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2014人教A版高中数学必修四2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》导学案


§2.4.1 平面向量的数量积的 物理背景及含义 学习目标 1. 在物理中功的概念的基础上,理解向量数量积的概念及几何意义; 2. 掌握数量积的运算式及变式;掌握并能熟练运用数量积的运算律;掌握模长公式. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P103—P105) 复习:如右图,如果一个物体 所做的功 W= , 在力 F 的作用下产生位移 s , 那么力 F 其中 ? 是 F 与 s 的夹角. 二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量数量积的含义 问题 1:功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我们一种启示,能否把“功” 看成是这两个向量的一种运算的结果呢? 1、平面向量数量积的定义:已知两个______向量 a与b ,我们把______________叫 a与b 的 数量积。 (或________) 记作_________即 a ? b =___________________其中 ? 是 a与b 的夹角。 __________叫做向量 a在b 方向上的______。 我们规定:零向量与任意向量的数量积为____。 问题 2:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正?什么时候为负? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2、平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非零向量: ① a ? b ? ___________ ? ? ? ? ? ? ②当 a与b?同向时, a ? b =________ 当 a与b 反向时, a ? b =_______ _, a ? 特别地, ? ? a ? a =______或 a = ___________。 ③ a ? b ? ___________ ④ cos ? = _______ _ ____ ? ? ? ? ? ? ? ? ⑤. a ? b 的几何意义:_____________ ________。 问题 3: 运算律和运算紧密相连, 引进向量数量积后, 自然要看一看它满足怎么样的运算律, 同学们能推导向量数量积的下列运算律吗? 3、向量的数量积满足下列运算律:已知向量 a , b , c 与实数 ? 。 ① a ? b =___________; ② ? a ? b =___________; ??? ? ? ? ? ? ? ③ a+b ? c =___________。 问题 4:我们知道,对任意 a , b ? R ,恒有 ? a ? b? ? a2 ? 2ab ? b2 , ? a ? b ?? a ? b ? ? a2 ? b2 ? ? 对任意向量 a, b ,是否也有下面类似的结论? 2 ? ? ? ? ? ? ?? ⑵ ?a ? b?? ?a ? b? ? ⑴ a?b 2 ; . ※ 典型例题 ? ? ? ? ? 例 1、已知 a ? 6 , b ? 8 ,且 a 与 b 的夹角 ? ? 120 ,求 a ? b . ? ? ? ? ? ? 变式 1:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a // b ,则 a ? b 是多少? ? ? ? ? ? ? 变式 2:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a ? b ,则 a ? b 是多少? ? ? ? 变式 3:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a 与 b 的夹角 ? ? 60 ,求 a ? 2b ? a ? 3b 。 ? ?? ? ? 变式 4:若 a ? 6 , b ? 4 ,且 a ? 2b ? a ? 3b ? ?72 ,求 a 与 b 的夹角

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