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高二数学选修1圆锥曲线知识点整理


高二数学选修 1-1

圆锥曲线知识点复习
班别_________姓名 姓名_____________ 班别 姓名

一、椭圆与双曲线的比较 1、标准方程与几何性质比较 椭圆 定义
y

双曲线

y
M

y
M
F2

y P
P

图形
F1 O F2

x

F2 O F1

x

F1

o

F2

x
F1

x

2a 叫___________, 2b 叫_________ 2c 叫___________,
概念 (1) a > c :点 P 的轨迹是_____________ (2) a = c :点 P 的轨迹是_____________ (3) a < c :点 P 的轨迹是_____________

2a 叫___________, 2b 叫_________ 2c 叫___________,
(1) a > c :点 M 的轨迹是_____________ (2) a = c :点 M 的轨迹是________________ (3) a < c :点 M 的轨迹是________________ (4) a = 0 :点 M 的轨迹是________________

方程 焦点位置 的判断 焦点坐标

顶点坐标

对称性

范围

x ∈ ___________ y ∈ ___________

x ∈ ___________ y ∈ ___________

x ∈ _____________ y ∈ ___________

x ∈ _____________ y ∈ ___________

离心率

a, b, c 关系
渐近线方程

无渐近线

2、统一形式比较:椭圆与圆锥曲线的标准方程的统一形式是: mx 2 + ny 2 = 1 (1)当____________________________,方程表示的曲线是椭圆 (2)当____________________________,方程表示的曲线是双曲线

例题:

x2 y2 + = 1 ,当 k ∈ _______________________,是椭圆; 4 + k 1? k
当 k ∈ _______________________,是双曲线
1

二、抛物线 1、 定义: 动点 M 到顶点 F 的距离等于到定直线的距离, 则点 M 的轨迹是抛物线。 其中顶点 F 叫______, 定直线叫_____ 2、焦半径 MF :抛物线上点 M 到焦点 F 的距离 3、焦点弦 AB :直线 AB 过焦点 F,与抛物线交于点 A、B 4、抛物线标准方程及几何性质

图形

方程 开口方向 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 对称轴 范围

x ∈ ___________ y ∈ ___________

x ∈ ___________ y ∈ ___________

x ∈ ___________ y ∈ ___________

x ∈ ___________ y ∈ ___________

焦半径 焦点弦 AB

MF =__________ AB =______________

MF =__________ AB =______________

MF =__________ AB =______________

MF =__________ AB =______________

三、圆锥曲线常见问题 1、求相交弦 AB 中点坐标问题 步骤: (1)设点: A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ; (2)联立方程,得出: ax + bx + c = 0 ; (3)利用韦达定理: x1 + x 2 = ?
2

b a

(4)利用直线方程,求出: y1 + y 2 ; (5)中点 M 坐标为 ?

? x1 + x 2 y1 + y 2 ? , ? 2 ? ? 2 x2 y2 + = 1 相交于点 M、N 5 4

练习:已知直线 l : y = x ? 1 ,与抛物线 C1 : y 2 = 12 x 相交于点 A、B,与椭圆 C 2 : 则 AB 中点坐标为_________________,MN 中点坐标为_______________ 2、已知中点 M( x0 , y 0 ) ,求中点弦(过中点的相交弦)方程问题 步骤: (1)设点: A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 2 x 0 = x1 + x 2 , 2 y 0 = y1 + y 2 (2)把 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 代入曲线方程; (3)作差; (4)求斜率 k (5)求直线方程 AB: y ? y 0 = k ( x ? x 0 )

2 练习: 、已知抛物线 y = 8 x 的弦 AB 被 (1,?1) 平分,则 AB 方程为_____________________ (1)

2

x2 y2 (2) 、椭圆 + = 1 的的弦 AB 被 (4,2) 平分,则 AB 方程为_____________________ 36 9
3、求弦长 AB 步骤: (1)设点: A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ; (2)联立方程,得出: ax + bx + c = 0 ;
2

(3)利用韦达定理: x1 + x 2 = ? (4)求弦长 AB = 1 + k
2

b c , x1 x 2 = a a

(x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2

练习: (1)已知直线 l : y = x ? 1 与抛物线 C1 : y 2 = 12 x 相交于点 A、B ,则 AB =____________ (2)已知直线 l : y = x ? 1 与椭圆 C 2 : 4、直线与圆锥曲线的位置关系 判断交点情况,一般步骤: (1)联立方程,得出: ax + bx + c = 0 ; (2)判断 ? = b ? 4ac 的符号
2 2

x2 y2 + = 1 相交于点 M、N,则 MN =___________ 5 4

① ? < 0 ,直线与圆锥曲线没有交点,相离 ② ? = 0 ,直线与圆锥曲线有 1 个交点,相切 ③ ? > 0 ,直线与圆锥曲线有 2 个交点,相交 练习:已知直线过定点 (0,3) ,斜率为 k ,当 k 为何值时,直线与抛物线 y 2 = 8 x 有 (1)1 个交点 (2)0 个交点 (3)2 个交点

3


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