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天津市2014届高三理科数学一轮复习试题选编3:三角函数


天津市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 3:三角函数
一、选择题 1 . (天津市河东区 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)函数 y =2 sin (x ?

?
4

) cos (

?
4

-x) 图象的一个
( )

对称轴方程是 A. x =
2

?
4

B. x =
2013

?
8

C. x =

?
2

D. x =?
版 )) 设 函 数

【答案】A .( 天 津 市 六 校

届 高 三 第 二 次 联 考 数 学 理 试 题 ( WORD

f(x)=Asin( ?x ? A.图象过点(0,

? ? 2? ( ? )(A>0, ? >0,- < ? < )的图象关于直线 x= 对称,且周期为 π ,则 f(x)
2 2 3
1 ) 2
B.最大值为-A D.在[



C.图象关于(π ,0)对称
【答案】D 3

5? 2? , ]上是减函数 12 3

. ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 一 月 考 理 科 数 学 ) 在 ? ABC 中 ,A,B,C 为 内 角 , 且

sin A cos A ? sin B cos B ,则?ABC 是
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 【答案】D B.直角三角形 D.等腰或直角三角形





【解析】 由 sin A cos A ? sin B cos B 得 sin 2 A ? sin 2B ? sin(? ? 2B) , 所以 2 A ? 2B 或 2 A ? ? ? 2B , 即 A? B 或 A? B ?

?
2

,所以三角形为等腰或直角三角形,选
a1 a2 a3 a4

D.

4 . (2013 届天津市高考压轴卷理科数学) 定义行列式运算

= a1 a 4 ? a 2 a3 .将函数 f ( x ) ?

sin 2 x cos 2 x


3 1




图象向左平移 A. ?

?
6

个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是 B. ?

?? ? ,0? ?4 ?

?? ? ,0? ?2 ?

C

?? ? ? ,0? .? 3 ?

D

?? ? ? ,0? . ? 12 ?

【答案】B

【解析】根据行列式的定义可知 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x =2sin(2 x ?

?
3

) , 向左平移

?
6

个单位得到

g ( x) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin 2 x , 所以 g ( ) ? 2sin(2 ? ) ? 2sin ? ? 0 , 所以 ( , 0) 是函数的 6 3 2 2 2
一个对称中心,选 B.
5 . (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)为了得到函数 y

?

?

?

?

?

只需将函数 y ? sin 2 x 的图象

1 ? 3 sin x cos x ? cos 2 x 的图象, 2
( )

? 个长度单位 12 ? C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移
【答案】A

? 个长度单位 12 ? D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

6 ( .天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题) 函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2sin 2 x ,( 0 ? x ?
( )

?
2

)

则函数 f(x)的最小值为 A.1 B.-2 【答案】B 解 :

C.√3

D.-√3

, 当 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? ? 7? ? 7? , 0 ? 2x ? ? , ? 2x ? ? , 所 以 当 2x ? ? 时 , 函 数 f ( x) 有 最 小 值 0? x? 2 6 6 6 6 6 7? 1 B. f ( x) ? 2sin( ) ? 1 ? 2 ? (? ) ? 1 ? ?2 ,选 6 2
3

?

7 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)函数 f(x)=sin2x-4sin xcosx(x∈R)的最小正周期

为 A.





? 8

B.

? 4
2

C.

? 2
2

D.π

【答案】C

【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x sin x ? sin 2 x(1 ? 2sin x) ? sin 2 x cos 2 x ? 期为 T ?

1 sin 4 x ,所以函数的周 2

2?

?

?

2? ? ? ,选 4 2

C.

8 . ( 2012 年天津理) 在△ABC 中 ,内角

A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b=5c , C =2B ,则 cosC=
( ) C. ?

7 24 D. 25 25 【 答 案 】 ∵ 8b=5c , 由 正 弦 定 理 得 8 s i n , 又 ∵ C =2B ,∴ 8sin B=5sin 2B , 所 以 B =5 s Ci n 4 7 ,易知 8 sin B =10 s Bi n B c o s sin B ? 0 ,∴ cos B = , cos C = cos 2B=2cos2 B ?1 = . 5 25
A.

7 25

B. ?

7 25

9

.( 2010 年 高 考 ( 天 津 理 )) 在 △ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c, 若

a 2 ? b2 ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A= 0 0 0 A. 30 B. 60 C. 120

( D. 150
0



【答案】A 10. (天津市五区县 2013 届高三质量检查(一)数学(理)试题)设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,

且 a ? 2, b ? 3, cos C ? A.

15 4

1 ,则 sinA= 4 15 B. 8

( ( C)



6 4

D.

6 4

【答案】C 11. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为

a, b, c , a sin A sin B ? b cos2 A ? 2a , b 则 ? a A. 2 3 B. 2 2 C. 3
【答案】D

( D. 2



解:由正弦定理得

a b 2 , 即 a sin B ? b sin A . 所 以 由 a s i nA s i nB ? b c o s A ? 2a 得 ? s i nA s iB n

b sin 2 A ? b cos2 A ? 2a ,即 b ? 2a ,所以

b ? 2 ,选 a

D.

12. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)在?ABC 中,tanA 是以-4 为第三项,4 为第七

项的等差数列的公差,tanB 是以 A.钝角三角形 【答案】B

1 为第三项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 ( 3
C.等腰直角三角形 D.以上都不对



B.锐角三角形

a7 ? a3 1 ? 2 . b3 ? , a6 ? 9 , 所以 4 3 tan A ? tan B 2 ?3 a6 ? b3 (tan B)3 ,即 tan 3 B ? 27 ,所以 tan B ? 3 ,所以 tan( A ? B) ? ? ? ?1 ,即 1 ? tan A tan B 1 ? 2 ? 3 B. tan C ? 1 ,因为 tan B ? 3 ? 0 ,所以最大值 B ? 90? ,即三角形为锐角三角形,选 ?? ? 13. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考 理科数学试卷)将函数 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 的图像向右平 4? ? 1 ? 移 ? (? ? 0) 个单位,再将图像上每一点横坐标缩短到原来的 倍,所得图像关于直线 x ? 对称,则 ? 2 4
解 : 由题意知 a3 ? ?4, a7 ? 4 , 所以 a7 ? a3 ? 3tan A , 所以 tan A ? 的最小正值为 ( )

3? ? A. C. D. 8 4 2 ?? ? 【 答 案 】 B 【 解 析 】 函 数 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 的 图 像 向 右 平 移 ? (? ? 0) 个 单 位 得 到 4? ? ? ? 1 y ? 2sin[2( x ? ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ? 2? ) , 再 将 图 像 上 每 一 点 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍 得 到 4 4 2

?

3? B. 8

y ? 2sin(4 x ?
时, 4 x ?

?

?
4

4

? 2? )

,











线

x?

?

2 3? ,选 k ? 0 时, ? 的最小正值为 ? ? 8

? 2? ? 4 ?

?
4

?

?
4

? 2? ?

?

? k? , k ? Z ,所以 2? ?
B.

3? 3? k? ? k? , ? ? ? , k ? Z ,所以当 4 8 2

4



,





x?

?

4

14. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)若?ABC 的三个内角成等差数列,三边成等比

数列,则?ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 ? 【答案】C【解析】设三个内角 A, B, C 为等差数列,则 A ? C ? 2B ,所以 B ? 60 .又 a, b, c 为等比数列, 所 以 a c ?

b , 即 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos 60? ? a 2 ? c2 ? ac ? ac , 即 a 2 ? c 2 ? 2ac ? 0 , 所 以 (a ? c2 ) ? 0a , ?,所以三角形为等边三角形 c ,选 C.
2

sin 2? ? cos2 ? 1 15. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学 (理) 试题) 已知 tan( ? ? ) ? ,则 1 ? cos 2? 4 2

?

的值为(

) ( )

3 A. ? 5
【答案】B 16. (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查理科数学)若 f ( x ) ? a sin x ? b (a,b 为常数)的最大值是 5,

最小值是-1,则

a 的值为 b





A. 、?

2 3

B. 、

2 2 或? 3 3

C. 、 ?

3 2

D. 、

3 2

【答案】B 17. (天津市 2013 届高三第三次六校联考数学(理)试题)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对 的边分别为 a, b, c ,

其中 A ? 120 , b ? 1,且 ?ABC 面积为 3 ,
?



a?b ?( sin A ? sin B

) B.

( C. 2 21



A. 21
【答案】D

2 39 3

D. 2 7

18. (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)在钝角△ABC 中,已知 AB= 3 ,

AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积是 A.

( C.



3 2

B.

3 4

3 2

D.

3 4

【答案】B 19. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)函数 y ? ln cos x ? ?

?? ? ? ? x ? ? 的图象是 2? ? 2

【答案】A

【解析】函数为偶函数,图象关于 y 轴对称,所以排除 B, C,选 y?l n x c? o ,排除 s 0 A.
20. (2013 天津高考数学(理) )在△ABC 中, ?ABC ?

D . 又

0 ? cos x ? 1 , 所 以





?

A.

10 10

B.

10 5
2 2

4 3 10 C. 10
2

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =





D.

5 5

【 答 案 】 C 由 余 弦 定 理 得 AC ? BA ? BC ? 2 BA ? BC cos ?BAC ? 5 ? AC ?

5 ,由正弦定理

得:

BC AC 3 10 ? ? sin ?BAC ? . sin ?BAC sin ?ABC 10
o o

二、填空题 21. (天津市红桥区 2013 届高三第二次模拟考试数学理试题(word 版) )一海轮在 B 处望见 A 处的小岛,测得

小岛在海轮北偏东 75 ,海轮由 B 处向正东方向行驶 8 n mile 到达 C 处,测得此时小岛在海轮北偏东 60 . 这艘海轮不改变方向继续前行,则海轮与小岛的最近距离为___________.
【答案】 4n

mile
,给出下列四个 ; 对称.

22. (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)已知函数

说法: ①若 ③ 在区间 ,则 ; ② ④ 的最小正周期是 的图象关于直线

上是增函数;

其中正确说法的序号是______.
【答案】③④

1 1 1 f ( x) ? sin x cos x ? sin 2 x sin 2 x = ? sin 2 x2 1 f ( x1 )= ? f ( x2 ) , 即 2 2 2 【解析】函数 ,若 ,所以 sin 2 x1 = ? sin 2 x2 sin 2 x1 = sin( ?2 x2 ) 2 x1 = ? 2 x2 ? 2k? 2 x1 =? ? 2 x2 ? 2k? , k ? Z
,即 ,所以 或 ,所

4 4 时, 2 2 ,函数递增, 3? 1 3? 1 3? 1 x? f ( ) ? sin (2 ? )= sin =? 4 时, 4 2 4 2 2 2 为最小值,所以④正确。 所以③正确;当 3 ? ? 23. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)已知 sin x cos x ? ,且 x ? ( , ) ,则 8 4 2
,所以②错误; 当

以①错误;? ? 2, 所以周期

T?

2?

? 3?

??

?

?

?x?

?

?

?

? 2x ?

?

cos x ? sin x ? _________.
【答案】 ?

1 2

【解析】因为 x ? (

? ?

, ) ,所以 sin x ? cos x ,即 cos x ? sin x ? 0 ,所以 4 2

(cos x ? sin x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ?

1 1 ,所以 cos x ? sin x ? ? 。 2 4
f (x)=Asin (?x +?)(A, ?, ? 为常数,A>0,

24. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)函数

? >0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是
【答案】



6 2

【解析】由图象可知 A ?

2,


T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 ,所以函数 4 12 3 4 ?


f (x)= 2 sin (2 x+? )

f(

7? ) 1 2

7? = s ? i2 n? ( 2 1 2 3

7? ? + s ? )i

6

= n , 2得
, 所 以

(

7? 7? 3? s (i n ? + ? ) , =所 以 1 +? = ? 2k? ,k ? Z 6 6 2
f (x)= 2 sin (2 x+ 3
3 2 2

, 即 ? = ? ? 2k? ,k ? Z

? , ? 3 6。 ) f (0)= 2 sin ? 2 ? ?
f ( x) ? sin(2 x ? ) (x∈R)的图象为 C,以下结 3

25. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学) 函数

?

论中:

①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 (

11? 对称; 12

2? , 0) 对称; 3 , ) 内是增函数; 12 12

③函数 f(x)在区间 (?

? 5?

④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 则正确的是 【答案】①②③ 【解析】当 x ?

? 个单位长度可以得到图象 C. 3

.(写出所有正确结论的编号)

11? 11? ? 11? ? 3? 11? 时, ( f ) ? sin(2 ? ? )= sin( ? )= sin( )= ? 1 ,所以为最小值, 12 12 3 6 3 2 12
11? 2? 2? 2? ? 对称,所以①正确。当 x ? 时, ( f ) ? sin(2 ? ? )= sin ? =0 , 12 3 3 3 3

所以图象 C 关于直线 x ? 所以图象 C 关于点 (

2? ? ? ? 5? 时, , 0) 对称;所以②正确。 ? ? 2k? ? x ? ? 2k? ,当 ? ? x ? 3 2 2 12 12

?

?
6

? 2x ?

5? ? ? ? 5? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? 2 x ? ? ? ,即 ? ? 2 x? ? ,此时函数单调递增,所以 6 6 3 3 6 3 2 3 2

③正确。 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 ④错误,所以正确的是①②③。

? 2? ? 个单位长度,得到 y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ) ,所以 3 3 3

26. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)在△ABC 中,若 sinA=2sinBcosC 则△ABC 的形

状为________。
【答案】等腰三角形













s B i n ? Cc o s B ? B ? C ,即三角形为等腰三角形。
三、解答题

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C , 即 所以 in B co C s ?s c on s C s? icn o B ? s C(? , 所 ) 以0 cC o s ,B s i s nC 2 iB si n
角 形 中

27. (天津市五区县 2013 届高三质量检查(一)数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos x, a , a 为
2

常数, a ? R ,且 f ( ) ? 0 .

?

4

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期.

? ? 11? ? , 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值, ? 24 24 ? ? ? ? 2 ? 【答案】解:(Ⅰ)由已知得 f ( )=sin +a cos ?0 4 2 4 1 即 1+ a =0 , 2 所以 a= - 2 2 所以 f ( x) ? sin 2 x - 2cos x = sin 2 x - cos 2 x - 1
(Ⅱ)当 x ? ?

? = 2 sin(2 x - ) - 1 4 所以函数 f ( x) 的最小正周期为 π ? ? ? 2? ? ? ? 11? ? (Ⅱ)由 x ? ? , ,得 2 x - ? ?- , ? ? 4 ? 6 3? ? 24 24 ? ? ? 1 ? 则 sin (2x - ) ? ?- , 1 4 ? 2 ? ?
所以 -

2 ? - 1 ≤ 2 sin( x - ) - 1 ≤ 2 - 1 2 4

所以函数 y ? f ( x) 的最大值为 2 - 1 ;最小值为 -

2 -1 2

28. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)

设函数 f ( x) ? cos( x ? (Ⅰ) 求 f ( x) 的值域;

2 x ? ) ? 2cos 2 , x ? R . 3 2

(Ⅱ) 记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 f ( B) ? 1 , b ? 1, c ? 3 , 求 a 的值.

2 2 f ( x) ? cos x cos ? ? sin x sin ? ? cos x ? 1 3 3 1 3 ? ? cos x ? sin x ? cos x ? 1 2 2 1 3 ? cos x ? sin x ? 1 2 2 5? ? sin(x ? ) ?1 6 因此 f ( x) 的值域为 [0,2] 5? 5? (II)由 f ( B) ? 1 得 sin(B ? ) ? 1 ? 1 ,即 sin(B ? ) ? 0 , 6 6
【答案】解:(I)

又因 0 ? B ? ? ,故 B ?

?

6 2 2 2 2 解法一:由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B, 得a ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 2.
解法二:由正弦定理 当C ?

.

?

3 2 2 ? ? 当 C ? ? 时, A ? , 又B ? ,从而 a ? b ? 1 . 3 6 6
故 a 的值为 1 或 2.
29 . ( 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 数 学 试 题 ) ( 本 小 题 满 分 13 分 , 已 知 函 数

时, A ?

?

3 ? 2? b c ,C ? 或 得 sin C ? ? 2 3 3 sin B sin C
,从而 a ?

b2 ? c2 ? 2 ;

f ( x) = 3 s i n ( 2 x 6

?

)+2 s2i n (x - ?)x ( 12

?

R)

(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求使函数 f (x) 取得最大值的 x 集合;

(3)若 ? ? (0,

?

5 ) ,且 f (? )= ,求 cos 4? 的值。 2 3

【答案】 30. (天津市南开中学 2013 届高三第三次 (5 月) 模拟考试数学 (理) 试题) 设函数 f(x)=cos(2x-

4? 2 )+2cos x. 3

(Ⅰ)求 f(x)的最大值,并写出使 f(x)取最大值时 x 的取值集合;

3 ,b+c=2.求 a 的最小值. 2 4? 4? 4? 2 【答案】解:(Ⅰ)f(x)=cos(2x)+2cos x=(cos2xcos +sin2xsin )+(1+cos2x) 3 3 3 1 3 ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 = cos 2 x ? 2 2 3
(Ⅱ)已知 Δ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f(B+C)= f(x)的最大值为 2 要使 f(x)取最大值,cos(2x+ 故 x 的集合为{x|x=kπ -

? ,k∈Z} 6 ? 3 ? 1 (Ⅱ)由题意,f(B+C)=cos[2(B+C)+ ]+1= ,即 cos(2π -2A+ )= 2 3 3 2 ? 1 化简得 cos(2A- )= 3 2
∵ A∈(0,π ), ∴ 2A-

? ? )=1,2x+ =2kπ (k∈Z) 3 3

? ? 5? ? ? ? ∈(- , ),只有 2A- = ,A= 3 3 3 3 3 3 ? 2 2 2 2 在 Δ ABC 中,由余弦定理,a =b +c -2bccos =(b+c) -3bc 3 b?c 2 2 由 b+c=2 知 bc≤( ) =1,即 a ≥1,当 b=c=1 时 a 取最小值 1 2
31 .( 2013 年 天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 高 三 毕 业 班 联 考 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x , x ? R .求: (I) 求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;
(II) 求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域. 6 3 1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) 【答案】 【解】(I): f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? 2 2
? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6 2? ∴最小正周期 T ? ?? , 2
∵?

? ?

?

?

2

? 2k? ? 2 x ?

?

6

? 2k? ?

?

2

, k ? Z 时 f ( x) 为单调递增函数

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

, k? ? ], k ? Z 3 6 ? ? 5? ? ? ? (II)解: ∵ f ( x) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ,由题意得: ? ? x ? ∴ 2 x ? ? [? , ], 6 6 6 6 6 3 ? 1 ∴ sin(2 x ? ) ? [? ,1] ,∴ f ( x) ?[1, 4] 6 2 ∴ f ( x) 值域为 [1, 4]
32 .( 天 津 市 十 二 校 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

?

?

3 1 sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 1 . 2 2 (1)求函数 f ( x) 的最小值及取最小值时相应的 x 值; f ( x) ?
(2) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 c ?

? n ? ( 3, s i n B 共线 ) ,求 a, b 的值.

?? 7, f (C ) ? 0 , 若 m ? (1,sin A) 与 向 量

【答案】

33. (2010 年高考(天津理) )已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1( x ? R)
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0, (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

【答案】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质、同角

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值? 5 ?4 2?

三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力? (1)解:由 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos x ? 1 ,得
2

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ?? ? ? ?? ?? ? ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? ? 6? ?6 2?
?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值为-1 ?2? ? 2? ?? ? (Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ? ? 6? ? ?? 3 6 ? 又因为 f ( x0 ) ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 6? 5 5 ? ? ? 2? 7? ? ?? ? ? 由 x0 ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , 6 ? 3 6 ? ?4 2? ?
从而 cos ? 2 x0 ? 所以

?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?

? ?

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
34. (天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学)已知函数 f(x)=-1+2 3sinxcosx+2cos x.
2

(1)求 f(x)的单调递减区间; (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标; (3)若角 α,β 的终边不共线,且 f(α)=f(β),求 tan(α+β)的值.
【答案】[解析]

π f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ), 6

π π 3π (1)由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z) 2 6 2 π 2π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 6 3 π 2π ∴f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π π (2)由 sin(2x+ )=0 得 2x+ =kπ(k∈Z), 6 6 kπ π 即 x= - (k∈Z), 2 12

π ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是(- ,0). 12

35. (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) )在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,A
?

为锐角,已知向量 p =(1, 3 cos
2 2 2

? ? A ? A ), q =(2sin ,1-cos2A),且 p ∥ q . 2 2

(1)若 a -c =b -mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3 ,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大是边 b,c 的大小.
【答案】 【解析】解:(Ⅰ) 由

p ∥ q 得 1 ? cos 2 A ? 3 sin A ,所以 2sin 2 A ? 3 sin A

1 3, cos A ? 2 2 2 2 2 b 而 a 2 ? c 2 ? b 2 ? mbc 可以变形为 ? c ? a ? m 2bc 2 m 1 即 cos A ? ? ,所以 m ? 1 2 2 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? 1 , sin A ? 3 又 b ? c ? a ? 1 2 2bc 2 2

又 A 为锐角∴ sin A ?

所以 bc ? b 2
2

? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 即 bc ? a 2

故 S ?ABC ? 1 bc sin A ? 1 a 2
2

3 3 3 ? 2 4 4

当且仅当 b ? c ? 3 时, ?ABC 面积的最大值是 3 3
36. (2012 年天津理)已知函数

f (x)= sin (2 x+

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?
【答案】(1)

? ?
?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4
3 )+sin(2 x ?

3 2? 函数 f (x) 的最小正周期为 T ? ?? 2 ? ? ? ? 3? 2 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? ?1 ? f ( x) ? 2 (2) ? ? x ? ? ? ? 2 x ? ? 4 4 4 4 4 2 4
当 2x ?

f (x)= sin (2 x+

?

)+2cos 2 x ? 1 ? 2sin 2 x cos

?

? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 3 4

?

?

4

?

?

2

(x ?

?

8

) 时, f ( x)max ? 2 ,当 2 x ?

?

4

??

?

( x ? ? ) 时, f ( x)min ? ?1 4 4

?

37. (2009 高考(天津理))在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA

(I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?

【答案】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角

差的正弦等基础知识,考查基本运算能力?满分 12 分?

(Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sin C BC ? 2BC ? 2 5 sin A

AB BC ? sin C sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ? 从而 sin2A=2sinAcosA=
5 5

AB 2 ? AC 2 ? BD 2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= 5 5 2 ? ? ? 所以 sin(2A- )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10 38. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)已知函数

f(x)=2cosxsin(x+π /3)- 3 sin x+snxcosx (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象沿水平方向平移 m 个单位后的图象关于直线 x=π /2 对称,求 m 的最小正值.
【 答 案 】

2

f ( x) ? 2 c

1 3 x( s ox ? ic s c) ? n 3 os 2 2

2

x ? s si x c

xi n o

n

? sin x cos x ? 3 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? sin cos x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?


?
3

)
?

3 ? 2k? ? ? , k ? Z 2 3 2 ? 7 得k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z 12 12 ? 2k? ? 2 x ?

?

故函数f ( x)的单调递减区间为[k? ?

?

12

, k? ?

7? ], k ? Z . 12

y ? 2 sin(2 x ?
(2)
? y ? 2 sin(2 x ? ?2?

?
3

?( m , 0 ) ) ?a ? ? ?? y ? 2 sin(2 x ?

?
3

? 2m)

?
3

? 2m)的图象关于直线x ?

?
2

对称.

(k ? Z ) 3 2 1 ? ? m ? ? (k ? 1)? ? (k ? Z ) 2 12 5 当k ? 0时, m的最小正值为 ? . 12 2

?

?

?

? 2m ? k? ?

?

39. (2011 年高考(天津理) )已知函数 f ( x) ? tan(2 x ?

?
4

)

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域与最小正周期; (Ⅱ)设 ? ? (0, ) ,若 f ( ) ? 2cos 2? ,求 ? 的大小. 4 2 【答案】 【命题立意】本小题考查两角和的正弦、余弦、正切公式,同角三角函数的基本关系,二倍角的 正弦、余弦公式,正切函数的性质等基础知识,考查基本运算能力. ? ? ? k? 【解析】(I)由 2 x ? ? ? k? , k ? Z ,得 x ? ? , k ?Z , 4 2 8 2

?

?

k? ? , k ? Z } , f ( x) 的最小正周期为 8 2 2 ? sin(? ? ) ? ? 4 ? 2(cos 2 ? ? sin 2 ? ) , (II)由 f ( ) ? 2cos 2? ,得 f (? + ) ? 2cos 2? , ? 4 2 cos(? ? ) 4 sin ? ? cos? 整理得 ? 2(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) sin ? ? cos ? ? 1 1 ? 因 为 ? ? ( 0 , ), 所 以 s i n s ? s? i n2 ? ) , 即 sin 2? ? , 由 ? ? (0, ) , 得 ? ? co ?s? ,0因 此 ( c o ? 4 2 4 2
所以 f ( x) 的定义域为 {x | x ?

?

?

2? ? (0, ) ,所以 2? ? ,即 ? ? . 6 2 12
40. (天津市宝坻区 2013 届高三综合模拟数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? (sin ? x ? 3 cos ? x) ? 1 (其中
2

?

?

?

? >0),且函数 f ( x) 的最小正周期 为? . (Ⅰ)求 ? 的值;
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?
【答案】解:(Ⅰ)因为

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 3

f ( x) ? (sin ? x ? 3 cos ? x) 2 ? 1

= (sin 2 ? x ? 3cos 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x) ? 1

? 2cos2 ? x ? 3 sin 2? x = cos2? x ? 3 sin 2? x ? 1 π = 2sin(2? x ? ) ? 1 6
因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π ,所以 所以 ? ? 1

2? ?

2π 2π ? ? 2 T π

π f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数 π π π 2π π π 5π x ? [? , ] 2 x ? [? , ] (2 x ? ) ? [? , ] 4 3 时, 2 3 , 6 3 6 当 π π x?? f (? ) ? ? 3 ? 1 4 时,函数取得最小值 4 所以当 π π x? f( )?3 6 时,函数取得最大值 6 当
41 . ( 天 津 市 红 桥 区 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ( Word 版 含 答 案 ) )

已知函数

f ( x )? 1 ( ? si2 n? x ? ) t an(?? 4
(I)求 f ( x ?

?

x? ),( ? 0 其图象上相邻的两个最高点之间的距离为 ) ?.

, ] 上的最小值,并求出此时 x 的值; 12 6 4 5? ? ? 1 (Ⅱ) 若 ? ? ( , ), f ( ? ? ) ? ,求 sin 2? 的值. 12 2 3 3
【答案】

?

) 在区间 [ ?

? ?

?? ? 42. (2013 天津高考数学(理) )已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2? 【答案】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单 调性等基础知识.考查基本运算能力. (Ⅰ)解: f ( x) ? ? 2 sin 2 x cos

?
4

? 2 cos 2 x sin

?

2? 所以 f(x)的最小正周期 T ? ?? ; 2 3? 3? ? (Ⅱ)解:因为 f ( x) 在区间 [0, ] 上是增函数,在区间 [ , ] 上是减函数. 8 8 2 3? ? 又 f (0) ? ?2 , f ( ) ? 2 2 , f ( ) ? 2 , 8 2
故函数 f ( x) 在区间 [0,
2

? 3sin 2 x ? cos 2 x = 2sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4 4

?

?

2

] 上的最大值为 2 2 ,最小值为 ?2 .
2

43. (天津市红桥区 2013 届高三第二次模拟考试数学理试题(word 版) )已知函数 f(x)= sin x+ 2sinxcosx+

3cos x. (I)求函数 f (x)的最小正周期及单调递增区间; (II)求函数 f (x)在 ? ?
【答案】

? ? ?? 上的最值,并求出取得最值时自变量 x 的取值. , ? 4 4? ?

f ( x) min ? 1 时, x ? ?
2 2

?
4

??? ? ???? ??? ? ???? 44 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题) 在△ABC 中, AB ? AC ? AB ? AC ? 2 ;(1)

求:AB +AC 的值;(2)当△ABC 的面积最大时,求 A 的大小.
【答案】解:(1) AB ? AC ?| AB ? AC |? 2

??? ? ????

??? ? ????

??? ? ???? ??? ? AB ? AC ?| BC |? a ? 2

?b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ? ?bc cos A ? 2 ? | AB |2 ? | AC |2 ? b2 ? c 2 ? 8 1 (2) S?ABC ? bc sin A 2 1 2 = bc 1 ? cos A 2 1 2 2 = bc 1 ? ( ) 2 bc 1 = (bc)2 ? 4 2

1 b2 ? c 2 2 ? ( ) ?4 2 2 = 3
当且仅当 b=c=2 时 A=

? 3

45 . ( 天 津 市 南 开 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 ( 5 月 ) 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如图 , 直角 三角 形 ABC

中,∠B=90°,AB=1,BC= 3 .点 M,N 分别在边 AB 和 AC 上(M 点和 B 点不重合),将△AMN 沿 MN 翻折,△AMN 变为△A′MN,使顶点 A′落在边 BC 上(A′点和 B 点不重合).设∠AMN=θ . (Ⅰ)用 θ 表示线段 AM 的长度,并写出 θ 的取值范围; (Ⅱ)求线段 A′N 长度的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)由对称性可知,∠NMA′=θ ,则∠A′BM=π -2θ

设 AM=t(0<t<1),则在直角三角形 A′MB 中,BM=1-t,MA′= t ( 所以 cos(π -2θ )=

1? t 1 ? ? ,解得 t= , ?? ? t 1 ? cos 2? 4 2 2? (Ⅱ)在 Δ AMN 中,∠ANM= ? ? ,利用正弦定理可得: 3 AN AM 1 1 ? ,AN ? ? 2? 2? 1 ? sin ? sin( ? ? ) 2 sin ? ? sin( ? ?) ? sin(2? ? ) 3 3 2 6 ? 2 当 θ = 时,AN′的最小值为 3 3 ? 经验证,θ = 符合要求 3
46 . ( 天 津 耀 华 中 学 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 月 考 理 科 数 学 试 卷 ) ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数

1 ? t ? 1) 2

f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R)

(1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2) 在△ABC 中, 三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 f ( A) ? 求 a 的值.
【答案】解: (1) f ( x) ? sin( 2 x ?

1 , b,a,c 成等差数列, 且 AB ? AC ? 9 , 2

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 2 2

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 6

令 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) , k? ?

f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?
(2)由 f ( A) ? ∵

?
3

?
6

](k ? Z )

1 ? 1 ,得 sin( 2 A ? ) ? 2 6 2

?
6

? 2A ?

?
6

? 2? ?

?
6

,∴ 2 A ?

?
6

?

5? ? ,∴ A ? 6 3

由 b,a,c 成等差数列得 2a=b+c ∵ AB ? AC ? 9 ,∴ bc cos A ? 9 ,∴ bc ? 18

由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc
2 2 2 2

∴ a 2 ? 4a 2 ? 3 ? 18 ,∴ a ? 3 2
47 .( 天 津 耀 华 中 学 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 月 考 理 科 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R)

(1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f ( A) ? 求 a 的值.
【答案】解:(1) f ( x) ? sin( 2 x ?

1 ,b,a,c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 , 2

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 2 2

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 6

令 2k? ?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?

f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?
(2)由 f ( A) ? ∵

?

2

(k ? Z ) , k? ?

?
6

?
6

? 2A ?

?

1 ? 1 ,得 sin( 2 A ? ) ? 2 6 2

3

](k ? Z )

6

? 2? ?

?

6

,∴ 2 A ?

?

6

?

5? ? ,∴ A ? 6 3

由 b,a,c 成等差数列得 2a=b+c ∵ AB ? AC ? 9 ,∴ bc cos A ? 9 ,∴ bc ? 18 由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc
2 2 2 2

∴ a 2 ? 4a 2 ? 3 ? 18 ,∴ a ? 3 2
48 .( 2012-2013-2 天 津 一 中 高 三 年 级 数 学 第 四 次 月 考 检 测 试 卷 ( 理 )) 已 知 函 数

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1. sin x (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; ? ? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值. 4 2 f ( x) ?
【答案】解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z),

故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.…………………2 分 因为 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
π ? 2sin(2 x ? ) ,………………………………6 分 6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2π ? π .…………………7 分 2

(II)由 x 挝 [ , ], 2 x 当 2x ? 当 2x ?

? ? 4 2

? ? [ , ?], 2 x 2 6

? 5? [ , ], …………..9 分 3 6

? 5? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,…………….11 分 6 6 2
? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .……………….13 分 6 2 3
2013 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 函 数

49 .( 天 津 市 天 津 一 中

f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x ? sin( x ? ) , x ? R 2
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期;
【答案】(1)

?

(2)若 x ? ??

f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ? ?? , ? ,求函数 f ( x) 的值域 ? 12 2 ?

1 ) ? ,T ? ? 6 2

(2) ?

?1 ? 3 3 ? , ? 2? ? 2

50 . ( 天 津 市 十 二 区 县 重 点 中 学 2013 届 高 三 毕 业 班 联 考 ( 一 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos 2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? -

? ? ?? , 上的值域; ? 6 3? ?

2? . 3

(Ⅲ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 区间.
【答案】解:

? 个单位长度得到,求 y ? g ( x) 的单调增 2

(Ⅰ) f ? x ? = ? sin ? x + cos ? x ? +2 cos ? x
2 2

=sin 2 ? x+cos2 ? x+sin 2? x+1+cos 2? x

? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 2? 2? 3 依题意得 ,故 ? 的值为 . ? 2? 3 2 ? ? ? ? 5? (Ⅱ)因为 - ? x ? , 所以 - ? 3x + ? , 6 3 4 4 4 ?? ? -1 ? 2 sin ? 3x + ? ? 2 4? ? ? 1 ? f ? x ? ? 2+ 2 ,即 f ? x ? 的值域为 ? 9分 ?1,2+ 2 ? ? ?? 5? ? )?2 (Ⅲ)依题意得: g ( x) ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3 x ? 2 4? 4 ? ? 5? ? 由 2k? ? ≤ 3x ? ≤ 2k? ? (k ? Z ) 2 4 2 2 ? 2 7? 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? (k ? Z ) 3 4 3 12 2 ? 2 7? 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? ] (k ? Z ) 3 4 3 12

?

51. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)已知 A(cosα ,sinα ),B(cosβ ,sinβ ),且
5 |AB|=2,

(1)求 cos(α -β )的值; (2)设 α ∈(0,π /2),β ∈(-π /2,0),且 cos(5π /2-β )=-5/13,求 sinα 的值.
【答案】解:(1)由题知 (cos ? ? cos?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 2 5 ? 2 ? 2 cos(? ? ?) ? 4 ,所以 cos(? ? ?) ? 3 5 5 5

(2)? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ,又 cos(? ? ?) ? 3 ? sin(? ? ?) ? 4 . 2 2 5 5 而 cos(5? ? ? ) ? ? 5 则 sin ? ? ? 5 ? cos? ? 12 ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 33 13 2 13 65 13
52. (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)

如图, 在平面直角坐标系 中,以 轴为始边作两个锐角 ,它们 的终边分别与单位圆交于 两点.已知 的横坐标分别为 . (1)求 (2)求 的值; 的值.

【答案】

解: (Ⅰ)由已知得: ∵ ∴ ∴ . 为锐角 .



∴ (Ⅱ)∵

.--------------------6 分

∴ 为锐角, ∴ ∴ . , -----------13 分



53. (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷) 已知向量 a ? (sin x,?1), b ? ? 3 cos x,?

f ( x) ? a ? b · a ? 2

? ?

? ?

1? ? ,函数 2?

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期 T 及单调减区间 (2)已知 a, b, c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角, a ? 2 3 , c ? 4 且 f ( A) ? 1 ,求 A,b 和 △ABC 的面积 S 【答案】解: (1) f ( x) ? a ? b ? a ? 2 ? 所以,最小正周期为 T ?

? ?

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

2? ?? 2

3 1 ?? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin? 2 x ? ? 2 2 6? ?

? 2k? ?

?

所以,单调减区间为 [2k? ? (2) f ( A) ? sin? 2 A ?

?
6

2 ,2k? ?

?
3

], (k ? Z )
? ?, ?

6 2 3 2 2 2 2 由 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 b ? 4b ? 4 ? 0 ,解得 b ? 2 1 故 S ? bc sin A ? 2 3 2 π π 1 54. (2013 届天津市高考压轴卷理科数学)已知函数 f ( x) ? cos( ? x) cos( ? x) ? sin x cos x ? 3 3 4
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)求函数 f ? x ? 单调递增区间

?2A ?

?

?

?

? ?

??
,

,A?

?

? ? ? 5? ? ?? ? ? 1,? A ? ? 0, ?,2 A ? ? ? ? , 6? 6 ? 6 6 ? 2?

π π 1 1 ? x) cos( ? x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4 1 3 1 3 1 1 ? ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 4 1 3 1 1 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2x 1 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? ? ? ? sin 2 x ? 4 4 2 4 8 8 2 4 2 ?? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 4? ? 函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ? ,
【答案】(Ⅰ)? f ( x) ? cos(

函数 f ( x ) 的最大值为

2 2

(II)由 2k? ? ? ? 2 x ? 得 k? ? ? ? x ? k? ?

?
?
4
8

? 2 k? , k ? z
,k ? z

5 8

函数 f ( x ) 的 单调递增区间为 [k? ?

5? ? , k? ? ], k ? z 8 8


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