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湖南省2013年对口升学考试数学试题


机密 ★ 启用前

湖南省 2013 年普通高等学校对口招生考试

数 学 试 题
时量 120 分钟 总分:120 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合题目要求的) 1. 已知集合 A={3,4,5},B={4,5,6},则 A ? B 等于 ·············· ( A.{3,4,5,6}
2

) ) )

B.{4,5} B.减函数

C.{3,6} C.奇函数 B.必要不充分条件

D. ? D.偶函数

2. 函数 y=x 在其定义域内是 ························ ( A.增函数 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 A.m=3,n=-1
2 2

3. ”x=2”是“(x-1)(x-2)=0”的······················ ( D.既不充分也不必要条件

4.已知点关于 y 轴的对称点为 B(3,m),则 m,n 的值分别为 ·········· ( B.m=3,n=1 C.m=-3,n=-1 D.m=-3,n=1 5. 圆(x+2) +(y-1) =9 的圆心到直线 3x+4y-5=0 的距离为 ············ ( A.

) )

7 5

B.

3 5

C.3

D.1 )

6.已知 sin ? ? A. ?

3 4
2

4 , 且 ? 是第二象限角,则 tan ? 的值为 ············ ( 5 4 4 3 B. ? C. D. 3 3 4
B.(- ? ,-3) ? (1,+ ? ) D.(- ? ,-1) ? (3,+ ? )

7.不等式 x -2x-3>0 的解集为 ······················· ( A.(-3,1) C.(-1,3)



8. 在 100 件产品中有 3 件次品,其余的为正品.若从中任取 5 件进行检测,则下列事件是随机事 件的为 ································ ( A.”5 件产品中至少有 2 件正品” B.”5 件产品中至多有 3 件次品” D1 C.”5 件产品都是正品” D.”5 件产品都是次品” 9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 直线 BD1 与平面 A1ADD1 所成角的正切值为 A.
3 3



C1 B 1

( D. 2

) A1 D

B.

2 2

C.1

C )

10.已知椭圆

1 x2 y 2 ( A ? 2 ? 1(m ? 0) 的离心率为 ,则 m= ············ B 2 4 m
B. 3 C.

A. 3 或 5

4 3 3

D. 3 或

4 3 3

数学试题 第 1 页 (共 4 页)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将答案填在答题卡中对应题号的横线上) 11.为了解某校高三学生的身高,现从 600 名高三学生中抽取 32 名男生和 28 名女生测量身高, 则样本容量为 . . . . (用数字作答)

? ? ? ? 12.已知向量 a ? (1, ?2), b ? (2,1) ,则 2a ? b =
13.函数 f(x)=4+3sinx 的最大值为

( 2x + )的二项展开式中,x 项的系数为 14.
2

1 x

6

15.在三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 是边长为 3 的正三角形,PC⊥平面 ABC,PA=5,则该三棱锥的体 积为 .

三、解答题(本大题共 7 小题,其中第 21,22 小题,为选做题,共 60 分,解答应写出文字说明 或演算步骤) 16. (本小题满分 8 分) 已知函数 f(x)=log(2x-1)(a>0,且 a≠1). (1) 求 f(x)的定义域;

(2)若 f(x)的图象经过点(2,-1),求 a 的值.

17.(本小题满分 10 分) 从编号分别为 1,2,3,4 的四张卡片中任取两张,将它们的编号之和记为 X. (1) 求“X 为奇数”的概率

(2)写出 X 的分布列,并求 P(X≥4)

18. (本小题满分 10 分)

已知向量 a ? (2,1), b ? ( ?1, m) 不共线. (1)若 a ? b ,求 m 的值;

?

?

?

?

(2)若 m<2,试判断 a, b 是锐角还是钝角,并说明理由.

? ?

数学试题 第 2 页 (共 4 页)

19. (本小题满分 10 分) 已知数列{an}为等差数列,a2=5,a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ? 2n?1, cn ? an ? bn , n ? N * ,求数列{cn}的前n项和 Sn.

20(本小题満分 10 分) 已知双曲线 C:

2 x2 y 2 x ,且焦距为 2 3 . ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 2 a b 2

(1)求双曲线 C 的方程;

(2)设点 A 的坐标为(3,0),点 P 是双曲线 C 上的动点,当|PA|取最小值时,求点 P 的坐标.

19. (本小题满分 10 分) 已知数列 {an } 为等差数列, a2 ? 5 , a3 ? 8 . (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn ? 2n?1 , cn ? an ? bn , n ? N * ,求数列 {cn } 的前 n 项和 s n .

20(本小题満分 10 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x ,且焦距为 2 3 . 2 a b 2

(1) 求双曲线 C 的方程;

(2)设点 A 的坐标为(3,0),点 P 是双曲线 C 上的动点,当 | PA | 取最小值时,求点 P 的坐标.

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四、选做题(注意:第 21 题(工科类) 、22 题(财经、商贸与服务类)为选做题,请考生选择其 中一题作答。 ) 21、 (本小题满分 12 分) 在⊿ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为a,b,且a= 6 ,b=2∠A=60°. (1) 求∠B。

(2)设复数 Z=a+(bsinB)i 为虚数单位,求 Z 的值。

4

22、 (本小题満分 12 分) 某工厂计划从运输公司租用甲、乙两种型号的货车,将 100 件 A 产品和 280 件 B 产品运送到 某地,经试装,每辆甲型货车最多能同时装载 A 产品 5 件和 B 产品 10 件,每辆乙型货车最多能 同时装载 A 产品 6 件和 B 产品 20 件。若甲、乙两种型号货车的每次运费分别为 800 元、1200 元, 则应如何安排才能使总运输费用最少?并求所需的总运输费用。

数学试题 第 4 页 (共 4 页)


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