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2007-2016年全国卷极坐标与参数方程高考题汇编 (1)


2007-2015 年极坐标与参数方程(全国卷高考题)
1.(2007) ? O1 和 ? O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? . (Ⅰ)把 ? O1 和 ? O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 ? O1 , ? O2 交点的直线的直角坐标方程.
? ?x ? x ? cos ? ? 2.(2008)已知曲线 C1: ? (? 为参数) ,曲线 C2: ? ? ? y ? sin ? ?y ? ? ? 2 t? 2 2 (t为参数) 2 t 2

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明

C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 ' ,C2 ' 。写出 C1 ' ,C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由。 3.(2009) 已知曲线 C1: ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2: ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : ?

? ,Q 为 C2 2

? x ? 3 ? 2t , ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值.

?x=1+tcosα, ?x=cosθ ? ? π 4.(2010)已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参数).(1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐 3 ? ? y = t sin α , y = sin θ , ? ?

标;(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程并指出它是什么曲线.
x ? 2cos ? 5. (2011) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ? ? y ? 2 ? 2sin ?

( ? 为参数) , M 是 C1 上的动点, P 点满足 OP ? 2OM ,P

??? ?

???? ?

点的轨迹为曲线 C2(Ⅰ)求 C2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .
? ?x=2cosφ ?y=3sinφ ?

?
3

与 C1 的异于极点的

6.(2012)已知曲线 C1 的参数方程是?

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲

π 线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2,3) (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围 7.(2013 课标 1)已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? 5 ? 5sin t

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 8. (2013 课标 2) 已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos t , ( t 为参数) 上, 对应参数分别为 t =? 与 t =2? ( 0 ? ? ? 2? ) , ? y ? 2sin t

M 为 PQ 的中点。(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨
迹是否过坐标原点

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9.(2014 课标 1)已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数)(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方 4 9 ? y ? 2 ? 2t

程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最小值. 10.(2014 课标 2)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ? ? 2 cos ? ,? ? [0, ] .(1)求 C 得参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据
2
(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标. 11.(2015 课标 1)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,x 轴正半
2 2

轴为极轴建立极坐标系.(I)求 C1 , C2 的极坐标方程.(II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 4

M , N ,求 ?C2 MN 的面积.

x ?t cos α { 12.(2015 课标 2)在直线坐标系 xOy 中,曲线 C : y ?t sin α (t 为参数,t ? 0)其中 0 ? α ? ? .在以 O 为极点,x
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轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: p=2 sin ? ,C3:p=2 3 cos? 。(1)求 C1 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相 交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 13.2015 高考新课在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,x 轴正半
2 2

轴为极轴建立极坐标系.(I)求 C1 , C2 的极坐标方程.(II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 4

M , N ,求 ?C2 MN 的面积.
14.2014 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ( t 为参数)(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最小值. 15.(2014 课标Ⅱ,在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,半圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ ,θ ∈.(1)求 C 的参数方程;(2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y=x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方 程,确定 D 的坐标.
?x=1+tcos α, ?x=cos θ, ? ? 16.(2010· 课标全国)已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参数). ?y=tsin α ?y=sin θ ? ? π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标;(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求 P 3 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. 17.(2014 辽宁,,)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程;(2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线 的极坐标方程. π? 变式: (2009· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos? ?θ-3? =1,M、N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点.(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标;(2)设 MN 的中点为 P,求 直线 OP 的极坐标方程.

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