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高中数学1.1空间几何体1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球自我小测新人教B版必修2-含答案

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 自我小测 1.若 A,B 为球面上相异两点,则通过 A,B 所作的大圆有( A.1 个 B.无数个 ) C.一个也没有 ) D.1 个或无数个 2.下列命题中错误的是( A. 以矩形一边所在的直线为旋转轴, 其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱 B. 以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫 作圆锥 C. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面围成的几何 体叫作圆锥 D. 以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴, 其余各边旋转形成的曲面围成的几何 体叫作圆锥 3.上、下底面面积分别为 36π 和 49π ,母线长为 5 的圆台,其两底面之间的距离为( A.4 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 6 ) 4.顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD?A′B′C′D′中,AB=1,AA′= 2 ,则 A,C 两 点间的球面距离为( A. ) ? 4 B. ? 2 C. 2 π 4 D. 2 π 2 ) 5.在圆柱内有一个内接正三棱锥,过一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( 6. 如果圆锥的侧面展开图是半圆, 那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是( A.30° B.45° C.60° D.90° ) 7.已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M 的面 积为 3π ,则球 O 的半径等于__________. 8.某地球仪上北纬 30°纬线的长度为 12π cm,则该地球仪的半径是__________cm. 9.如图所示,圆柱 OO′的底面半径为 2 cm,高为 4 cm,且 P 为母线 B′B 的中点,∠AOB =120°,则一只蚂蚁从 A 点沿圆柱表面爬到 P 点的最短路程为__________. 1 10.如图所示组合体是由哪些几何体组成的? 11.轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为 3 ,求该圆 锥的底面半径、高和母线长. 12.设地球的半径为 R,在北纬 45°纬线圈上有两个点 A,B,A 在西经 40°经线上,B 在东 经 50°经线上,求 A,B 两点间纬线圈的劣弧长及 A,B 两点间的球面距离. 2 参考答案 1.解析:(1)若 A,B 两点的连线经过球心 O,则经过 A,B 的大圆有无数个;(2)若 A,B 两 点的连线不经过球心 O,由立体几何知识知,不共线的三个点 A,B,O 确定一个圆,此 时大圆只有一个. 答案:D 2.解析:直角三角形绕其一条直角边旋转才能形成圆锥,如果绕其斜边旋转则形成的是两 个圆锥的组合体. 答案:B 3.解析:圆台的母线长 l、高 h 和上、下两底面圆的半径 r,R 满足关系式 l =h +(R-r) , 求得 h= 2 6 ,即两底面之间的距离为 2 6 . 答案:D 2 2 2 ( 2)2 ? 12 ? 12 4.解析:如图所示,设球的半径为 R,则有 R= =1,连接 AC,连接 AC′ 2 与 A′C 交于点 O,则 O 为外接球的球心. 在△AOC 中,AO=OC=1,AC= 2 ,所以∠AOC=90°. 所以 A,C 两点间的球面距离为 答案:B 5.答案:D 6.解析:设圆锥的底面半径是 r,母线长是 l.如图所示,2π r=π l, 90 ? ? ?1 ? = . 180 2 所以 2r=l,所以 r 1 = . l 2 3 所以轴截面对应的等腰三角形的顶角为 60°,因此底角为 60°. 答案:C 7.解析:因为圆 M 的面积为 3π , 所以圆 M 的半径 r= 3 . 设球的半径为 R,由图可知,R = 2 1 2 R +3, 4 所以 3 2 R =3.所以 R2=4.所以 R=2. 4 答案:2 8.解析:设地球仪上北纬 30°纬线所在圆的半径为 rcm,则有 2π r=12π . 所以 r=6(cm). 设地球仪的半径为 R cm,则 所以 R= 4 3 (cm). 答案: 4 3 9.解析:将圆柱侧面沿母线 A′A 剪开展开成平面图,如图所示,则易知最短路程为平面图 中线段 AP 的长. r 3 =cos30°= . R 2 在 Rt△ABP 中,AB= 1 4? ×4π = (cm),PB=2cm, 3 3 2 4? 2 ? 9 (cm). 3 2 4? 2 ? 9 cm. 3 所以 AP= AB2 ? BP2 = 即这只蚂蚁从 A 点沿圆柱表面爬到 P 点的最短路程为 答案: 2 4? 2 ? 9 cm 3 10.解:(1)正三棱柱内挖去一个圆柱. 4 (2)圆锥挖去一个圆柱. 11.解:如图为等边圆锥的轴截面,设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,则在轴 截面△SAB 中,有 OB=r,SO=h,SB=l,且∠SBO=60°. 在 Rt△SOB 中,h= 3r ,l=2r,所以 S△SAB= 根据题意得 3r = 3 ,解得 r=1, 所以 l=2r=2,h= 3r = 3 . 2 1 2 ×AB×SO=rh= 3r , 2 即该圆锥的底面半径为 1,高为 3 ,母线长为 2. 12.解:如图所示,设 45°纬线圈中心为 O1,地球中心为 O,则∠AO1B=40°+50°=90°. 又因为 OO1⊥⊙O1 所在平面,所以 OO1⊥O1A,OO1⊥O1B. 又因为点 A,B 在北纬 45°纬线圈上,所以∠OBO1=∠OAO1=45°. 所以 O1A=O1B=O1O=OA·cos 45°= 在 Rt△AO1B 中,因为 AO1=BO1, 所以 AB= 2 AO1=R.所以△AOB 为等边三角形.所以∠AOB=60°. 所以在 45°纬线圈上, A, B 两点间纬线圈的劣弧长为 在球面上,A,B 两点间的球面距离 AB 的长为 劣

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