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江西省赣州市十三县(市)2017届高三上学期期中联考数学(文)试题Word版含答案.doc


2016-2017 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考 高三文科数学试卷
命题人:安远一中 审题人:信丰中学 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分 钟 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)

?x ? x ? 2 ? 0, x ? R , B ? x ? ?1 ? x ? 4, x ? Z ,则 A ? B =( 1. 已知集合 A ? x
2

?

?

?

?



A. (0, 2)

B. ?0, 2?

C. ?0, 2?

D. ?0,1, 2? )

? ?) 上单调递增的是( 2.下列函数中,既是偶函数又在 (0,
A. y ? x3 B. y ? cos x
2

C. y ?

1 x2

D. y ? ln x

?1 ? i ? 3.已知
z
A. 1 ? i

,则复数 z =( ? 1 ? i ( i 为虚数单位) B. ?1 ? i C. ?1 ? i D. 1 ? i



4. 已知 ?ABC中, a ? 1, b ? A.30° B.60°

2 , B ? 45? , 则角
C. 150° )

A 等于(

)

D.30° 或 150°

5. 下列有关命题中说法错误的是(

2 2 A.命题“若 x ? 1 ? 0 , 则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 则 x ? 1 ? 0 ”. 2 B.“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题.
2 D.对于命题 p :存在 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ;则﹁ p :对于任意 x ? R ,

均有 x ? x ? 1 ? 0 .
2

6. 函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的图象向右平移 的 ? 值为( A. ) B.

?
8

后关于 y 轴对称,则满足此条件

? 4

3? 8

C.

3? 4

D.

5? 8

7. 平面向量 a 与 b 的夹角为 A. 2 3

?

?

? ? ? ? ? , a ? (2,0), b ? 1 ,则 a ? 2b 等于( 3
B. 2 2 C. 4

) D. 10

8. 已知 f ( x) 是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? log 2 x , 则 f (2015) ? ( A.5 B. )
1 2

C.2

D.-2
2

9. 在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2 ? 1, a5 ? 2 ? 1 ,则 a3 ( ) A.4 B. 6 C.8 D. 8 ? 4 2

? 2a2a6 ? a3a7 ?

10. 设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? ) ?

? 3

1 ,则 sin ? ? 3 cos ? ? ( 2
C. 1 D. ?1



A.

2 5 5

B. ?

2 5 5

11. 已知函数 f ? x ? ? ?
a

x?a ? x ? 2, ,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x 恰有三个不同的零点, 2 ? x ? 5 x ? 2, x ? a
) C. ? , 4 ?

则 z ? 2 的取值范围是( A. ? , 2 ?

?1 ?2

? ?

B. ?1, 4?

?1 ?4

? ?

D. ? , 4 ?

?1 ?2

? ?

12. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 , E 、 F 分别是边 AA1 、 CC1 上的中点,点 M 是 BB1 上的动点,过点 E 、 M 、 F 的平面与棱 DD1 交于点 N ,设 BM ? x ,平行四边 形 EMFN 的面积为 S ,设 y ? S 2 ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像大致是(
y
3 2 3 2



y
3 2

y
3 2

y
A1

D1

N
B1

C1

1

1

1

1

F

E

D

O

1 2

1

x

O

1 2

1

x

O

A

B

1 2

1

x

O

1 2

C
1
x

C

D

A

M

B

第 12 题图

第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13. 函数 f ( x) ? e x (2 x ?1) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为



? x ? y ?1 ? 0 ? 14. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为_ ? x?0 ?

_.

15. 已知 f ( x) ? 2 x 2 ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5) ,若对于任意 x ?[?1,1] , 不等式 f ( x) ? t ? 2 恒成立,则 t 的取值范围为 .

16. 已知三角形 ABC 中,过中线 AD 的中点 E 任作一条直线分别交边 AB, AC 于 M , N 两 点, 设 AM ? x AB, AN ? y AC , ( xy ? 0) ,则 4 x ? y 的最小值为

???? ?

??? ? ????

????



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 10 分) 已知命题 p :方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有两个不相等的实数根;命题 q :关于 x 的函 数 y ? (m ? 2) x ? 1 是 R 上的单调增函数.若“ p 或 q ”是真命题, “ p 且 q ”是假命题, 求实数 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1,cos 2x), b ? (sin 2 x, ? 3) ,函数 f ( x) ? a ? b . (1)若 f ?

?

?

? ?

? ? 2? ? ?2 3

? 6 ? ? ,求 cos 2? 的值; ? 5

(2)若 x ? ?0,

? ?? ,求函数 f ? x ? 的值域. ? 2? ?

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 1 ? an (n ? N * ) . (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn ? log1 a n , C n ?
3

n ?1 ? n bn bn ?1

,记数列 ?C n ? 的前 n 项和 Tn , 求证: T n <1.

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin ?

? 7? ? ? 2 x ? ? 2sin 2 x ? 1( x ? R) . ? 6 ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图 象经过点 ( A,

??? ? ??? ? 1 ) , b、a、c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值. 2

21.(本小题满分 12 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路, 为进一步改善山区的交通现状, 计划修建一 条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l1 , l 2 ,山区边界曲线 为 C ,计划修建的公路为 l ,如图所示, M , N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 的距 离分别为 5 千米和 40 千米, 点 N 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 2 , l1 所在的 直线分别为 x, y 轴, 建立平面直角坐标系 xoy , 假设曲线 C 符合函数 y ? 为常数)模型. ⑴.求 a , b 的值; ⑵.设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点, P 的横坐标为 t . ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

a (其中 a , b x ?b
2

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? a ( x 2 ? x)(a ? 0, a ? R ) , h( x) ? f ( x) ? g ( x) . (1).若 a ? 1 ,求函数 h( x) 的极值; (2).若函数 y ? h( x ) 在 [1, ??) 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (3).在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在不同的两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,使线段 AB 的中 点的横坐标 x0 与直线 AB 的斜率 k 之间满足 k ? f ?( x0 ) ?若存在, 求出 x0 ; 若不存在, 请说明理由.

2016-2017 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考 高三文科试卷答案
一、 选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B 16、 11 D 12 A

二、填空题 16、解析:

13、 y ? x ? 1 ;

14、1;

15、 t ? ?10 ;

9 . 4

三、解答题 17.解:若命题 p 为真,则 ? ? 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 当命题 p 为假时, m ≥ 1 ; 若命题 q 为真,则 m ? 2 ? 0 ,即 m ? ?2 , 当命题 q 为假时, m ≤ ?2 由题知, “ p 真 q 假”或“ p 假 q 真” 所以, ? ??2 分 ??3 分 ??5 分 ??6 分 ??7 分 ??9 分 ??10 分

?m ? 1 ?m ≥ 1 或? ?m ≤ ?2 ?m ? ?2
? ?

所以 m ≤ ?2 或 m ≥ 1 . 18.解(1)∵向量 a ? (1,cos 2x), b ? (sin 2 x, ? 3) , ∴ f ( x) ? a ? b ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ∴ f(

? ?

?
3

),

?????3 分 ?????5 分 ?????7 分 ?????8 分

?
2

?

2? 4? ? 6 ) ? 2sin(? ? ? ) ? ?2sin ? ? , 3 3 3 5 3 9 7 2 ? , cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? ; 5 25 25 ] ,则 2 x ?

则 sin ? ? ? (2)由 x ? [0,

?
2

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

],

∴ sin(2 x ?

?
3

) ? [?

3 ,1] , 2

?????11 分 ?????12 分 …………1 分

则 f ( x) ?[? 3, 2] .则 f ( x ) 的值域为 [? 3, 2] . 19. 解:(1)当 n ? 1 时,由 2S1 ? 1 ? a1 得: a1 ? 由 2S n ? 1 ? a n ∴ 2S n?1 ? 1 ? an?1 ① (n ? 2 ) ②

1 . 3

…………2 分 …………4 分

上面两式相减,得: a n ? ∴数列 {an } 是首项为 ∵ an ?

1 a n ?1 . (n ? 2 ) 3

1 1 1 * ,公比为 的等比数列.∴ an ? n (n ? N ) .……6 分 3 3 3
…………7 分

(2)

1 1 * bn ? log1 a n ? log1 ( ) n ? n . ( n ? N ) ,∴ 3 3n 3 3
n ?1 ? n n(n ? 1) ? 1 n ? 1 n ?1

∴ Cn ?

…………9 分

?T n ? C1 ? C 2 ? ? ? C n 1 1 1 1 1 1 1 1 ………11 分 ? (1 ? )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) ?1? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1

∵ n ? N ,∴ Tn ? 1 ?

?

1 n ?1

<1.

…………12 分

7? 1 3 20.解:f ( x) ? sin( ? 2 x) ? 2 sin2 x ? 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 6 2 2
? 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ??????????????????? 3分. 2 2 6

(1)最小正周期:T ? 由 2 k? ?

2? ?? , 2

………4 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) 得: k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) ……5 分
………6 分

所以 f ( x ) 的单调递增区间为: [k? ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ?

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) ;

?
6

)?

1 ? ? 5? ? 2k? (k ? Z ) ……7 分 可得: 2 A ? ? ? 2k? 或 2 6 6 6

所以 A ?

?
3

,

…………………8 分 ………………9 分 ………………10

又因为 b, a, c 成等差数列,所以 2a ? b ? c , 而 AB ? AC ? bc cos A ? 分

??? ? ????

1 bc ? 9,? bc ? 18 2

? cos A ?


1 (b ? c)2 ? a 2 4a 2 ? a 2 a2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 , ?a ? 3 2 . 2 2bc 36 12

………12

21. (1)由题意知,点 M , N 的坐标分别为 (5,40) , ( 20,2.5) .

...........1 分

? a ? 40 ? ?a ? 1000 a ? 25 ? b 将其分别代入 y ? 2 ,得 ? ,解得 ? ; x ?b ?b ? 0 ? a ? 2.5 ? ? 400 ? b
(2)①由⑴得 y ? ∵ y? ? ?

.............4 分

1000 ? 1000 ? (5 ? x ? 20) ,则点 P 的坐标为 ? t , 2 ? , 2 x ? t ?

...........5 分

2000 1000 2000 ,∴切线 l 的方程为 y ? 2 ? ? 3 ( x ? t ) , 3 x t t

...........6 分

设曲线 C 在点 P 处的切线 l 交 x , y 轴分别于 A , B 点,则 A ? 分

? 3t ? ? 3000 ? , 0 ? , B ? 0, 2 ? ,.....7 t ? ?2 ? ?

3 2 4 ?106 ? 3t ? ? 3000 ? t ? 4 , t ? ?5, 20? ; ∴ f ?t ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 t ?2? ? t ?
2

2

2

................8 分

4 ?106 16 ?106 ? ②设 g ? t ? ? t ? ,则 g (t ) ? 2t ? ,令 g ?(t ) ? 0 解得 t ? 10 2 ,..........9 分 t4 t5

? 当 t ? ?10

当 t ? 5,10 2 时, g ?(t ) ? 0 , g ? t ? 是减函数;

?

2, 20 时, g ?(t ) ? 0 , g ? t ? 是增函数;

?

...........10 分

从而,当 t ? 10 2 时,函数 g ? t ? 有极小值,也是最小值. ∴ g ? t ?min ? 300 ,∴ f ? t ?min ? 15 3 . ...........11 分

答:当 t ? 10 2 时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 3 千米..............12 分

22. 解: ( 1 ) y ? h( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , h?( x ) ? ? 2 x ? 1 ? ? 分

1 x

(2 x ? 1)( x ? 1) , x

…………1

故 x ? (0,1) h ?( x ) ? 0, h( x ) 单调递增; x ? (1, ?? ) h ?( x ) ? 0, h( x ) 单调递减,……2 分

x ? 1 时, h( x ) 取得极大值 h(1) ? 0 ,无极小值.
分 (2) h( x ) ? ln x ? a( x 2 ? x ) , h ?( x ) ?

………………3

1 ? a(2 x ? 1) , x 1 ? a(2 x ? 1) ? 0 对 x ? 1 恒成立 …4 x

若函数 y ? h( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递减,则 h ?( x ) ? 分 ∴a ? 分 ∵ x ? 1 时, 2 x 2 ? x ? 1 ,则 0 ? 分 故 a ? 1 , a 的取值范围为 1, ?? ? . 分
1 1 1 , 只需 a x ? ? 2 x ? 1 x(2 x ? 1) 2 x 2 ? x

?(

1 )max 2x ? x
2

…………5

1 ? 1 ? ? 1 ,? 2 ? ? 1, ? 2 x ? x ?max 2x ? x
2

…………6

?

…………7

x1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 x2 (3)假设存在,不妨设 0 ? x1 ? x2 , k? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 ln


…………8

f ?( x0 ) ?
9分 由

1 2 ? x0 x1 ? x2
x1 x2 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 ln

…………

k ? f ?( x0 )
2( x1 ? 1) x2 x1 ?1 x2











ln

x1 2( x1 ? x2 ) ? ? x2 x1 ? x2

…………10 分

令t ?

x1 (t ? 1)2 2(t ? 1) ?0 (0 ? t ? 1) , u ?(t ) ? , u (t ) ? ln t ? x2 t (t ? 1)2 t ?1
…………11

? u (t ) 在 (0,1) 上单调递增,


? u (t ) ? u (1) ? 0 ,故 k ? f ?( x0 ) , ? 不存在符合题意的两点.


…………12


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