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【优化方案】高中数学 第2章2.3.2双曲线的几何性质精品课件 苏教版选修2-1_图文

2.3.2 双曲线的几何性质 学习目标 1.了解双曲线的几何性质. 2.会用双曲线的几何性质处理简单问题. 课前自主学案 2.3.2 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 温故夯基 x2 y2 1.椭圆 + =1 上点的坐标范围是 25 9 |_______________ x|≤5,|y|≤3 A1(-5,0) , A2(5,0) , , 顶点是_________ _________ 4 = . B B2(0,3) ,离心率是e _________ _____ 1(0,-3) ,_________ 5 2. 过点 ?8 3 P? ,- ? 3 ? ? ? 且焦点为 3?, 2 ? 2 x y - 的双曲线标准方程是_________ =1. 16 9 F1(-5,0), F2(5,0) 知新益能 双曲线的几何性质 2 2 标准 x2 y2 y x 方程 a2-b2=1(a>0,b>0) a2-b2=1(a>0,b>0) 图形 焦点 焦距 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) |F1F2|=2c 范围 性 质 对称性 顶点 轴长 离心率 渐近线 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 关于x轴、y轴和原点对称 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 2a ,虚轴长=___ 2b 实轴长=___ c e= (e>1) a x y ± =0 a b x y ± =0 b a 问题探究 1.能不能用a,b表示双曲线的离心率? c 提示: 能. e= = a a2+b2 2 = a b 1+ 2. a 2 2.不同的双曲线,渐近线能相同吗?其方 程有何特点? x2 y2 y2 x2 提示: 能相同. 双曲线 2- 2=1 与 2- 2= a b b a 1 的渐近线就相同, 所以具有相同渐近线的 x2 y2 双曲线可设为 2- 2=λ(λ≠0,λ∈R),λ>0 a b 时, 焦点在 x 轴上, λ<0 时, 焦点在 y 轴上. 课堂互动讲练 考点突破 双曲线的几何性质的 简单应用 利用双曲线的几何性质,能够完成基本量 a, b,c,e之间的互求;按照题中的要求,可以 正确地写出范围、实轴长、虚轴长、顶点坐 标、焦点坐标、渐近线方程、离心率等;根 据双曲线所满足的几何条件,可以求双曲线 的标准方程. 求以2x±3y=0为渐近线,且过点(1,2) 的双曲线方程. 例1 【思路点拨】 所求双曲线方程的渐近线已 知,因此可用有共同渐近线的双曲线系求解 ,也可按焦点在坐标轴上的位置分类讨论, 利用待定系数法求解. 【解】 法一:设所求双曲线方程为4x2- 9y2=λ(λ≠0),点(1,2)在双曲线上,将点(1,2) 的坐标代入方程可得λ=-32,故所求的双 曲线方程为4x2-9y2=-32, 9y 2 x 2 即 - =1. 32 8 2 法二:渐近线为 y=± x, 3 x2 设双曲线焦点在 x 轴上, 标准方程为 2- a y2 2=1, b 2 b 则有 = .① 3 a 1 4 又∵双曲线过点(1,2),∴ 2- 2=1.② a b ? ?2=b, ?3 a 由①②联立方程组得? 4 ?1 2- 2=1, ? b ?a 无解. y 2 x2 设双曲线焦点在 y 轴上, 标准方程为 2- 2=1, a b ? ? 42- 12=1, ? 2 32 ?a = , ?a b 9 由题意知? ?? ?2 a ? 2 ?b =8. = ? ?3 b 9y x ∴双曲线方程为 - =1. 32 8 2 2 【名师点评】 (1)若已知渐近线方程为 mx±ny=0,求双曲线方程.双曲线的焦点 可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的 方法来解决. 法一:分两种情况设出方程进行讨论. 法二:依据渐近线方程,设出双曲线为m2x2 -n2y2=λ(λ≠0),求出λ即可. (2)本题法一的设法给解题带来方便,但法二 是基本解法应重点掌握. 自我挑战 1 根据以下条件求双曲线方 程: 5 (1)两顶点之间的距离是 16, 离心率是 ; 4 (2)过点(- 5,6),e= 10. 5 解:(1)由已知 2a=16,∴a=8,e= , 4 ∴c=10,∴b2=c2-a2=102-82=36. x2 y 2 y2 所求双曲线标准方程为 - =1 或 64 36 64 x2 - =1. 36 c (2)由已知 e= 10,∴ = 10, a ∴c= 10a,∴b2=c2-a2=9a2. ①当焦点在 x 轴上时,设双曲线的标准 x2 y 2 方程 2- 2=1. a 9a 又双曲线过点 A(- 5,6), ?- 5?2 62 2 ∴ - 2=1,解得 a =1, a2 9a 2 y 故所求双曲线标准方程为 x2- =1. 9 ②当焦点在 y 轴上时,设双曲线标准方 y 2 x2 程 2- 2=1, a 9a 即双曲线过点 A(- 5,6). 2 62 ?- 5? 319 2 ∴ 2- . 2 =1,解得 a = a 9a 9 2 2 y x ∴所求双曲线标准方程为 - =1. 319 319 9 综上所述,所求双曲线标准方程为 2 2 2 y y x 2 x - =1 或 - =1. 9 319 319 9 双曲线离心率的求值 c (1) 求 双 曲 线 的 离 心 率 主 要 是 利 用 e = = a b2 1+ 2,还要注意 e∈(1,+∞),根据这个取 a 值范围进行取舍. (2)求离心率 e 的取值范围时, 关键是找出 a, b, c 满足的不等式,然后转化成关于 e 的不等式进 行求解,同时还要注意隐含条件 e∈ (1,+∞ ). x2 y2 例2 已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0, a b b>0)的两个焦点,PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴