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《最高考系列》2015届高考数学总复习第三章第4课时 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式


第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 4 课时 两角和与 差的正弦、余弦 和正切公式 (对应学生用书(文)、(理)47~48 页)

考情分析 掌握两角和与差的三角函数公式,能运用两 角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单 的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.

考点新知 ① 了解用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式的过程. ② 能从两角差的余弦公式推导出两角和的 余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正 切公式,体会化归思想的应用.

1. (必修 4P98 第 1 题改编)sin75°cos30°-sin15°sin150°=__________. 答案: 2 2 2 . 2

解析:sin75°cos30°-sin15°sin150°=sin75°cos30°-cos75°·sin30°=sin(75° -30°)=sin45°=

π π 3 2 2. (必修 4P104 习题 5 改编)已知 tan?α- ?= , tan? +β?= , 6? 7 ? ?6 ? 5 则 tan(α+β)=________. 答案:1 π π 3 2 tan?α- ?+tan? +β? + 6 6 7 5 π π ? ? ? ? 解析:tan(α+β)=tan[(α- )+( +β)]= = =1. 6 6 3 2 π? π ? ? ? 1-tan α- ·tan +β 1-7×5 6? ? ?6 ? π π 5π 3 3. (必修 4P94 习题 2(1)改编)若 sinα = , α ∈?- , ?, 则 cos?α+ ?=__________. 5 4 ? ? 2 2? ? 答案:- 2 10

π π 5π 3 4 解析: 由 α∈?- , ?, 得 cosα= , 由两角和与差的余弦公式得 cos?α+ ? 5 4 ? ? 2 2 ? sinα=5, ? 5π 5π 2 2 =cosαcos -sinαsin =- (cosα-sinα)=- . 4 4 2 10 4. (必修 4P99 第 10 题改编)计算: 2cos10°-sin20° =________. cos20° 答案: 3 2cos(30°-20°)-sin20° 解析:原式= cos20° = 2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°

2? =

3 1 ?-sin20° ? 2 cos20°+2sin20°? cos20°

= 3.

5. (必修 4P115 第 6 题改编)计算: sin7°+cos15°·sin8° =________. cos7°-sin15°·sin8° 答案:2- 3 解析: sin7°=sin(15°-8°)=sin15°cos8°-cos15°sin8°, cos7°=cos(15°-8°) =cos15°cos8°+sin15°sin8°,∴ 原式=tan15°=tan(45°-30°)= 3. 1-tan30° =2- 1+tan30°

1. 两角差的余弦公式推导过程 2. 公式之间的关系及导出过程

3. 公式 cos(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ cos(α+β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ sin(α-β)=sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ sin(α+β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ tanα-tanβ tan(α-β)=tan(α-β)= 1+tanαtanβ tanα+tanβ tan(α+β)=tan(α+β)= 1-tanαtanβ 4. asinα +bcosα = a2+b2sin(α+φ),其中 cosφ = a b ,tanφ = 2,sinφ = 2 a +b a +b2
2

b .φ 的终边所在象限由 a、b 的符号来确 a

定.

题型 1 化简求值 例 1 化简:tan(18°-x)tan(12°+x)+ 3[tan(18°-x)+tan(12°+x)]=________.

答案:1 解析: ∵ tan[(18°- x) +(12 °+ x)] = 3 , 3 ∴ tan(18 ° - x) + tan(12 ° + x) = tan(18°-x)tan(12°+x)+ 3× 变式训练 求值:tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°. tan20°+tan40° 解:∵ tan60°=tan(20°+40°)= = 3, 1-tan20°tan40° ∴ tan20°+tan40°= 3- 3tan20°tan40°, ∴ tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°= 3. 题型 2 给值求角 例 2 若 sinα = π 答案: 4 解析:(解法 1)依题意有 cosα= ∴ ∵ 1-?
2 5? 2 5 = ,cosβ= 5 ?5?

tan(18°-x)+tan(12°+x) = tan30 °= 1-tan(18°-x)tan(12°+x)

3 [1 - tan(18 ° - x)· tan(12 °+ x)] , 于 是 原式 = 3

3 [1-tan(18°-x)· tan(12°+x)]=1. 3

5 10 ,sinβ = ,且 α、β 为锐角,则 α+β 的值为__________. 5 10

1-?

2 10? 3 10 = , 10 ? 10 ?

2 5 3 10 5 10 2 cos(α+β)= × - × = >0. 5 10 5 10 2 α、β 都是锐角,∴ 0<α+β<π,∴ α+β= α、β 都是锐角,且 sinα= cosα= 1-? π . 4

(解法 2)∵ π 0<α+β< , ∴ 2

π 5 2 10 2 < ,sinβ= < ,∴ 0<α,β< , 5 2 10 2 4 1-?
2 5 10? 3 10 = , sin(α+β)= 10 5 10 ? ?

2 5? 2 5 = , cosβ= 5 ?5?

π 3 10 10 2 5 2 × + × = .∴ α+β= . 10 10 5 2 4 备选变式(教师专享) π 1 13 已知 cosα = ,cos(α -β )= ,且 0<β<α< ,求 β. 7 14 2 π π 13 解:∵ 0<β<α< ,∴ 0<α-β< .又 cos(α-β)= , 2 2 14 ∴ sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 3 3 , 14

1 13 4 3 3 3 1 ∴ cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= × + × = .又 7 14 7 14 2 π π 0<β< ,∴ β= . 2 3 题型 3 给值求值

π 3π π 3 3 5 例 3 已知 0<β< <α< π ,cos? -α?= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值. 4 4 4 13 ?4 ? 5 解:∵ ∴ π 3π 3π π <α< ,∴ - <-α<- , 4 4 4 4

π π - < -α<0. 2 4

π π 3 4 又 cos? -α?= ,∴ sin? -α?=- . 5 ?4 ? 5 ?4 ? ∵ π 3π 3π 0<β< ,∴ < +β<π. 4 4 4 3π ? 5 12 ?3π ? ? 4 +β?=13,∴ cos? 4 +β?=-13.

又 sin? ∴ cos?

3π π π 3π sin(α + β) =- cos ? +(α+β)? = - cos[( + β) - ( - α)] =- cos ? +β? 4 4 ?2 ? ? 4 ?

3π 12 3 5 4 36 20 56 π ? π - ?× - ×?- ?= + = . sin? -α?=-? -α -sin( 4 +β)· 13 5? 65 65 65 ? ? ? 5 13 ?4 ? ?4 ? 备选变式(教师专享) π 4 1 已知 α、β∈?0, ?,sinα = ,tan(α-β)=- ,求 cosβ 的值. 5 3 2? ? π π π 解:∵ α、β∈?0, ?,∴ - <α-β< . 2 2 2? ? π 1 又 tan(α-β)=- <0,∴ - <α-β<0. 3 2 ∴ 1 10 =1+tan2(α-β)= . 9 cos (α-β)
2

3 10 10 ∴ cos(α-β)= ,sin(α-β)=- . 10 10 4 3 又 sinα= ,∴ cosα= . 5 5 3 3 10 4 ? 10? ∴ cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= × + × - = 5 10 5 ? 10 ? 10 . 10 3 1 例 4 (2013· 常州期末)已知α 、β 均为锐角,且 sinα = ,tan(α-β)=- . 5 3 (1) 求 sin(α-β)的值; (2) 求 cosβ 的值. π π π π 1 解:(1) ∵ α、β∈?0, ?,∴ - <α-β< .又 tan(α-β)=- <0,∴ - <α 2 2 3 2 2? ? -β<0. ∴ sin(α-β)=- 10 . 10 3 10 . 10

(2) 由(1)可得,cos(α-β)=



3 α为锐角,sinα= ,∴ 5

4 cosα= . 5

∴ cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 4 3 10 3 ? 10? 9 10 = × + × - = . 5 10 5 ? 10 ? 50 备选变式(教师专享) π 1 1 已知 cos α = ,cos(α+β)=- ,且 α、β∈?0, ?,求 cos(α-β)的值. 3 3 2? ? π 解:∵α∈?0, ?,∴ 2α∈(0,π). 2? ? 1 7 4 2 ∵ cos α= ,∴ cos 2α=2cos2α-1=- ,∴ sin 2α= 1-cos22α= ,而 α、 3 9 9 π β∈?0, ?,∴ α+β∈(0,π), 2? ? ∴ sin(α+β)= 1-cos2(α+β)= 2 2 ,∴ cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α 3

7? ? 1? 4 2 2 2 23 +β)+sin 2αsin(α+β)=? ?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27.

1. 已知角 φ 的终边经过点 P(1,-2), 函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称 π π 轴之间的距离为 ,则 f? ?=__________. 3 ?12? 答案:- 10 10 π 5 2 5 T π ,sinφ=- .由相邻两条对称轴间距离为 ,得 = , 5 5 3 2 3

解析:由题意知 cosφ=

2π 2π 2π 即 T= ,∴ = ,ω=3. 3 3 ω ∴ π π π π 2 5 2 f(x) = sin(3x + φ) . f ? ?=sin ? +φ?= sin cos φ+ cos sin φ= × + × 4 4 2 5 2 ?12? ?4 ?

?-2 5?=- 10. 10 ? 5 ?
π 5π π π 2. 函数 f(x)=sin2x· sin -cos2x· cos 在?- , ?上的单调递增区间为_________. 6 6 ? 2 2? 5π π 答案:?- , ? ? 12 12? π 5π π π π 解析:f(x)=sin2xsin -cos2x·cos =sin2xsin +cos2xcos =cos(2x- ).当 2k 6 6 6 6 6 π 5π π π-π≤2x- ≤2kπ(k∈Z),即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,函数 f(x)单调递增.取 6 12 12

5π π π π 5π π k=0 得- ≤x≤ ,∴ 函数 f(x)在?- , ?上的单调增区间为?- , ?. 12 12 ? 2 2? ? 12 12? π π 4 3 3. 已知 sin?α+ ?+sinα =- ,- <α<0,则 cosα =__________. 5 2 3? ? 3 3-4 答案: 10 π 4 3 解析:由 sin?α+ ?+sinα=- ,得 5 3 ? ? π π 4 3 sinα·cos +cosα·sin +sinα=- , 3 3 5 ∴ ∴ ∴ ∴ 3 1 4 sinα+ cosα=- , 2 2 5 π 4 sin?α+ ?=- .∵ 5 6? ? π - <α<0, 2

π π π π 3 - <α+ < ,∴ cos?α+ ?= . 3 6 6 6? 5 ? π π cosα=cos??α+ ?- ? 6? 6? ? ?

π π π π =cos?α+ ?cos +sin?α+ ?sin 6 6? 6? 6 ? ? 4 1 3 3-4 3 3 - ?× = = × +? . 5 2 ? 5? 2 10 π 1 4. (2013· 贵州)设 θ 为第二象限角,若 tan?θ+ ?= ,则 sinθ +cosθ =________. 4? 2 ? 答案:- 10 5

π 1+tanθ 1 1 解析:由 tan?θ+ ?= = ,得 tanθ=- .因为 θ 为第二象限角,利用 tanθ= 3 4 ? 1-tanθ 2 ? sinθ 10 3 10 10 ,sin2θ+cos2θ=1 可求得 sinθ= ,cosθ=- ,所以 sinθ+cosθ=- . 10 10 5 cosθ

cosα-sinα 1. 已知 α、β 均为锐角,且 tanβ= ,则 tan(α+β)=________. cosα+sinα 答案:1 cosα-sinα 解析:∵tanβ= , cosα+sinα 1-tanα π ? ∴tanβ= =tan? ?4-α?. 1+tanα π π 又∵α、β 均为锐角,∴β= -α,即 α+β= , 4 4 π ∴tan(α+β)=tan =1. 4

π? 4 ? 7π? 2. 已知 cos? ?α-6?+sinα=5 3,则 sin?α+ 6 ?的值为________. 4 答案:- 5 π 3 3 4 α- ?+sinα= cosα+ sinα= 3, 解析:∵cos? 6 ? ? 2 2 5 1 3 4 ∴ cosα+ sinα= , 2 2 5 7π? ? π? ∴sin? ?α+ 6 ?=-sin?α+6? =-? 3 1 ?=-4. 5 ? 2 sinα+2cosα? 2 2 5 、 .求: 10 5

3. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β,它们的终边分 别与单位圆相交于 A、B 两点.已知 A、B 的横坐标分别为 (1) tan(α+β)的值; (2) α+2β 的值.

解: (1) 由已知条件及三角函数的定义可知 cosα= >0,从而 sinα= 1-cos2α=

2 2 5 , cosβ= .因 α 为锐角, 故 sinα 10 5

7 2 5 1 ,同理可得 sinβ= .因此 tanα=7,tanβ= . 10 5 2 1 7+ 2

tanα+tanβ 所以 tan(α+β)= = 1-tanαtanβ

=-3. 1 1-7× 2 1 -3+ 2

(2) tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]= =-1. 1 1-(-3) × 2 π π 3π 又 0<α< ,0<β< ,故 0<α+2β< . 2 2 2 3π 从而由 tan(α+2β)=-1,得 α+2β= . 4 7 ? ? 3 ? 4. 已知函数 f(x)=sin? ?x+4π ?+cos?x-4π ?,x∈R. (1) 求 f(x)的最小正周期和最小值; π 4 4 (2) 已知 cos(β-α)= ,cos(β+α)=- ,0<α<β ≤ ,求证:[f(β)]2-2=0. 5 5 2

(1) 解: f(x) = sinxcos

7π 7π 3π 3π + cosxsin + cosxcos + sinxsin = 2sinx - 2cosx = 4 4 4 4

π 2sin?x- ?,所以 T=2π,f(x)min=-2. 4? ? 4 (2) 证明:cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ= ,① 5 4 cos(β+α)=cosαcosβ-sinαsinβ=- .② 5 ①+②,得 cosαcosβ=0, π 于是由 0<α<β≤ 2 故 f(β)= 2 cosβ=0 π = . 2

[f(β)]2-2=0.

1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征. (2) 对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: ① 化为特殊角的三角函数值; ② 化为正、负相消的项,消去求值; ③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值. 2. 三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示 (1) 已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差; (2) 已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系. 3. 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:① 已知正切函 π 数值,选正切函数;② 已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0, ?, 2? ? π π 选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π ),选余弦较好;若角的范围为?- , ?,选正弦较 ? 2 2? 好.

请使用课时训练(A)第4课时(见活页).

[备课札记]


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