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贵州省遵义四中2013届高三第三次月考 理科数学


遵义四中 2012-2013 学年度高三第三次月考
数 学 试 题(理) 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、集合 A ? { ? 1, 0,1} , A 的子集中,含有元素 0 的子集共有。 (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个 2、已知复数 z ? (A)
5 5
(3 ? i )(3 ? i ) 2?i

,则 | z | ? (C) 5
2

(B)
1 2

2 5 5

(D) 2 5

3、已知 ta n ? ? (A) 2

,则

(s in ? ? c o s ? ) c o s 2?

?

(B) ? 2

(C) 3

(D) ? 3

4、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 5、设函数 y ? f ( x ) ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? 0 及直线 x ? 1 对
2 称,且 x ? [0 ,1] 时, f ( x ) ? x ,则 f ( ?

3 2

)? 9 4

(A)

1 2

(B)

1 4

(C)

3 4

(D)

6.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如左图所示,则相应的侧视图可以为

v ?t ? v甲 v乙
(第 6 题图)

O

t 0 t1 t
9 题图

7、设 S n 为等比数列 ? a n ? 的前 n 项和,已知 3 S 3 ? a 4 ? 2, 3 S 2 ? a 3 ? 2 ,则公比 q ?
? A?4 ?B?3
x ?x

?C ? 2

?D ?8
p 2 :函数 y ? 2 ? 2
x ?x

8、已知命题 p 1 :函数 y ? 2 ? 2

在 R 为增函数,
?

在 R 为减函数,

则在命题 q 1 : p 1 ? p 2 , q 2 : p 1 ? p 2 , q 3 : ? p 1 ? ? p 2 和 q 4 : p 1 ? (A) q 1 , q 3 (B) q 2 , q 3 (C) q 1 , q 4

?

?

p 2 ? 中,真命题是。

(D) q 2 , q 4

9、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速 度曲线分别为 v甲 和 v乙 ,那么对于图中给定的 t 0 和 t1 ,下列判断中一定正确的是。 (A)在 t1 时刻,甲车在乙车前面 (C)在 t 0 时刻,两车的位置相同 (B) t1 时刻后,甲车在乙车后面 (D) t 0 时刻后,乙车在甲车前面

-1-

10、为了迎接党的十八大胜利召开,北京某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每 个彩灯闪亮只能是红、 黄、 蓝中的一种颜色, 橙、 绿、 且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同. 记 这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而 相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是。 (A)1205 秒 (B)1200 秒 (C)1195 秒 (D)1190 秒 11 、 已 知 o 是 平 面 上 的 一 定 点 , A , B , C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足
??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? OB ? OC AB AC ? OP ? ? ? ( ??? ? ???? ) , ? ? [0, ? ? ) , 则动点 P 的轨迹一定通 2 | A B | cos B | A C | cos C

过 ? A B C 的。 (A)内心 12.设函数 f ( x ) ?

(B) 垂心
2

(C) 重心

(D)外心

a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的定义域为 D ,若所有点 ( s , f ( t ))( s , t ? D ) 构成一

个正方形区域,则 a 的值为 A. ? 2 B. ? 3 C. ? 4 D. ? 5
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、已知函数 f ? x ? ? c o s x ? s in x , 则 f ?
/

14、已知向量 p ? ? a n , m

??

n

?,q ? ?a

?

?? ? ?? ? 4 ?


*

n ?1

,m

n ?1

?,n ? N

?? ? , m 为正常数,向量 p // q ,且 a 1 ? 1 . 则数

列 ? a n ? 的通项公式为



15、已知三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 A B C 内的射 影为 △ A B C 的中心,则 A B 1 与底面 A B C 所成角的正弦值等于
2 16、设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛

物线的准线相交于 C, B F =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S ?BCF S ?ACF

=

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? c o s ? 2 x ?
? ?

? ?

? ? s in x , 3 ?
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期., (Ⅱ)设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 c o s B
? 1 3 1 ?C ? , f ? ?? ? 2 ? 4 ?

,且 C 为锐角,求 s in A 。

18、 (本小题满分 12 分)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设 事件 A : “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P ( A ) ? 0 .9 6 . (Ⅰ)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (Ⅱ)若该批产品共 100 件,从中无放回抽取 2 件产品,? 表示取出的 2 件产品中二等品的件 数。求 ? 的分布列。
A A 19、本小题满分 12 分) ( 如图, 一张平行四边形的硬纸片 A B C 0 D 中, D ? B D ? 1 , B ?
-2-

2 。

沿它的对角线 B D 把△ B D C 0 折起,使点 C 0 到达平面 A B C 0 D 外点 C 的位置。 (Ⅰ)证明:平面 A B C 0 D ? 平面 C B C 0 ; (Ⅱ)如果△ A B C 为等腰三角形,求二面角 A ? B D ? C 的大小。

F 0 20、 (本小题满分 12 分) 已知以原点 O 为中心, ( 5,)为右焦点的双曲线 C 的离心率 e =

5 2

.

(Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (Ⅱ) 如图, 已知过点 M ? x1 , y 1 ? 的直线:l1: x 1 x ? 4 y 1 y ? 4 与过点 N ? x 2 , y 2 ? ( 其 中 x 2 ? x 1) 的直线 l 2: x 2 x ? 4 y 2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交 于 G、H 两点,求 ? O G H 的面积。 y

l2
G N O H M 21、 (本小题满分 12 分) )已知函数 f ? x ? ?
1? x 1? x e
? ax

x

l1

E



(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0 ,1 ? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围

选做题:请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)如图, A , E 是半圆周上的两个三等分点,直径
B C ? 4, A D ? B C ,垂足为 D , B E 与 A D 相交于点 F ,

求 A F 的长。

A F B D O

E

C

-3-

23、 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 x O y 中,椭圆 C 方程为 ? (Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?
? x ? 4 ? 2t ?y ? 3?t

? x ? 5 cos ? ? y ? 3 s in ?

(? 为参数)

( t 为参数)平行的直线 l 的普通方程。

(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 A B C D 面积的最大值。

y

24、 (本小题满分 10 分)设函数 f ? x ? ? 2 x ? 4 ? 1 (Ⅰ)画出函数 y ? f ? x ? 的图像; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? a x 的解集非空, 求 a 的取值范围。 (右图中一个小方格表示一个单位)
x

遵义四中 2012-2013 学年度高三第三次月考 理科答案
一、选择题
B D C B B D A C A C
n ?1

D C
2 3 16, 4 5

二、填空题 1 3, 0 三、解答题

14, an ? m

1 5,

17 解: (1)f(x)=cos(2x+
? 1 2 ? 3 2 s in 2 x
1 2 ? 3 2

?
3

)+sin x.= c o s 2 x c o s

2

?
3

? s in 2 x s in

?
3

?

1 ? cos 2 x 2

所以函数 f(x)的最大值为
s in C =-
1 4

1? 2

3

,最小正周期 ? .
?
3

(2) f ( ) =
2

c

,

所以 s in C ?

3 2

, 因为 C 为锐角, 所以 C ?

,

-4-

又因为在 ? ABC 中, cosB=

1 3

,

所以

s i nB ?

2 3

,3
2 3 2? 1 2 ? 1 3 ? 3 2 ? 2 2? 6 3

所以 s i n A ? s i n (B ? C ) ? s i n B c o sC ? c o sB s i nC ?

.

18.解: (1)记 A 0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ,
A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” .

则 A0, A1 互斥,且 A ? A 0 ? A1 ,故
P ( A ) ? P ( A 0 ? A1 ) ? P ( A 0 ) ? P ( A1 ) ? (1 ? p ) ? C 2 p (1 ? p ) ? 1 ? p
2 1 2

于是 0 .9 6 ? 1 ? p .解得 p 1 ? 0 .2, p 2 ? ? 0 .2 (舍去) .
2

(2) ? 的可能取值为 0, 2 . 1, 若该批产品共 100 件,由(1)知其二等品有 1 0 0 ? 0 .2 ? 2 0 件,故
P (? ? 0 ) ? C 80 C 100
2 2

?

316 495



P ( ? ? 1) ?

C 80 C 20 C 100
2

1

1

?

160 495



P (? ? 2 ) ?

C 20 C 100
2

2

?

19 495



所以 ? 的分布列为
?
P

0
316 495

1
160 495

2
19 495

19 题:解: (Ⅰ)证明:因为

AD ? BC0 ? BD ? 1 , AB ? C0D ?

2 ,

所以 ? D B C 0 ? 9 0 ? , ? A D B ? 9 0 ? 。 因为折叠过程中, ? D B C ? ? D B C 0 ? 9 0 ? , 所以 D B ? B C ,又 D B ? B C 0 ,故 D B ? 平面 C B C 0 。 又 D B ? 平面 A B C 0 D ,所以平面 A B C 0 D ? 平面 C B C 0 。 (Ⅱ)解法一:如图,延长 C 0 B 到 E ,使 B E ? C 0 B ,
BE , BE ? 1 , DB ? 1 , 连结 A E , C E 。因为 A D ? D B E ? 9 0 ? ,所以 A E B D 为正方形, A E ? 1 。 由于 A E , D B 都与平面 C B C 0 垂直,所以 A E ? C E ,可知 A C ? 1 。

因此只有 A C ? A B ?
2 2

2 时,△ A B C 为等腰三角形。在 R t △ A E C 中,

C E ? A C ? A E ? 1 ,又 B C ? 1 ,所以△ C E B 为等边三角形, ? C B E ? 6 0 ? 。 由(Ⅰ)可知, ,所以 ? C B E 为二面角 A ? B D ? C 的平面角, 即二面角 A ? B D ? C 的大小为 6 0 ? 。 解法二:以 D 为坐标原点,射线 D A , D B 分别为 x 轴正半轴和 y 轴正半轴,建立如图的空

间直角坐标系 D ? xyz ,则 A (1, 0, 0 ) , B (0,1, 0 ) , D (0, 0, 0 ) 。 由(Ⅰ)可设点 C 的坐标为 ( x ,1, z ) ,其中 z ? 0 ,则有 x ? z ? 1 。
2 2



因为△ A B C 为等腰三角形,所以 A C ? 1 或 A C ?
2 2

2 。

若 A C ? 1 ,则有 ( x ? 1) ? 1 ? z ? 1 。则此得 x ? 1 , z ? 0 ,不合题意 若 AC ?
2 ,则有 ( x ? 1) ? 1 ? z ? 2 。
2 2


1 3 2 )。

联立①和②得 x ?

1 2

,z ?

3 2

。故点 C 的坐标为 ( ,1,
??? ?

由于 D A ? B D , B C ? B D ,所以 D A 与 B C 夹角的大小等于二面角 A ? B D ? C 的大小。

????

2

-5-

??? ???? ? ??? ???? ? ???? ??? ? 1 3 DA ? BC 1 ? ) , c o s ? D A , B C ? ? ??? ???? ? . 又 D A ? (1, 0 , 0 ) , B C ? ( , 0 , 2 2 2 | D A || B C | ??? ???? ? 所以 ? D A , B C ? ? 6 0 ? 即二面角 A ? B D ? C 的大小为 6 0 ? 。

20、 1 ) 设 C 的 标 准方 程 为 (
a ?? 2, b ?
y ? ? 1 2 x。

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a, b ? 0 ? 在由题意 c ? x
2 2

5,e ?

c a

?

5 2

,因此

c ?a
2

2

? 1 ,则曲线 C 的标准方程为

? y ? 1 ,曲线 C 的渐近线方程为

4

(2)解法一:由题意点 ? x E , y E ? 在直线 l1 : x1 x ? 4 y 1 y ? 4 和 l 2 : x 2 x ? 4 y 2 y ? 4 ,因此有
x1 x E ? 4 y 1 y E ? 4, x 2 x E ? 4 y 2 y E ? 4, 故点 M,N 均在直线 xx E ? 4 yy E ? 4, 上,因此直线 MN 的

方程为 x E x ? 4 y E y ? 4 , ,设 G,H 分别是直线 MN 与渐近线 x ? 2 y ? 0 及 x ? 2 y ? 0的 交 点 , 由方程组 ?
? x E x ? 4 yE y ? 4 ?x ? 2 y ? 0 ? xE x ? 4 yE y ? 4 2 2 及? , yH ? ? 解得 y G ? ,设 xE ? 2 yE xE ? 2 yE ? x? 2 y? 0
4 xE

MN 与 x 轴的交点为 Q ,则在直线 x E x ? 4 y E y ? 4 , 中令 y ? 0 ,得 x Q ? 意
S ? 1 2

(易得 x E ? 0 ) ,注 得


O Q ? yG ? y H ? 1 xE ? 1 xE ? 2 yE ?

xE ? 4 yE ? 4
2 2


1 x
2 E

1 xE ? 2 yE

?

4 xE

? 4y

2 E

? 2

解法二:设 ? x E , y E ? ,由方程组 ?

? x1 x ? 4 y 1 y ? 4 ? x2 x ? 4 y2 y ? 4

得 xE ?
? ?

4 ? y 2 ? y1 ? x1 y 2 ? x 2 y 1
xE 4 yE

, yE ?

x1 ? x 2 x1 y 2 ? x 2 y 1

,因

为 x 2 ? x1 , 则 直 线 MN 的 斜 率 K ?
y ? y1 ? ? xE 4 yE

y 2 ? y1 x 2 ? x1

, 故 直 线 MN 的 方 程 为

?x ?

x1 ?

注意到 x E x1 ? 4 y E y 1 ? 4, 因此直线 MN 的方程为 x E x ? 4 y E y ? 4 , 下同解法一,

21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对 f(x)求导数得 f '(x)=

ax2+2-a -ax e . (1-x)2

2x2 - (ⅰ)当 a=2 时, f '(x)= e 2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于 0, 所以 f(x)在(-∞,1), (1-x)2 (1,+∞).为增函数. (ⅱ)当 0<a<2 时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数.

-6-

a-2 (ⅲ)当 a>2 时, 0< a <1, 令 f '(x)=0 ,解得 x1= - 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表: x (-∞, - + a-2 a ) (- a-2 a , - a-2 a )

a-2 a , x2=

a-2 a .

(

a-2 a ,1) +

(1,+∞) +

f '(x) f(x)


a-2 a ), (






a-2 a , a-2 a )为减函数.

f(x)在(-∞, -

a-2 a ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-

(Ⅱ)(ⅰ)当 0<a≤2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>f(0)=1. 1 (ⅱ)当 a>2 时, 取 x0= 2 a-2 a ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1

1+x - (ⅲ)当 a≤0 时, 对任意 x∈(0,1),恒有 >1 且 e ax≥1,得 1-x f(x)= 1+x -ax 1+x e ≥ >1. 综上当且仅当 a∈(-∞,2]时,对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>1. 1-x 1-x

22 题:连接 CE,AO,AB 根据 A, E 是半圆的圆周上的两个三等分点,BC 为直径,可得
? C E B ? 9 0 , ? C B E ? 3 0 , ? A O B ? 6 0 , 故三角形 AOB 瓦诶等边三角形,
0 0 0

AD ?

3 , O D ? B D ? 1,? D F ?

3 3

,? A F ? A D ? D F ?

2 3 3

23 题: (1)由已知得椭圆的右焦点为 ? 4 , 0 ? ,已知直线的参数方程可化为普通方程:
x ? 2 y ? 2 ? 0 ,所以 k ?

1 2

,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。
?
2

(2) S ? 4 x y ? 6 0 sin ? c o s ? ? 3 0 sin 2 ? , 当 2 ? ?

时,面积最大为 30。

24 题: (1) f ? x ? ? ?
?1

? ? 2 x ? 5, x ? 2 ? 2 x ? 3, x ? 2
?

如图所示。

(2) ? ? ? , ? 2 ? ? ? , ? ? ? ?2 ?

-7-


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