.5 . 9

1 . ……(2 分) 2 1 π (1)由 x ∈ (0, π ) 及 f '( x) = cos x ? > 0 ,解得 x ∈ (0, ) . 2 3
∴ 函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ) . 3

π

……(6 分)

高二数学(理)

第 4 页(共 4 页)

π π 1 π 3 π (2) f ( ) = sin ? × = ? . 3 3 2 3 2 6 π π 1 切线的斜率 k = f '( ) = cos ? = 0 . 3 3 2
∴ 所求切线方程为: y =

……(8 分) ……(10 分) ……(13 分)

3 π ? . 2 6

16. 解: (1)设 a=70 m,b=90 m,c=120 m ,则最大角为角 C. ……(2 分) 根据余弦定理的推论,得

cos C =

a 2 + b 2 ? c 2 702 + 902 ? 1202 = 2ab 2 × 70 × 90 1 =? . 9

……(5 分) ……(7 分) ……(9 分) ……(12 分) ……(13 分) ……(2 分) ……(3 分) ……(4 分) ……(5 分)

1 4 5 (2) sin C = 1 ? (? ) 2 = , 9 9 1 1 4 5 S? = ab sin C = × 70 × 90 × = 1400 5 . 2 2 9
所以该三角形区域的面积是 1400 5 m 2 . 17. 解: (1)由 CD = a, CB = b, 1 = c ,得 CA1 = a + b + c . CC 所以, A1C = ? a ? b ? c . (2)O 为四棱柱的中心,即 O 为线段 A1C 的中点. 由已知条件,得

| a |=| b |= 2 , | c |= 3 , a ib = 0 , < a, c >= 60° , < b, c >= 60° .
根据向量加减法得 BD = a ? b , CA1 = a + b + c .

| CA1 |2 = CA1 = (a + b + c)2 = a + b + c + 2aib + 2bic + 2a ic = 22 + 22 + 32 + 0 + 2 × 3 × 2 × cos 60° + 2 × 3 × 2 × cos 60° = 29 . ……(8 分) ∴ A1C 的长为 29 .
所以 CO =

2

2

2

2

29 . 2
2 2

……(9 分)

(3)∵ CA1 i BD = (a + b + c)i(a ? b) = a + aic ? b ? bic

= 22 + 2 × 3 × cos 60° ? 22 ? 2 × 3 × cos 60° = 0 ,
∴ CA1 ⊥ BD . 18. 解: (1)由焦点 F (1,0) ,得

……(12 分) ……(13 分)

p = 1 ,解得 p = 2 . 2
第 5 页(共 4 页)

……(2 分)

高二数学(理)

所以抛物线的方程为 y 2 = 4 x ,其准线方程为 x = ?1 , (2)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) .

……(4 分)

4 直线 l 的方程为 y = i( x ? 1) . 3
4 ? ? y = ( x ? 1) 与抛物线方程联立,得 ? , 3 2 ? y = 4x ?
消去 y,整理得 4 x 2 ? 17 x + 4 = 0 , 由抛物线的定义可知, AB = x1 + x2 + p = 所以,线段 AB 的长为 ……(7 分) ……(9 分) A′

……(5 分)

y A

17 25 +2= . 4 4
B′ ……(13 分)

F
O

25 . 4

B

x

19. 解: (1)如图,建立平面直角坐标系. 设双曲线方程为

x2 y 2 ? = 1 (a > 0, b > 0) . a2 b2

由题意可知, a = 12 , e =

c c 34 = = ,解得 c = 4 34 .…(2 分) a 12 3
……(3 分) ……(4 分) 代入,解得 | y |=

从而 b 2 = c 2 ? a 2 = (4 34) 2 ? 122 = 400 . ∴ 双曲线方程为

x2 y2 ? = 1. 144 400 25 ; x = 20 3

将 x = 13 代入,解得 | y |=

80 . 3

……(6 分)

所以,冷却塔的高为

25 80 105 + = ( m) . 3 3 3

……(7 分)

(2) n 年后的年平均减排收益为

600n ? [30n +

n(n ? 1) × 20] ? 4000 ?10n 2 + 580n ? 4000 2 = n n

……(9 分)

= ?10(n +

400 400 ) + 580 ≤ ?10 × 2 ni + 580 = 180 . n n 400 即 n = 20 时等号成立. n
高二数学(理) 第 6 页(共 4 页)

……(11 分)

当且仅当 n =

……(12 分)

所以,20 年后报废该套冷却塔系统比较适合.

……(13 分)

20. 解: (1)由 f ( x) > 0 ,得

1 2 3 x ? 3x ? > 0 , 2 4
42 42 或 x > 3+ . 2 2 42 42 ) ∪ (3 + , +∞) . 2 2

……(1 分)

即 2 x 2 ? 12 x ? 3 > 0 ,解得 x < 3 ?

所以,x 的取值范围为 (?∞,3 ? (2) g ( x) = 4 ? f ( x) +

……(3 分)

7 2 x 2

1 3 1 3 1 3 7 = ( x 2 ? 3 x ? )i{[ ( x + 4) 2 ? 3( x + 4) ? ] ? ( x 2 ? 3x ? )} + x 2 2 4 2 4 2 4 2 1 3 1 1 7 = ( x 2 ? 3 x ? )i( × 8 x + × 16 ? 3 × 4) + x 2 2 4 2 2 2 1 3 7 = ( x 2 ? 3 x ? )i(4 x ? 4) + x 2 2 4 2 = 2 x3 ? 21 2 x + 9x + 3 . 2
……(5 分)

对 g ( x) 求导,得 g '( x) = 6 x 2 ? 21x + 9 = 3( x ? 3)(2 x ? 1) . 令 g '( x) = 0 ,解得 x =

1 或 x = 3. 2

……(6 分)

当 x 变化时, g '( x) 、 g ( x) 的变化情况如下表: x 0

1 (0, ) 2
+

1 2
0

1 ( ,3) 2
- ↘

3 0

(3, 4)
+ ↗

4

g '( x) g ( x)
3



41 8

?

21 2

?1

所以, g ( x) 在区间 [0, 4] 上的最大值为 (3)存在.
高二数学(理)

41 21 ,最小值为 ? . 8 2

……(10 分)

第 7 页(共 4 页)

由(2)得 Sn = 4 ? f ( n) + 当 n ≥ 2 时,

7 2 21 n = 2 n 3 ? n 2 + 9n + 3 . 2 2

……(11 分)

an = S n ? S n ?1 = (2n3 ? = 2(3n 2 ? 3n + 1) +

21 2 21 n + 9n + 3) ? [2(n ? 1)3 ? (n ? 1) 2 + 9(n ? 1) + 3] 2 2

21 43 (?2n + 1) + 9 = 6n 2 ? 27 n + 2 2 21 2 7 ×1 + 9 ×1 + 3 = . 2 2
……(13 分)

当 n = 1 时, a1 = S1 = 2 × 13 ?

?7 ? 2 ( n = 1) ? . 所以, an = ? 43 2 ?6n ? 27 n + (n ≥ 2) ? 2 ?

……(14 分)

1 题:教材必修⑤ P10 1(1)改编,考查正弦定理. 2 题:教材必修⑤ P80 习题 A 组第 1(4)题,考查一元二次不等式. 3 题:教材必修⑤ P31 练习第 2 题,考查递推数列. 4 题:教材选修 1-1 P91 例 1 改编,考查导数与函数单调性. 6 题:教材选修 1-1 P27 习题 A 组第 3(3)题,考查特称命题的否定及一元二次不等式. 8 题:教材选修 1-1 P68 习题 A 组第 3 题改编,考查椭圆几何性质、抛物线标准方程、 向量运算. 9 题:教材选修 2-1 P42 练习第 1 题改编,考查双曲线定义. 11 题:教材选修 2-1 P98 习题 3.1 A 组 7 题改编,考查空间向量的运算. 14 题:教材选修 1-1 P79 习题 3.1 A 组第 2 题改编,考查导数的物理意义、一元二次不 等式的应用问题. 15 题:教材选修 1-1 P91 例 2(3)改编,考查导数的几何意义、利用导数研究函数单 调性. 16 题:教材必修⑤ P17 例 8 改编,考查余弦定理、三角形面积计算.
高二数学(理) 第 8 页(共 4 页)

17 题:教材选修 2-1 P105 例 1 改编,考查向量法. 18 题:教材选修 1-1 P61 例 4 改编,考查抛物线的标准方程及几何性质、直线与抛物 线相交的弦长计算. 19 题:教材选修 1-1 P51 例 4 改编,考查双曲线标准方程及几何性质、等差数列、基 本不等式的应用. 20 题:教材必修⑤ P81 习题 3.2 B 组第 3 题改编,考查一元二次不等式、利用导数研 究最大(小)值.

高二数学(理)

第 9 页(共 4 页)


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