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解析几何中范围和最值问题的解法研究


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 解析几何中范围和最值问题的解法研究 作者:阮世雄 来源:《中学教学参考· 理科版》2013 年第 05 期 平面解析几何历来是高考的重头戏,尤其是解答题,每年必考且常考常新,具有涉及面 广、综合性强、运算量大、能力要求高等特点,常以圆锥曲线为背景,重点考查等价转化、数 形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想.近几年的高考中,解析几何简答题中的范围和最 值问题出现的频率相当高,下面根据个人的教学实践,结合高考题,探讨一下此类问题的解法. 解析几何中的几何元素(点、直线、曲线)经常处于运动变化中,并且它们在运动变化中 又互相联系、互相制约.这在数学上表现为相应变量之间的联系与制约,即相应变量之间的等 量关系与不等量关系. 若将变量间的等量关系看成函数关系,则可以将等量关系式转换成函数关系式,然后可以 用求函数的值域(或最值)的方法求得变量的取值范围(或最值). 若将变量间的等量关系看成关于某个变量的方程,则利用方程的性质可以求另一个变量的 取值范围(或最值). 若问题中已知(或隐含)某变量的范围,则利用变量间的等量关系实现变量之间的相互转 化,从而构造关于未知变量的不等式,即可求变量的取值范围或最值. 这就是说,可以用函数的观点、方程的观点、不等式的观点来解决变量的范围与最值问题. 下面举例说明. 一、用函数的观点解决范围与最值问题 【例 1】设 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在抛物线 y=2x2 上,l 是线段 AB 的垂直平分 线. (1)当且仅当 x1+x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论.

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