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北京市朝阳区2015届高三上学期期中考试数学理试题和答案

北京市朝阳区 2015 届高三上学期期中考试数学理试题和答案

北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷(理工类)

2014.11

(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.
? ? 1.已知集合 A ? x x2 +x ? 2 ? 0 , B ? ?x x ? 0? ,则集合 A B 等于

A.?x x ? ?2?

B.?x 0 ? x ?1?

C. ?x x ? 1?

D.?x ?2 ? x ?1?

2.已知命题

p

: ?x

? 0, x ?

4 x

?

4 ;命题 q : ?x0

?R

, 2x0

?

?1 .则下列判断正确的是

A. p 是假命题

B. q 是真命题

C. p ? ( ?q) 是真命题

D. ( ? p) ? q 是真命题

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值是
开始

k=1,i=1

A.120

B.105

C.15

D.5

k=k×i

i=i+2

否 i>5?

输出 k

结束

第 3 题图
4.曲线 y ? 1 与直线 x ? 1, x ? e2 及 x 轴所围成的图形的面积是 x

A. e2

B. e2 - 1

C. e

D. 2

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5.设 a, b 是两个非零的平面向量,下列说法正确的是 ① 若 a×b = 0 ,则有 a+b = a ? b ; ② a?b ? a b ; ③ 若存在实数 λ,使得 a =λ b ,则 a+b = a ? b ;

④若 a+b = a ? b ,则存在实数 λ,使得 a =λ b .

A. ①③

B. ①④

C.②③

D. ②④

6.某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房.当每套房月租金定为 3000 元时,这 70 套公寓能全租出

去;当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的

每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公

司获得最大利润,每套房月租金应定为

A. 3000

B.3300

C.3500

D.4000

7.如图,某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? Asin??x ?? ?? b

(其中 ? ? 0 , ? ? ? ? ? ), 2

T/℃

30 20 10

O 6 8 10 12 14 t/h

则估计中午 12 时的温度近似为(



A. 30 ℃

B. 27 ℃

8.设函数 f (x), g(x) 满足下列条件:

C.25 ℃

D.24 ℃

(1)对任意实数 x1, x2 都有 f (x1) ? f (x2 ) ? g(x1) ? g(x2 ) ? g(x1 ? x2 ) ; (2) f (?1) ? ?1, f (0) ? 0 , f (1) ? 1.
下列四个命题:

① g(0) ? 1; ② g(2) ? 1; ③ f 2 (x) ? g 2 (x) ? 1 ;④当 n ? 2 , n ? N? 时,? f (x)?n ? ?g(x)?n 的

最大值为1.
其中所有正确命题的序号是( A. ①③ B. ②④ C. ②③④

) D. ①③④

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第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.
9.已知平面向量 a, b 满足 a ? 1, b ? (1,1) ,且 a b ,则向量 a 的坐标是_______.

10.已知 tan( ? ? ?)= 1 , ? ?(? , ?) ,则 tan? 的值是_______; cos? 的值是_______.

4

7

2

?2x ? 3, 11.若 f (x) ? ??0,
??ax ? b ,

x ? 0, x ? 0,是奇函数,则 a+b 的值是_______. x?0

12.已知等差数列?an? 中, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ?4 , S8 ? ?16 ,

则公差 d ? _______;数列?an? 的前______项和最大.

?3x ? 2 y ? 6 ? 0, 13.已知 x , y 满足条件 ??x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (2, 0) 处取得
?? y ? 2 ? 0.

最大值,则 a 的取值范围是

.

14.如图,在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1 和 BB1 .已知从塔 AA1 的底部看塔 BB1 顶

部的仰角是从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的 2 倍,从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部

的仰角互为余角.则从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为
m.

;塔 BB1 的高为
B1

A1

A

C

B

第 14 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 3 / 12

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15. (本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? 3 sin x ? a cos x ( x ?R )的图象经过点 ( ? ,1) . 3
(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;
(Ⅱ)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递减区间.

16. (本小题满分 13 分)
如图,在△ ABC 中, ?ACB 为钝角, AB ? 2, BC ? 2, A ? π . D 为 AC 延长线上一点, 6
且 CD ? 3 ?1.

(Ⅰ)求 ?BCD 的大小;

B

(Ⅱ)求 BD 的长及△ ABC 的面积.

AC

D

17. (本小题满分 13 分)

在递减的等比数列 {an }中,设 Sn 为其前 n 项和,已知 a2 =

1 4



S3

=

7
.
8

(Ⅰ)求 an , Sn ;

(Ⅱ)设 bn

=

log2

Sn

,试比较

bn

+ bn+ 2

2

与 bn+ 1的大小关系,并说明理由.

18. (本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) = x2 , a ? R . x- a

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)若 f (x) 在 (1, 2) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)

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已知函数 y ? f (x) ,若在区间 (?2, 2) 内有且仅有一个 x0 ,使得 f (x0 ) ? 1 成立,则称函数 f (x) 具有性质 M . (Ⅰ)若 f (x) ? sin x ? 2 ,判断 f (x) 是否具有性质 M ,说明理由;
(Ⅱ)若函数 f (x) ? x2 ? 2mx ? 2m ?1具有性质 M ,试求实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分)
对于项数为 m 的有穷数列 {an} ,记 bk ? max{a1 ,a2 ,a3 , ,ak }(k ? 1, 2, 3, m, ,) 即 bk 为

a1, a2 , a3, , ak 中的最大值,则称{bn}是{an}的“控制数列”,{bn}各项中不同数值的个数称为{an}

的“控制阶数”.

(Ⅰ)若各项均为正整数的数列{an}的控制数列?bn? 为1, 3, 3, 5,写出所有的{an};

(Ⅱ)若 m

?100 ,

an

?

tn2

?

n

,其中 t

?(1 4

,

1) 2

,{bn}是{an}的控制数列,试用 t

表示

(b1 ? a1) ? (b2 ? a2 ) ? (b3 ? a3 ) ? ? (b100 ? a100 ) 的值;

(Ⅲ)在1, 2,3, 4,5 的所有全排列中,将每种排列视为一个数列,对于其中控制阶数为 2 的所有数列,
求它们的首项之和.

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数学试卷答案(理工类)

一、选择题(满分 40 分)

题号

(1) (2)

答案

A

C

二、填空题(满分 30 分)

(3) C

(4) D

(5) B

(6) B

题号

9

10

11

12

13

( 2, 2) 或 22
答案
(? 2 ,? 2 )

?3; 4
?4 5

?1

?2 ; 3

22

? ??

3 2

,

??

? ??

2014.11

(7) B

(8) D

14

1 ;45 3

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(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分)

三、解答题(满分 80 分)

(15)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由函数 f (x) 的图象经过点 ( ? ,1) , 3

则 3 sin ? ? a cos ? ? 1 .

3

3

解得 a ?1.

因此 f (x) ? 3 sin x ? cos x .

……………………….5 分

(Ⅱ) f (x) ? 3 sin x ? cos x

? 2( 3 sin x ? 1 cos x)

2

2

? 2sin(x ? ?) . 6

所以函数 f (x) 的最小正周期为T ? 2? .

由 2k?+ ? ? x ? ? ? 2k? ? ?? , k ?Z .

26

2

可得 2k?+ ?? ? x ? 2k? ? ?? , k ?Z .

3

3

因此函数 f (x) 的单调递减区间为[ 2k?+ ?? , 2k? ? ?? ], k ? Z .……………13 分

3

3

(16)(本小题满分 13 分)

(Ⅰ)在△ ABC 中,

因为 AB ? 2, A ? π , BC ? 2 , 6

由正弦定理可得 AB ? BC ,

B

sin ?ACB sin A



2 sin ?ACB

?

2 sin π

?

2 1

?

2

2,

AC

D

62

所以 sin ?ACB ? 2 . 2
因为 ?ACB 为钝角,所以 ?ACB ? 3π . 4

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所以 ?BCD ? π . ………………………………………………………………6 分 4
(Ⅱ)在△ BCD 中,由余弦定理可知 BD2 ? CB2 ? DC2 ? 2CB ? DC ? cos ?BCD , 即 BD2 ? ( 2)2 ? ( 3 ?1)2 ? 2 ? 2 ? ( 3 ?1) ? cos π , 4 整理得 BD ? 2.
在△ ABC 中,由余弦定理可知 BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2AB ? AC ? cos A , 即 ( 2)2 ? 22 ? AC2 ? 2 ? 2 ? AC ? cos π ,
6 整理得 AC2 ? 2 3AC ? 2 ? 0 .解得 AC ? 3 ?1 .

因为 ?ACB 为钝角,所以 AC ? AB ? 2 .所以 AC ? 3 ?1.

所以△ ABC 的面积 S ? 1 AC ? AB ?sin A ? 1 ? 2? ( 3 ?1)? 1 ? 3 ?1 .

2

2

22

(17)(本小题满分 13 分)

…………………….13 分

(Ⅰ)由已知可得,

???a1q ? ? ???a1 (1 ?

1 4
q

?

q2)

?

7 8

解得 q ? 2 或 q ? 1 . 2

由上面方程组可知

a1

?

0

,且已知数列?an?

为递减数列,所以

q

?

1 2

.

代入求得 a1

?

1
,
2

则 an

=

骣 ???桫12÷÷÷n .

Sn =

1 2

轾 ?犏 臌1

1-

( 1 )n ? 2 = 11

骣 ???桫12

n
÷÷÷

2

……………………….6 分

(Ⅱ)依题意,

bn ? bn?2 2

?

1 2 (log2 Sn

? log2 Sn?2 ) ?

1 2 log2 (Sn ? Sn?2 )

1
? log2 (Sn ? Sn?2 ) 2 ;

bn?1 ? log2 Sn?1 ,

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由于函数 y ? log2 x 在定义域上为增函数,

1
所以只需比较 (Sn ? Sn?2 ) 2 与 Sn?1 的大小关系,

即比较

Sn

×Sn+

2



S

2 n+

1

的大小关系,

轾 犏 犏 犏 臌1-

骣 珑 珑 珑 桫12

n
鼢 鼢 鼢

轾 犏 犏 犏 臌1-

骣1 桫2

n+ 2

=1-

骣 珑 珑 珑 桫12鼢 鼢 鼢n -

骣1 桫2

n+ 2 + 骣 桫 ???12???2n+ 2 ,

轾 犏 犏 犏 臌1- 骣 ???桫12÷÷÷n+1 2 = 1- 2?骣 珑 珑 珑 桫12鼢 鼢 鼢n+1

骣1 2n+ 2 桫2 ,

由于

骣 珑 珑 珑 桫12鼢 鼢 鼢n +

骣1 桫2

n+ 2
>2

骣 桫 ???12

2
???

n+

2

,

即骣 珑 珑 珑 桫12鼢 鼢 鼢n +

骣1 桫2

n+ 2

>

2????骣 桫12???n+1 ,

所以 轾 犏 犏 犏 臌1-

骣 珑 珑 珑 桫12

n
鼢 鼢 鼢

轾 犏 犏 犏 臌1-

骣1 桫2

n+ 2

< 轾 犏 犏 犏 臌1- 骣 ???桫12÷÷÷n+1 2

.

即 Sn ×Sn+ 2 < S 2n+ 1 ,

即 bn + bn+ 2 2

<

bn+ 1

……………………….13 分

18. (本小题满分 14 分)
(Ⅰ) f (x) ? 的定义域为 x x ? a? .

f ?(x) =

x(x - 2a) (x- a)2 .

(1)当 a = 0 时, f (x) ? x(x ? 0), f ?(x) = 1 ,则 x ????,0? ,?0, ??? 时, f (x) 为增函数;

(2)当 a > 0 时,由 f ?(x) > 0 得, x ? 2a 或 x ? 0 ,由于此时 0 ? a ? 2a ,

所以 x ? 2a 时, f (x) 为增函数, x ? 0 时, f (x) 为增函数;

由 f ?(x) < 0 得, 0 ? x ? 2a ,考虑定义域,当 0 ? x ? a , f (x) 为减函数,

a ? x ? 2a 时, f (x) 为减函数;

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(3)当 a < 0 时,由 f ?(x) > 0 得, x ? 0 或 x ? 2a ,由于此时 2a ? a ? 0 ,所以

当 x < 2a 时, f (x) 为增函数, x ? 0 时, f (x) 为增函数.

由 f ?(x) < 0 得, 2a ? x ? 0 ,考虑定义域,当 2a ? x ? a , f (x) 为减函数,

a ? x ? 0 时, f (x) 为减函数.

综上,当 a = 0 时,函数 f (x) 的单调增区间为(- ? ,0),(0,+ ? ).

当 a > 0时,函数 f (x) 的单调增区间为 x ? ( ? ,0),(2a,+ ? ) ,

单调减区间为(0, a),(a, 2a).

当 a < 0时,函数 f (x) 的单调增区间为 x ? ( ? , 2a),(0,+ ? )

单调减区间为(2a, a),(a, 0).

(Ⅱ)解:

……………………….7 分

(1) 当 a ? 0 时,由(Ⅰ) 可得, f (x) 在 (1, 2) 单调增,且 x ? (1, 2) 时 x ? a.

(2) 当 0 ? 2a ?1时,即 0 ? a ? 1 时,由(Ⅰ) 可得, f (x) 在(2a,+ ? ) 单调增,即在 (1, 2) 单调
2 增,且 x ? (1, 2) 时 x ? a.

(3)当1? 2a ? 2 时,即 1 ? a ? 1时,由(Ⅰ) 可得, f (x) 在 (1, 2) 上不具有单调性,不合题意. 2
(4)当 2a ? 2 ,即 a ?1时,由(Ⅰ) 可得, f (x) 在(0, a) ,(a, 2a)为减函数,同时需注意 a ??1, 2? ,

满足这样的条件时 f (x) 在 (1, 2) 单调减,所以此时 a ?1或 a ? 2 .

综上所述, a ? 1 或 a ?1或 a ? 2 . 2
19.(本小题满分 14 分)
(Ⅰ) f (x) ? sin x ? 2 具有性质 M .

……………………….14 分

依题意,若存在 x0 ? (?2, 2) ,使 f (x0 ) ? 1 ,则 x0 ? (?2, 2) 时有 sin x0 ? 2 ? 1,即 sin x0 ? ?1,

x0

?

2k? ?

? 2



k

?Z

.由于

x0

?

(?2,

2), 所以

x0

?

?

? 2

.又因为区间

(?2, 2)

内有且仅有一个

x0

?

?

? 2

,使

f

(x0 )

? 1 成立,所以

f

(x)

具有性质 M …5 分

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(Ⅱ)依题意,若函数 f (x) ? x2 ? 2mx ? 2m ?1具有性质 M ,即方程 x2 ? 2mx ? 2m ? 0 在 (?2, 2)

上有且只有一个实根.
设 h(x) ? x2 ? 2mx ? 2m ,即 h(x) ? x2 ? 2mx ? 2m 在 (?2, 2) 上有且只有一个零点.

解法一:

(1)当 ?m ? ?2 时,即 m ? 2 时,可得 h(x) 在 (?2, 2) 上为增函数,

只需

?h(?2) ? 0, ??h(2) ? 0,

解得

?m ? ???m

? ?

2, ?2
3

,

交集得

m

?

2

.

(2)当 ?2 ? ?m ? 2 时,即 ?2 ? m ? 2 时,若使函数 h(x) 在 (?2, 2) 上有且只有一个零点,需考虑

以下 3 种情况:
(ⅰ) m ? 0 时, h(x) ? x2 在 (?2, 2) 上有且只有一个零点,符合题意.

(ⅱ)当

?2

?

?m

?

0



0

?

m

?

2

时,需

?h(?2) ? 0, ??h(2) ? 0,

解得

?m ? ???m

? ?

2, ?2
3

,

交集得

?

.

(ⅲ)当

0

?

?m

?

2

时,即

?2

?

m

?

0

时,需

?h(?2) ? 0, ??h(2) ? 0,

解得

?m ? ???m

? ?

2, ?2
3

,

交集得

?2 ? m ? ? 2 . 3

(3)当 ?m ? 2时,即 m ? ?2 时,可得 h(x) 在 (?2, 2) 上为减函数

只需

?h(?2) ? 0, ??h(2) ? 0,

解得

?m ? ???m

? ?

2, ?2
3

,

交集得

m

?

?2

.

综上所述,若函数 f (x) 具有性质 M ,实数 m 的取值范围是 m ? ? 2 或 m ? 2 3

或m?0

……………………14 分

解法二: 依题意,
(1)由 h(?2) ? h(2) ? 0 得, (4 ? 2m)(6m ? 4) ? 0 ,解得 m ? ? 2 或 m ? 2 . 3
同时需要考虑以下三种情况:

(2)



??2 ? ?m ??? ? 0,

?

2,

解得

m

?

0

.

(3)由

??2 ? ?m ? ??h(?2) ? 0,

0,

解得

?0 ? m ? ??m ? 2,

2,

不等式组无解.

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(4)由

?0 ? ?m ? ??h(2) ? 0,

2,

解得

??2 ? m ?

?

???m

?

?

2 3

,

0,

解得

m

?

?

2 3

.

综上所述,若函数 f (x) 具有性质 M ,实数 m 的取值范围是 m ? ? 2 或 m ? 2 3

或m?0

20. (本小题满分 13 分)

…………………14 分

(Ⅰ)1,3,1,5 ; 1,3, 2,5 ;1,3,3,5

……………………….3 分

(Ⅱ)因为 an

?

tn2

?n

,t

?

? ??

1 4

,

1 2

? ??

所以 1 ? (1, 2) . 2t

所以当 n ? 2 时,总有 an?1 ? an .

又 a1 ? t ?1, a3 ? 9t ? 3.

所以 a3 ? a1 ? 8t ? 2 ? 0 .

故 n ? 3 时,总有 bn ? an .

从而只需比较 a1 和 a2 的大小.

(1)



a1

?

a2

,即

t

?1

?

4t

?

2

,即

t

?

? ??

1 3

,

1 2

? ??

时,

?an? 是递增数列,此时 bn ? an 对一切 n ? 1, 2,3,...100 均成立.

所以 (b1 ? a1) ? (b2 ? a2 ) ? (b3 ? a3) ? ? (b100 ? a100 ) ? 0 .

(2)



a1

?

a2

时,即

t

?1

?

4t

?

2 ,即

t

?

? ??

1 4

,

1 3

? ??

时,

b1 ? a1 , b2 ? a1 , bn ? an ?n ? 3? .

所以 (b1 ? a1) ? (b2 ? a2 ) ? (b3 ? a3 ) ? ? (b100 ? a100 )
? 0 ?? (t ? 1?) t( ?4 ?2? ) ? 0? . . . 0
?1? 3t .

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综上,原式 =

???1

?

3t,

t

?

? ??

?

1 4

,

1 3

? ??

??? 0

,

t

?

? ??

1 3

,

1 2

? ??

.

……………………….9 分
(Ⅲ)154 . 首项为 1 的数列有 6 个; 首项为 2 的数列有 6 ? 2 ? 8个; 首项为 3 的数列有 6 ? 4 ? 2 ?12 个; 首项为 4 的数列有 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 24 个; 所以,控制阶数为 2 的所有数列首项之和 6 ?8?2 ?12?3? 24? 4 ?154 .
……………………13 分

12 / 12