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2018年高考数学总复习第九章平面解析几何第1讲直线的方程学案!


第 1 讲 直线的方程
最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;2.理解直线 的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;3.掌握确定直线位置的几何要 素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

知 识 梳 理 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角 α 叫做直线 l 的倾斜角;②规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0; ③范围:直线的倾斜角 α 的取值范围是[0,π ). (2)直线的斜率 π ①定义:当直线 l 的倾斜角 α ≠ 时,其倾斜角 α 的正切值 tan α 叫做这条直线的斜率, 2 斜率通常用小写字母 k 表示,即 k=tan__α ;②斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1 ≠x2)的直线的斜率公式为 k= 2.直线方程的五种形式 名称 斜截式 点斜式 两点式 几何条件 纵截距、斜率 过一点、斜率 过两点 方程 适用条件 与 x 轴不垂直的直线 与两坐标轴均不垂直的直 线 不过原点且与两坐标轴均 不垂直的直线 所有直线

y2-y1 . x2-x1

y=kx+b y-y0=k(x-x0) y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0
(A +B ≠0)
2 2

截距式

纵、横截距

一般式 3.线段的中点坐标公式

x +x ? ?x= 2 , 若点 P , P 的坐标分别为(x , y ), (x , y ), 线段 P P 的中点 M 的坐标为(x, y), 则? y +y ? ?y= 2 ,
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“?”)
-1-

(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.(

) ) ) )

(2)直线的斜率为 tan α ,则其倾斜角为 α .( (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(

(4)经过点 P(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示.(

(5)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-

x1)(y2-y1)表示.(

)

解析 (1)当直线的倾斜角 α 1=135°,α 2=45°时,α 1>α 2,但其对应斜率 k1=-1,k2= 1,k1<k2. (2)当直线斜率为 tan(-45°)时,其倾斜角为 135°. (3)两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等. (4)当直线的斜率不存在时,不可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示. 答案 (1)? (2)? (3)? (4)? (5)√ 2.(2017?衡水金卷)直线 x-y+1=0 的倾斜角为( A.30° C.120° B.45° D.150° )

解析 由题得, 直线 y=x+1 的斜率为 1, 设其倾斜角为 α , 则 tan α =1, 又 0°≤α <180° 故 α =45°,故选 B. 答案 B 3.如果 A?C<0,且 B?C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

解析 由已知得直线 Ax+By+C=0 在 x 轴上的截距- >0,在 y 轴上的截距- >0,故直线经 过第一、二、四象限,不经过第三象限. 答案 C 4.已知 A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则 x=________. 7-5 x-5 解析 ∵A,B,C 三点共线,∴kAB=kAC,∴ = ,∴x=-3. 4-3 -1-3 答案 -3 5.(必修 2P100A9 改编)过点 P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________. 解析 当纵、横截距为 0 时,直线方程为 3x-2y=0;

C A

C B

x y 2 3 当截距不为 0 时,设直线方程为 + =1,则 + =1,解得 a=5.所以直线方程为 x+y-5= a a a a
0. 答案 3x-2y=0 或 x+y-5=0
-2-

6.(2017?金华市调研)直线 kx-y-2k+4=0 过定点 P 的坐标为________; 若幂函数 y=f(x) 也过点 P,则 f(x)的解析式为________. 解析 直线 kx-y-2k+4=0 可化为 y-4=k(x-2),∴直线过定点 P(2,4),设幂函数 y=

f(x)为 y=xα ,把 P(2,4)代入,得 4=2α ,∴α =2,即 y=f(x)=x2.
答案 (2,4) f(x)=x
2

考点一 直线的倾斜角与斜率

? ?π π ?? 【例 1】 (1)直线 2xcos α -y-3=0?α ∈? , ??的倾斜角的取值范围是( ? ? 6 3 ??
A.? C.?

)

?π ,π ? ? ?6 3? ?π ,π ? ? ?4 2?

B.? D.?

? π ,π ? ? ?4 3? ?π ,2π ? 3 ? ?4 ?

(2)直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点,则直线 l 斜率 的取值范围为________. 解析 (1)直线 2xcos α -y-3=0 的斜率 k=2cos α , 1 3 ?π π ? 因为 α ∈? , ?,所以 ≤cos α ≤ , 2 2 ?6 3? 因此 k=2?cos α ∈[1, 3]. 设直线的倾斜角为 θ , 则有 tan θ ∈[1, 3].

?π π ? 又 θ ∈[0,π ),所以 θ ∈? , ?, ?4 3? ?π π ? 即倾斜角的取值范围是? , ?. ?4 3?
1-0 (2)如图,∵kAP= =1, 2-1

kBP=

3-0 =- 3, 0-1

∴直线 l 的斜率 k∈(-∞,- 3]∪[1,+∞). 答案 (1)B (2)(-∞,- 3]∪[1,+∞) 规律方法 直线倾斜角的范围是[0,π ),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜

? π ? ?π ? 率求倾斜角的范围时,要分?0, ?与? ,π ?两种情况讨论 .由正切函数图象可以看出,当 2? ?2 ? ?
π ? π ? 斜率 k∈[0, ?π ? 斜率 k∈(- α ∈?0, ?时, +∞); 当 α = 时, 斜率不存在; 当 α ∈? ,π ?时, 2 2 ? ? ?2 ?
-3-

∞,0). 【训练 1】 (2017?杭州一调)直线 xsin α +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π ) )

? π ? ?3π ,π ? B.?0, ?∪? ? 4? ? 4 ? ? ? π ? ?π ? D.?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ?

? π? C.?0, ? 4? ?

解析 设直线的倾斜角为 θ , 则有 tan θ =-sin α .因为 sin α ∈[-1, 1], 所以-1≤tan π 3π θ ≤1,又 θ ∈[0,π ),所以 0≤θ ≤ 或 ≤θ <π ,故选 B. 4 4 答案 B 考点二 直线方程的求法 【例 2】 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 10

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为 α ,则 sin α = 10 (0≤α <π ), 10

3 10 1 从而 cos α =± ,则 k=tan α =± . 10 3 1 故所求直线方程为 y=± (x+4). 3 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. (2)由题设知纵横截距不为 0,设直线方程为 + 又直线过点(-3,4), -3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0 满足题意; 当斜率存在时,设其为 k, 则所求直线方程为 y-10=k(x-5), 即 kx-y+10-5k=0. |10-5k| 3 由点线距离公式,得 =5,解得 k= . 2 4 k +1

x y =1, a 12-a

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故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0. 规律方法 根据各种形式的方程,采用待定系数的方法求出其中的系数,在求直线方程时凡

涉及斜率的要考虑其存在与否,凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性. 【训练 2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍; (3)经过点 B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(4,1), 1 ∴l 的方程为 y= x,即 x-4y=0. 4 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, 4 1 ∵l 过点(4,1),∴ + =1,

x y a a

a a

∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 x-4y=0 或 x+y-5=0. (2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α ,则所求直线的倾斜角为 2α . ∵tan α =3,∴tan 2α = 2tan α 3 =- . 2 1-tan α 4

又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0. (3)由题意可知,所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4),由点斜式得 y-4=±(x-3). 所求直线的方程为 x-y+1=0 或 x+y-7=0. 考点三 直线方程的综合应用 【例 3】 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. (1)证明 直线 l 的方程可化为 k(x+2)+(1-y)=0,

-5-

令?

? ?x+2=0,

? ?x=-2, 解得? ? ? ?1-y=0, ?y=1.

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k (2)解 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,要

k

1+2k ? ?- ≤-2, k 使直线不经过第四象限,则必须有? 解得 k>0; ? ?1+2k≥1, 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k 的取值范围是[0,+∞). (3)解 由题意可知 k≠0,再由 l 的方程,

? 1+2k,0?,B(0,1+2k). 得 A?- ? ?
k

?

1+2k ? ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0. 1 1 ?1+2k? ∵S= ?|OA|?|OB|= ?? ??|1+2k| 2 2 ? k ?
2 1 ? 1 (1+2k) 1? = ? = ?4k+ +4? k ? 2 k 2?

1 ≥ ?(2?2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0. 规律方法 在求直线方程的过程中,若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题,则可先

设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值. 【训练 3】 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交 于 A,B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程. 解 法一 设直线方程为 + =1(a>0,b>0), 3 2 点 P(3,2)代入得 + =1≥2 6 ,得 ab≥24,

x y a b

a b

ab

1 从而 S△ABO= ab≥12, 2 3 2 b 2 当且仅当 = 时等号成立,这时 k=- =- , a b a 3 从而所求直线方程为 2x+3y-12=0.
-6-

法二 依题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3)(k<0),

? 2 ? 且有 A?3- ,0?,B(0,2-3k), ?
k

?

1 ? 2? ∴S△ABO= (2-3k)?3- ? 2 ? k? 4 ? 1? 1? = ?12+(-9k)+ ?≥ 12+2 (-k)? 2? 2? ? 1 = ?(12+12)=12. 2 当且仅当-9k= 4 2 ,即 k=- 时,等号成立, -k 3 4 ? (-9k)? ? (-k)?

即△ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x+3y-12=0.

[思想方法] 1.直线的倾斜角和斜率的关系: (1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系: α 0° 0 0°<α <90° 90° 不存在 90°<α <180°

k

k>0

k<0

2.在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.用斜截式 及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表 示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距 是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. [易错防范] 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都 存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数, 还可以为 0, 这是解题时容易忽略的一点.

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