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zlq2.3.1-2.3.3平面向量基本定理shalom


2.3.1平面向量的基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
shalom

温故知新 向量的加法(三角形法则)

a
a+b

b a

向量的加法(平行四边形法则)

a+b b a-b

向量的减法(三角形法则) 向量的数乘运算
b

a

对实数λ和向量a

(1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0

设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
特别地:

? ? ? (?? )a ? ?(?a) ? ? (?a)

? ? ? ? ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
向量 a(a≠ 0)与 b 共线,当且仅当 有唯一一个实数λ,使 b=λa

问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动?

问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动?
如果是1只大猴子和4只小猴子呢?

如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改 变大小猴子的数量?

C

M

a e2 e1
N

a
B e 1

A o e2

OC=OM+ON = xe1+y e2

给定平面内任意两个不共线向量e1 、 e2,其他任 一向量是否都可以表示为xe1+y e2的形式?
C

M

a e2 e1
N

a
B e 1

A o e2

OC=OM+ON = xe1+y e2

平面向量的基本定理
如果 e1 , 2 是同一平面内的两个不共线的 e 向量,那么对于这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数? 1、?2使

a = ? 1e1 +?2 e 2
其中不共线的向量 e1 , e 2 叫做表示这一平 面内的所有向量的一组基底。

思考:平面内,向量的基底是否唯一?

C

E
M

a
N F
o

例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 .
作法:(1)任取一点o, 作OA=-2.5e1,OB=3e2 (2)作 OACB. 于是OC就是所求作的向量.

C e1 e2 A -2.5e1 O
3e2

B

e2

N

a
e1 e1

e2
o

C

a
M

OC=OM+ON = xe1+y e2
平行四边形做法唯一,所以实数对x,y存在唯一

对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的 方向分解成两个向量的和的形式; 3)分解是唯一的

思考:一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往正北运动,要几只小猴子?


30° 30°

向量的夹角
已知两个非零向量a和b如图, 则∠AOB=θ (0 ° ≤θ≤180°) 叫做向量的夹角 当θ =0° 时,a与b同向 当θ =180°时, a与b反向
o b

B

?
a A

共起点

a与b的夹角是90 °,则a与b垂直,记作a ⊥ b
A

思考:正△ABC中,向量 AB与BC的夹角为几度?
D

B

C

2.3.2 平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向 量,叫作把向量正交分解

分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作 为基底?任一向量a ,用这组基底可表示为有且只有一对实 y 数x、y,使得 a =xi + yj. a (x,y)叫做向量a的坐标,记作 j a=( x , y ) x O i 那么i =(1 , ) 0 1 j =( 0 , ) 0 =( 0 ,0)

2.3.2 平面向量的坐标表示
概念理解 1.以原点O为起点作 OA ? a ,点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定 y

2.点A的坐标与向量a 的坐标的关系? 两者相同
j 向量a
一一对应

A(x, y)

a

a

坐标(x ,y)

O i

x

3.两个向量相等的充要条件,利用坐标如何表示?

a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2

2.3.2 平面向量的坐标表示
例2 如图,用基底i ,j 分别表示向量a、b 、c 、d ,并 A2 求它们的坐标. 解:由图可知
a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j
A

?  a ? (2,3)
同理, b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3) c ? ?2i ? 3 j ? (?2,?3)

A1

d ? 2i ? 3 j ? (2,?3)

课堂小结:
1.平面向量的基本定理
(书本94页)

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于 这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数? 1、?2使 a = ? 1 e1+ ? 2 e2 2.向量的夹角:共起点的两个向量形成的角

3.基本定理的应用
? e1+ μe2= xe1+ ye2 4.向量的坐标表示

?? ? x ?? ?? ? y

把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底,任一向 量a ,用这组基底可表示为a =xi + yj, (x,y)叫做向量a的坐标

2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 1.已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),求a+b,a-b. 解:a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =( x1 + x2 )i+( y1+ y2 )j 即 同理可得 a + b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a - b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应 坐标的和(差)

2.3.3平面向量的坐标运算
?a ? (?x , ?y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标. 例3 已知A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) .求 AB 解:AB ? OB ? OA
? ( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 )
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )

? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

O

x

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标.

2.3.3 平面向量的坐标运算
例4 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b, a-b,3a+4b的坐标. 解: a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16) =(-6,19)

2.3.3 平面向量的坐标运算
例5 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 (-2,1)、( -1,3)、(3,4),求顶点D的坐标. 解法1:设顶点D的坐标为(x,y)
?   ? ( ?1 ? ? 2),? 1)(1, AB ( 3 ? 2) DC ? ( 3 ? x ,4 ? y ) 由 AB ? DC,得
A O B D y C

(1,2) ? (3 ? x,4 ? y )
1? ?  3 ? x ?    ? ?2 ? 4 ? y ?x ? 2 ?? ?y ? 2

x

?  顶点D的坐标为( , 2 2)

补充1 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为

(2,1)、( 1,3)、(-3,4),求顶点D的坐标.

作业布置

作业本课后练习习题能写则写


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