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函数定义域求法总结答案关于

函数定义域求法总结 一、定义域是函数 y=f(x)中的自变量 x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于 0。 (4)指数、对数的底数大于 0,且不等于 1 (5)y=tanx 中 x≠kπ +π /2;y=cotx 中 x≠kπ 等等。 ( 6 ) x0 中 x ? 0 (7)当函数 f(x)是整式时则 f(x)的定义域为 R 二、抽象函数的定义域 1.已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含 于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若 f ( x) 的定义域为 x ? ?a, b ? ,求 出 f [ g ( x)] 中 a ? g ( x) ? b 的解 x 的范围,即为 f [ g ( x)] 的定义域。 2.已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f ( x) 的定义域 方法是:若 f [ g ?x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g ( x) 的范围即 为 f ( x) 的定义域。 3.已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域,求 f [h( x)] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由

f [ g ?x ?] 定义域求得 f ?x ? 的定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得 f [h?x?] 的定义域。
4.已知 f ( x) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的, 其定义域为各基本函数 定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 1 求下列函数的定义域 (1) y ?
( x 2 ? 1)0 log 2 x ?1 (32 ? 4 x )

( 用 ④



③ ⑥ )

(2) y ? 25 ? x2 ? lg cos x (用② ⑥,③) (3)y=lg(ax-kbx) (a,b>0 且 a,b≠1,k∈R)

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[解析]

? x ? ?1 ? x2 ?1 ? 0 ? ? ?x ? ? 1 ?2 x ? 1 ? 0 2 ? (1)依题有 ? 2 x ? 1 ? 0 ? ? ?x ? 0 ? ?32 ? 4 x ? 0 ? 5 ? ?x ? x 2 ?32 ? 4 ? 1 ? ? ? x ? log 4 31 ?

∴函数的定义域为 {x | ? 1 ? x ? 5 且x ? 0,1, log 4 31}
2 2

??5 ? x ? 5 ?25 ? x 2 ? 0 ? (2)依题意有 ? ?? ? ? cos x ? 0 (k ? z ) ? ?2k? ? ? x ? 2k? ? 2 2 ?

∴函数的定义域为 [?5, ?
x

3? ? ? 3? ) ? (? , ) ? ( ,5] 2 2 2 2
x
x

a? (3)要使函数有意义,则 a -kb >0,即 ? ? ? ?k ?b?

①当 k≤0 时,定义域为 R ②当 k>0 时, (Ⅰ)若 a>b>0,则 x ? log a k
b

定义域为{x| x ? log a k }
b

(Ⅱ)若 0<a<b,则 x ? log a k ,
b

定义域为{x| x ? log a k }
b

(Ⅲ)若 a=b>0,则当 0<k<1 时定义域为 R;当 k≥1 时,定义 域为空集 2 设 y=f(x)的定义域为[0,2],求 (1)f(x2+x); (2)f(|2x-1|); (3)f(x+a)-f(x-a) (a>0)的定义 域 分析:根据若 f(x)的定义域为[a,b],则 f[g(x)]的定义域为 a≤g(x)≤b 的解集,来解相 应的不等式(或不等式组)
? x2 ? x ? 0 ? 解: (1)由 0≤x2+x≤2 得 ? 2 ? ?x ? x ? 2

? x ? 0或x ? ?1 ∴? ??2 ? x ? 1

∴定义域为[-2,-1]∪

[0,1] (2)由│2x-1│≤2,得 -2≤2x-1≤2
? 1 3? 所以定义域为 ? ? , ? ? 2 2?

?0 ? x ? a ? 2 (3)由 ? ?0 ? x ? a ? 2
又因 a>0,

??a ? x ? 2 ? a 得? ?a ? x ? 2 ? a

若 2-a≥a,即 0<a≤1 时,定义域为{x|a≤x≤2-a} 若 2-a<a,即 a>1 时,x∈ ? ,此时函数不存在

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3 已 知 f (3 ? 2 x) 的 定 义 域 为 x ???1,2? , 则 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 _________。 答案: ??1,5? 一、 函数关系式与定义域 4:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为 100m,求矩形 的面积 S 与矩形长 x 的函数关系式? 解:设矩形的长为 x 米,则宽为(50-x)米,由题意得:
S ? x(50 ? x)

故函数关系式为: S ? x(50 ? x) .这是错解 应是: 即:函数关系式为: S ? x(50 ? x) ( 0 ? x ? 50 )

二、 函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如 果不注意定义域,将会导致最值的错误。如: 5:求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在[-2,5]上的最值. 解:∵ y ? x 2 ? 2x ? 3 ? ( x 2 ? 2x ? 1) ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ∴ 当 x ? 1 时, ymin ? ?4 其实以上结论只是对二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在 R 上适用,而在指定 的定义域区间 [ p, q ] 上,它的最值应分如下情况: ⑴ 当 ?
b ?p 2a

时 ,

y ? f ( x) 在 [ p, q ] 上 单 调 递 增 函 数

f ( x) min ? f ( p), f ( x) max ? f (q) ;
⑵ 当 ?
b ?q 时 , 2a

y ? f ( x) 在 [ p, q ] 上 单 调 递 减 函 数

f ( x) max ? f ( p), f ( x) min ? f (q) ;
⑶ 当p??
b ? q 时, y ? f ( x) 在 [ p, q ] 上最值情况是: 2a

f ( x) min ? f (?

b 4ac ? b 2 )? , 2a 4a

f ( x) max ? max{f ( p), f (q)}.即最大值是 f ( p), f (q) 中最大的一个值。
故本题还要继续做下去:
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∵ ?2 ?1? 5

f (5) ? 52 ? 2 ? 5 ? 3 ? 12
∴ f (?2) ? (?2) 2 ? 2 ? (?2) ? 3 ? ?3 ∴ f ( x) max ? max{f (?2), f (5)} ? f (5) ? 12 ∴ 函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在[-2,5]上的最小值是- 4,最大值是 12.

三、 函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定,函数值 也随之而定。因此在求函数值域时,应注意函数定义域。如: 6:求函数 y ? 4x ? 5 ? 2x ? 3 的值域. 错解:令 t ? 2x ? 3, 则2x ? t 2 ? 3
1 7 7 ∴ y ? 2(t 2 ? 3) ? 5 ? t ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ? 4 8 8 7 故所求的函数值域是 [ ,?? ) . 8

剖析:经换元后,应有 t ? 0 ,而函数 y ? 2t 2 ? t ? 1 在[0,+∞)上是增函数, 所以当 t=0 时,ymin=1. 故所求的函数值域是[1, +∞) .

四、 函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时,函数值随着 增减的情况,所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如: 7:指出函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 2 x) 的单调区间. 解:先求定义域: ∵ x 2 ? 2x ? 0 ∴ x ? 0或x ? ?2

∴ 函数定义域为 (??,?2) ? (0,??) . 令 u ? x 2 ? 2 x ,知在 x ? (??,?2) 上时,u 为减函数, 在 x ? (0,??) 上时, u 为增函数。 又∵ f ( x) ? log2 u在[0,??)是增函数.

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∴函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 2 x) 在 (??,?2) 上是减函数, 在 (0,??) 上是增函 数。
2 即 函 数 f ( x) ? l o g 2 ( x ? 2 x) 的 单 调 递 增 区 间 (0,??) , 单 调 递 减 区 间 是

(??,?2) 。

如果在做题时,没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就说明 学生对函数单调性的概念一知半解,没有理解,在做练习或作业时,只是对 题型, 套公式, 而不去领会解题方法的实质, 也说明学生的思维缺乏深刻性。 五、函数奇偶性与定义域 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称,则函数就无奇偶性可谈。否 则要用奇偶性定义加以判断。如: 8:判断函数 y ? x 3 , x ? [?1,3] 的奇偶性.
2 9、设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x ) 的定义域为_

_

_;函数

f ( x ? 2) 的定义域为________;
10、 若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] , 则函数 f (2 x ?1) 的定义域是
1 函数 f ( ? 2) 的定义域为 x





11、

知函数 f ( x ) 的定义域为 [?1, 1] ,且函数 F ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m) 的定义 域存在,求实数 m 的取值范围。

12 、 若 函 数 f ( x) = ( )

x?4 mx ? 4mx ? 3
2

的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是

A、(-∞,+∞)

B、(0,

3 ] 4

3 C、( ,+∞) 4
王新敞
奎屯 新疆

D、[0,

3 ) 4

12、若函数 y ? ax2 ? ax ?

1 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围 a

13.已知函数 f(2x)的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域.

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