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浅谈高考中数列的复习的几点体会

浅谈高考中数列的复习的几点体会(文科)
沂水县第二中学 薛彦合
数列这章主要内容包括:数列的概念与简单表示法,等差数列,等比数列,数列求和, 数列的综合运用。对于二轮复习和高考,现从以下几方面谈一下我个人的体会: 1.数列这章的内容在高考中的地位 最近几年的山东文科高考试题,数列部分的内容约占 8﹪—10﹪,试题有如下特点: 一般试题类型为一道选择题或填空题和一道解答题。 考查的重点是等差数列、 等比数列的通 项公式与前 n 项和公式的灵活运用, 特别是等差数列、 等比数列的性质, 这一部分题多是中、 低难度题,但解题方法灵活多样,掌握一定的技巧可以又快又准的完成它,有利于区分不同 层次的考生。数列中 an 与 s 的关系也是高考的一个热点,因为这类题目既能考查数列的有 关概念和性质,又能考查学生建模能力和抽象概括能力。与此同时,函数思想、方程思想、 分类讨论等数学思想方法在解决数列问题时的应用也会常常涉及。 预计在今后的高考中, 对 数列知识的考查,总的趋势是“稳中有变” 。由于探索性问题是近几年的考查热点,这类问 题在数列中出现的可能性较大。 2.知识点的挖掘和拓展 2.1 有关数列概念的应用; 高考中数列概念一般应用于证明某数列是等差活等比数列, 或者是有题目的已知条件利用等 差或等比数列的概念求某个数列的通项公式,举两个具体的实例。 (2009 陕西高考) 已知数列 ? a ?满足 a
n

an 1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ?
n ?1

? an?1 * ,n? N . 2

令 证明:

b ?a
n

? an , 证明:数列?bn?是等比数列

b ?a ?a
1 2

1

? 1,
? an?1 1 1 ? an ? ? ?an ? an?1? ? ? bn?1, 2 2 2

a 当n ? 2时, bn ? an?1 ? an ? n

1 . ??bn?是 首 项 为 1, 公 比 为 - 的等比数列 2
(2011 年全国卷理科第 20 题) 设数列

?a ?满足 a
n

1

? 0且


1 1 - an ?1
据 等

?

1 ? 1,求?an? 的通项公式 . 1 - an

-1-





















? 1 ? ? ?是首项为1,公差为1的等差数列 ,则有 1 ? ? an ?
1 ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n 1 ? an

1 * ? an ? 1 ? (n ? 1, n ? N ) n 1 * ? 数列?an?通项公式 an ? 1 ? (n ? 1, n ? N ) n
2.2 通项公式; 在讲一般数列的通项公式时可以多举一些例子,让学生体会如何通过观察,找到其中的 规律,培养学生观察归纳的能力。等差数列的通项公式 a =a +(n-1)d,变形为 a =dn+a -d,让 学生观察通项公式与一次函数的关系, 从而总结出通项公式能写成这种形式的都是等差数列 的规律。等比数列通项公式

an ? a1 q

n ?1

,变形为

an ? c q

n

学生观察了解通项公式是一

个常数和指数函数的乘积。 2.3 前 n 项和公式;

n(n ? 1) 等差数列前 n 项和公式 sn ? n a1 ? d= 2
等差数列。进一步举例研究例如:

s ?n 2
n

2

d d ? (a1 ? )n 2

, 特

点是二次函数的形式, 没有常数项, 引导学生总结出前 n 项和能写成这种形式的数列一定是

s

n

? 2 n ? 5n ? 2 是不是等差数列。
2

? an ? (2 n ? 5n ? 2) ? [2 (n ?1) ? 5(n ? 1) ? 2] ? 4n ? 3(n ? 2, n ? N )
2 2 *

a

1

? 5, a2 ? 11, a3 ? 15, a2 ? a1 ? a3 ? a2

? 满足以上等式的数列不 是等差数列
2.4 通过等差数列、等比数列求和公式的推导,总结出倒序相加求和、错位相减求和并补 充裂项相消求和。 3.本章所渗透的数学思想和方法 数列这一章蕴含着多种数学思想及方法,如函数思想、方程思想,而且在基本概念、 公式的教学本身也包含着丰富的数学方法, 掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、 公 式的理解,而且运用数学思想方法解决问题的过程,往往能诱发知识的迁移,使学生产生举 一反三、融会贯通的解决数列问题。在这一章主要用到了以下几种数学方法。 3.1 不完全归纳法; 不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观, 而且可以帮助学生有效的解决问题, 在等 差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法。 3.2 倒叙相加法;
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等差数列前 n 项和公式的推导过程中, 就根据等差数列的特点, 很好的应用了倒叙相加 法,而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法。 3.3 错位相减法; 错位相减法是另一类数列求和的方法, 它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以 相互转化, 并且是多个数列求和的问题。 等比数列的前 n 项和公式的推导就用到了这种思想 方法。 3.4 函数的思想方法; 数列本身就是一个特殊的函数,而且是离散的函数,因此在解题过程中,尤其在遇到等 差数列与等比数列这两类特殊的数列时, 可以将它们看成一个函数, 进而运用函数的性质和 特点来解决问题。 3.5 方程的思想方法; 数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第 n 项和前 n 项和这些 量的数学公式,而公式本身就是一个等式,因此,在求这些数学量的过程中,可将它们看成 相应的已知量和未知数,通过公式建立关于求未知量的方程,可以使解题变得清晰、明了, 而且简化了解题过程。 4.数列的综合应用。数列的综合应用通常有三种类型 4.1 数列知识范围内的综合应用; 等差、等比数列以及递推公式之间的综合应用。解此类型题时,要紧扣等差、等比数列 的定义和性质,做出合理的分析,灵活的选择公式或性质,找准解题的切入点和思路。 4.2 数列的实际应用问题; 现实生活中涉及到的利率(复利) 、产品利润、平均增长率、信贷、保险、环保、人口 增长等问题,常常利用数列知识建立数学模型加以解决。用数列建模的思路和步骤如下:① 审题:明确哪些量能组成等差数列、等比数列或哪些量给出的是递推关系式。②抓住数量关 系,精心联想,将文字语言转译成数学(符号)语言。若是等差(比)数列则应明确 a ,a , n,d(q),S 中已知哪几个,需求哪几个;若是递推公式,则应明确已知的是 S 还是 a 的递 推关系式,求哪些量以及落实初始条件。③将实际问题转化成数学问题,列出符合题意的数 学关系式。 4.3 数列与其他分支的知识的纵合应用; 主要为数列与函数、方程、不等式、三角、极限等知识的综合。解此类综合题,首先要 认真审题,弄清题意,分析出涉及哪些数学分支内容,在每个分支中各是什么问题;其次, 要精心分解, 把整个大题分解成若干个小题或“步骤”, 使它们成为在各自分支中的基本问题; 最后,分别求解这些小题或“步骤”,从而得到整个问题的结论。 5.学生容易出错的问题 5.1 在解决有关通项公式的问题时易在以下环节出错: ①项数搞错;②由归纳法求通项时,只满足前 2 项或 3 项,而不能满足所有的情况。 5.2 已知 S 求 握数列{

a

n

,在解题过程中易忽视 n=1 时

s ? a ,错误的原因是;没有熟练掌
1 1

a

n

}的前 n 项和

s

n

与通项

a

n

之间的关系或粗心大意。

5.3 裂项求和时,如果前面剩两项后面剩两项时分不清后面剩哪两项。 5.4 错位相减法求和, 当公比是负数时两边同时乘以公比容易出错, 再就是忘记了是“错 位”相减或者是相减以后分不清剩了多少项。 5.5 用“累加”或“累乘”法求通项公式

a

n

时分不清 n 与表达式的关系以至于出错。

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总之,数列这章是高考的热点,也是学生学习的难点,容易出错的地方特别多,在教 与学的过程中只有不断总结经验,不断进行反思才能取得更大的进步。

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