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函数定义域、值域经典习题及答案


复合函数定义域和值域练习题
一、 求函数的定义域
1、求下列函数的定义域: ⑴y?

x 2 ? 2 x ? 15 x ?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

⑶y?

1 1? 1 x ?1

? (2 x ? 1)0 ? 4 ? x 2

2、设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_

_;函数 f ( x ? 2) 的定义域为_______; ;函数 f ( ? 2) 的定义域

3 、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 为 。

1 x

4、 知函数 f ( x ) 的定义域为 [?1, 1] ,且函数 F ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m) 的定义域存在,求实数 m 的取值 范围。

二、求函数的值域
5、求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R) ⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2] ⑷y? ⑶y?

3x ? 1 x ?1

3x ? 1 2 x ?6 ( x ? 5) ⑸ y ? x ?1 x ?2

⑹ y?

5 x 2+9x ? 4 x2 ?1

⑺ y ? x ? 3 ? x ?1 ⑽ y ? 4 ? ? x2 ? 4x ? 5 6、已知函数 f ( x) ?

⑻ y ? x 2 ? x ⑼ y ? ? x2 ? 4x ? 5 ⑾ y ? x ? 1 ? 2x

2 x 2 ? ax ? b 的值域为[1,3],求 a , b 的值。 x2 ? 1

三、求函数的解析式
2 1、 已知函数 f ( x ? 1) ? x ? 4 x ,求函数 f ( x ) , f (2 x ? 1) 的解析式。 2 2、 已知 f ( x ) 是二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? 2 x ? 4 x ,求 f ( x ) 的解析式。

3、已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) =

。 _

4、设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??,0) 时 f ( x ) =____

f ( x) 在 R 上的解析式为
5 、 设 f ( x ) 与 g ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R, 且x ? ?1} , f ( x )
1

是 偶 函 数 , g ( x) 是 奇 函 数 , 且

1 ,求 f ( x ) 与 g ( x) 的解析表达式 x ?1 1 1 3 6. (1)已知 f ( x ? ) ? x ? 3 ,求 f ( x ) ; x x 2 (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; x (3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ; 1 (4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) . x f ( x) ? g ( x) ?

四、求函数的单调区间
6、求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? ? x2 ? 2x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ? 1

7、函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上是单调递减函数,则 f (1 ? x 2 ) 的单调递增区间是 8、函数 y ?

2? x 的递减区间是 3x ? 6

;函数 y ?

2? x 的递减区间是 3x ? 6

五、综合题
9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ⑴ y1 ? )

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3

⑵ y1 ?

x ?1 x ?1 ,

y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ;

⑶ f ( x ) ? x , g ( x) ? A、⑴、⑵ 10、若函数 f ( x ) =

2 x 2 ; ⑷ f ( x) ? x , g ( x) ? 3 x3 ; ⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) , f 2 ( x) ? 2x ? 5 。

B、 ⑵、⑶
2

C、 ⑷

D、 ⑶、⑸ )

x?4 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是 ( mx ? 4mx ? 3 3 3 3 ) A、(-∞,+∞) B、(0, ] C、( ,+∞) D、[0, 4 4 4

11、若函数 f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( ) (A) 0 ? m ? 4 (B) 0 ? m ? 4 (C) m ? 4 (D) 0 ? m ? 4 )

12、对于 ?1 ? a ? 1 ,不等式 x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? a ? 0 恒成立的 x 的取值范围是( (A) 0 ? x ? 2 (B) x ? 0 或 x ? 2 (C) x ? 1 或 x ? 3 ) (D)

?1 ? x ? 1

13、函数 f ( x) ? 4 ? x 2 ? x 2 ? 4 的定义域是( A、 [?2, 2] 14、函数 f ( x) ? x ? B、 (?2, 2) C、 (??, ?2) )

(2, ??)

D、 {?2, 2}

1 ( x ? 0) 是( x

A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数

B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数
2

? x ? 2( x ? ?1) ? 2 15、函数 f ( x) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?2 x( x ? 2) ?
16 、 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 (0,1] , 则 g ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? a )( ? 为 。

1 ? a ? 0) 的 定 义 域 2

mx ? n 的最大值为 4,最小值为 —1 ,则 m = ,n= x2 ? 1 1 18、把函数 y ? 的图象沿 x 轴向左平移一个单位后,得到图象 C,则 C 关于原点对称的图象的解析式为 x ?1
17、已知函数 y ? 19、求函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在区间[ 0 , 2 ]上的最值、

20、若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2,当x ?[t , t ? 1] 时的最小值为 g (t ) ,求函数 g (t ) 当 t ?[-3,-2]时的最值。
2

21.设函数 f ( x) ? log 2

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) , x ?1

(1)求函数的定义域; (2)问 f ( x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明理由. (2)原函数即 f ( x) ? log 2 [( x ? 1)( p ? x)] ? log 2 [?( x ? 当

p ?1 ? 1 ,即 1 ? p ? 3 时,函数 f ( x) 既无最大值又无最小值; 2 p ?1 ? p ,即 p ? 3 时,函数 f ( x) 有最大值 2log 2 ( p ? 1) ? 2 ,但无最小值. 当1 ? 2

p ? 1 2 ( p ? 1)2 ) ? ], 2 4

复合函数定义域和值域练习题
答 案

一、函数定义域: 1、 (1) {x | x ? 5或x ? ?3或x ? ?6} (2) {x | x ? 0} (3) {x | ?2 ? x ? 2且x ? 0, x ?

1 , x ? 1} 2

3

2、 [?1,1] ;

[4, 9]

3、 [0, ];

5 2

1 1 (??, ? ] [ , ??) 3 2
(3) { y | y ? 3}

4、 ?1 ? m ? 1

二、函数值域: 5、 (1) { y | y ? ?4} (5) y ? [?3, 2) (9) y ? [0,3] 6、 a ? ?2, b ? 2 三、函数解析式: 1、 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 4、 f ( x) ? x(1 ? 3 x ) 四、单调区间: 6、 (1)增区间: [?1, ??) 减区间: (??, ?1] (2)增区间: [?1,1] 减区间: [1,3] ;
2 f ( 2x? 1 ) ? 4 x ? 4
3 ? ? x(1 ? x )( x ? 0) 3 ? ? x(1 ? x )( x ? 0)

(2) y ? [0,5]

(4) y ? [ ,3) (8) y ? R

7 3

(6) { y | y ? 5且y ? } (7) { y | y ? 4} (10) y ? [1, 4] (11) { y | y ? }

1 2

1 2

2、 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 5、 f ( x) ?

3、 f ( x ) ? 3 x ?

4 3

; f ( x) ? ?

1 x ?1
2

g ( x) ?

x x ?1
2

(3)增区间: [?3, 0],[3, ??) 7、 [0,1] 五、综合题:

减区间: [0,3], (??, ?3]

8、 (??, ?2),(?2, ??)

(? 2 , 2 ]

C D B B D
14、 3 15、 (?a, a ? 1]

B
16、 m ? ?4

n?3

17、 y ?

1 x?2

18、解:对称轴为 x ? a (1) a ? 0时 , f ( x)min ? f (0) ? ?1

, f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a

(2) 0 ? a ? 1时 , f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a (3) 1 ? a ? 2时 , f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f ( x)max ? f (0) ? ?1 (4) a ? 2时 , f ( x)min ? f (2) ? 3 ? 4a , f ( x)max ? f (0) ? ?1

?t 2 ? 1(t ? 0) ? 19、解: g (t ) ? ?1(0 ? t ? 1) ?t 2 ? 2t ? 2(t ? 1) ?

t ? (??, 0] 时, g (t ) ? t 2 ? 1 为减函数

? ?

在 [?3, ?2] 上, g (t ) ? t ? 1 也为减函数
2

g (t )min ? g (?2) ? 5 , g (t )max ? g (?3) ? 10
4


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