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江西省重点中学协作体2010届高三年级第二次联考 数学理


江西省重点中学协作体 2010 届高三年级第二次联考 2010 届高三年级第二次联考

数学试题(理)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的。 ) 1.复数 是 A. (

1 ai (a ∈ R, i 为虚数单位)在复平面上的对应的点位于第一象限,则 a 的取值范围 3 + 4i
( )

4 3 3 4 4 , ) B. ( ∞, ) C. ( ∞, ) D. ( ,+∞) 3 4 4 3 3 1+ x 2.设 f ( x ) = , 又记f ( x) = f k +1 ( x) = f ( f k ( x)), k = 1,2, , 则f 2010 ( x) = ( 1 x 1 x 1 1+ x A. x B. C. D. x x +1 1 x 3.在数学拓展课上,老师定义了一种运算“※” :对于 n ∈ N ,满足以下运算性质:
①2※2=1; A.1532 ②(2n+2)※2=(2n※2)+3,则 1024※2 的数值为 B.1533 C.1524 D.1536 (





4.正四棱锥相邻侧面所成的角为 α ,侧面与底面所成的角为 β ,则 2 cos α + cos 2 β 的值是 ( A.-1 B.1 )

3 C. 2

D.2

5.在 ABC 中,O 为外心,P 是平面内点,且满足 OA + OB + OC = OP ,则 P 是 ABC 的 ( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 )

6.对函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c作代换x = g (t ) ,则总不会改变函数 f ( x ) 的值域的代 换是 A. g (t ) = log1 t B. g (t ) = 2' C. g (t ) = sin t D. g (t ) = ( )

1 x3
( )

7.过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A1 在空间作直线 l ,使 l 与直线 AC 和 BC1 所成的角 都等于

π

3

,则这样的直线 l 共可以作出
1

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

8.平面上的点 P(x,y) ,使关于 t 的二次方程 t 2 + xt + y = 0 的根都是绝对值不超过 1 的实 数,那么这样的点 P 的集合在平面内的区域的形状是 ( )

9.已知两点 M (1, ), N ( 4, ) ,给出下列曲线方程:① 4 x + 2 y 1 = 0; ② x 2 + y 2 = 3;

5 4

5 4

x2 x2 2 ③ + y = 1; ④ y 2 = 1 。在这些曲线上存在点 P 满足 | MP |=| NP | 的所有曲线 2 2
方程是 ( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 10.将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,设两条直线

l1 : ax + by = 2, l 2 : x + 2 y = 2, l1与l 2 平行的概率为 P1,相交的概率为 P2,则 P2-P1 的大
小为 A. ( B. )

31 36

5 6

C.

5 6

D.

31 36
*

11.若关于 x 的方程 a x + 2 x 4 = 0( a > 0且a ≠ 1) 的所有根记作 x1 , x 2 , , x m ( m ∈ N ) , 关于 x 的方程 log a + x 2 = 0 的所有根记作 x1 , x 2 , , x n ( n ∈ N ), 则
2x ' ' ' * ' ' x1 + x 2 + … + x m + x1' + x 2 + … + x n 的值为 m+n





A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

12.已知平面内一点 P ∈ {( x, y ) | ( x 2 cos α ) 2 + ( y 2 sin α ) 2 = 16, α ∈ R} ,则满足条件 的点 P 在平面内所组成的图形的面积是 A.36π B.32π C.16π
2

( D.4π



第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中的横线上) 13.若 ( x + 1) = x + + ax + bx + + 1, 且a = 669b, 则n =
n n 3 2



14.对于集合 N = {1,2,3, , n} 及其它的每一个排空子集,定义一个“交替和”如下:按照 递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2,4,6,9}的交替和是 9-6+4-2+1=6,集合{5}的交替和为 5,等等。当集合 N 中的 n=2 时,集合 N = {1,2} 的所有非空子集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和

S 2 = 1 + 2 + (2 1) = 4 , 请你尝试对 n=3, 的情况, n=4 计算它的 “交替和” 的总和 S 3 , S 4 ,
并根据其结果猜测集合 N = {1,2,3, n} 的每一个非空子集的“交替和”的总和 S n = 。 15.若关于 x,y 方程组

mx y + 1 2m = 0 有两个不同的解,则实数 m 的取值范围是 4 x2 y = 0

。 16.若 AB 是过二次曲线中心的任一条弦,M 是二次曲线上异于 A,B 的任一点,且 AM, BM 均与坐标轴不平行,则对于椭圆

x2 y2 b2 + 2 = 1 有 K AM K BM = 2 . 类似地,对于 a2 b a


x2 y2 双曲线 2 2 = 1 有 K AM K BM = a b

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答时写出文字说明,证明过程或解题步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = px

p 2 ln x, 其中p ∈ R. x

(1)若函数 f (x ) 在其定义域内为单调递增函数,求实数 p 的取值范围。

3

(2)若函数 g ( x ) =

2e , 且p > 0 ,若在[1,e]上至少存在一个 x 的值使 f ( x) > g ( x) 成 x

立,求实数 p 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 高考数学考试中共有 12 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且仅有一个 是正确的。评分标准规定: “在每小题给出的上个选项中,只有一项是符合题目要求的, 答对得 5 分,不答或答错得 0 分” 。某考生每道选择都选出一个答案,能确定其中有 8 道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题都可判断出两个选项错误的,有一道题可 能判断一个选项是错误的, 还有一道题因不理解题意只能乱猜。 试求出该考生的选择题: (1)得 40 分的概率; (2)得多少分的概率最大? (3)所得分数 ξ 的数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a = (sin α , cos α ), b = (6 sin α + cos α ,7 sin α 2 cos α ), 设函数f (α ) = a b (1)求函数 f (α ) 的值; (2)在锐角三角形 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, f ( A) = 6, 且 ABC 的

4

面积为 3, b + c = 2 = 3 2 , 求α 的值。

20. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥ 平面 ACE。 (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE//平面 BFD; (3)求三棱锥 C—BGF 的体积。

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 中,a1=1,且满足递推关系 a n +1 (1)当 m=1 时,求数列 {a n } 的通项 a n ; (2)当 n ∈ N 时,数列 {a n } 满足不等式 a n +1 ≥ a n 恒成立,求 m 的取值范围;
*

2 2a n + 3a n + m = (n ∈ N * ). an + 1

5

(3)在 3 ≤ m < 1 时,证明

1 1 1 1 + + + ≥ 1 n . a1 + 1 a 2 + 1 an + 1 2

22. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆:

x2 y2 + = 1, 过点 F(4,0)作两条互相垂直的弦 AB,CD,设 25 9

弦 AB,CD 的中点分别为 M,N。 (1)线段 MN 是否恒过一个定点?如果经过定点,试求出它的坐标,如果不经过定点, 试说明理由; (2)求分别以 AB,CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程。

参考答案
一、选择题 1—6 CBCADA 7—12 二、填空题 13.2009 14. n 2
n 1

CDDACB

6

15.

3 1 , 4 4

16.

b2 a2

三、解答题 17.解: (1)∵ f ' ( x) = p +

p 2 px 2 2 x + p = ,依题意, x2 x x2

f (x) 在其定义域内的单调递增函数,
只需 f ' ( x)在(0,+∞) 内满足 f ' ( x ) ≥ 0 恒成立, 即 px 2 2 x + p ≥ 0对x ∈ (0,+∞) 恒成立, 亦即 p ≥

2x 2 = 对x ∈ (0,+∞) 恒成立, x +1 x + 1 x
2

∴p≥(

2 1 x+ x

) max 即可

…………3 分

又 x ∈ (0,+∞)时,

2x 2 2 = ≤ = 1, 1 2 x +1 x + x
2

当且仅当 x =

1 ,即 x=1 时取等号, x

∴ 使函数f (x) 在其定义域内为单调增函数的实数 p 的取值范围是 [1,+∞ ) …………5 分
(2) 在[1, e]上至少存在一个 x 的值使 f ( x ) > g ( x ) 成立, 等价于不等式 f ( x ) g ( x ) > 0 在[1,e]上有解, 设 F ( x ) = f ( x ) g ( x ) = px …………7 分

p 2e 2 ln x , x x

F ' ( x) = p +

p 2 2e px 2 + p 2 x + 2e + = > 0, x2 x x2 x2
7

∴ F ( x)为[1, e] 上的增函数, F ( x) max = F (e),
p 4e 4 > 0, 解得p > 2 e e 1 4e ∴ 实数 p 的取值范围是 ( 2 ,+∞ ) e 1
依题意需 F (e) = pe 依题意,易知在其余的四道题中,有两道题答对的概率各为

…………10 分

…………12 分

18.解: (1)要得 40 分,就是除能确定做对的 8 道题之外,其余 4 题全部做错。

1 ,有一道题答对的概率为 2

2 3 ,还有一道题答对的概率为 ,所以他做选择题得 60 分的概率为: 3 4 1 1 2 3 1 P= × × × = . …………5 分 2 2 3 4 8
(2)依题意,该考生选择题得分的可能取值有:40,45,50,55,60 共五种 得分为 40,表示只做对有把握的那 8 道题,其余各题都做错,于是其概率为:

P1 =

1 1 2 3 6 × × × = 2 2 3 4 48

类似的,可知得分为 45 分的概率:

1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 17 × × × + × × × + × × × = ; 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48 17 得分为 50 的概率: P3 = ; 48 7 得分为 55 的概率: P4 = ; 48 1 得分为 60 的概率: P5 = . …………10 分 48 ∴ 该生选择题得分为 45 分或 50 分的可能性最大。
1 P2 = C 2

(3)由(2)可知 ξ 的分布列为:

ξ
P

40

45

50

55

60

17 7 1 48 48 48 6 7 17 7 1 575 ∴ Eξ = 40 × + 45 × + 50 × + 55 × + 60 × = . …………12 分 48 48 48 48 48 12
19.解: (1) f (α ) = a b = sin α (6 sin α + cos α ) + cos α (7 sin α 2 cos α ) = 6 sin 2 α 2 cos 2 α + 8 sin α cos α = 4(1 cos 2α ) + 4 sin 2α 2
8

6 48

17 48

= 4 2 sin(2α

π
4

)+2

…………4 分 …………5 分

∴ f (α ) max = 4 2 + 2

(2)由(I)可得 f ( A) = 4 2 sin( 2 A 因为 0 < A <

π
4

) + 2 = 6, sin(2 A

π
4

)=

2 2

π
2

, 所以

π
4

< 2A

π
4

<

3π π π π ,2 A = , A = …………7 分 4 4 4 4
…………9 分

∵ S ABC =

1 2 bc sin A = bc = 3 ∴ bc = 6 2 2 4

又b + c = 2 + 3 2

∴ a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A = (b + c) 2 = 2bc 2bc × = (2 + 3 2 ) 2 12 2 2 × 6 2 × 2 = 10. 2

2 2

∴ a = 10 .

…………12 分

20.解: (1)证明:∵ AD ⊥ 平面 ABE,AD//BC, ∴ BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC。 又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF, ∴AE⊥平面 BCE。 …………3 分 (2)证明:依题意可知:G 是 AC 的中点, ∵BF⊥平面 ACE 则 CE⊥BF,而 BC=BE, ∴F 是 EC 中点。 在 AEC 中,FG//AE, ∴ AE//平面 BFD。 …………7 分 (3)解:∵AE//平面 BFD, ∴AE//FG,而 AE⊥平面 BCE, ∴FG⊥平面 BCE, ∵FG⊥平面 BCF ∴G 是 AC 中点, ∵F 是 CE 中点,

E

∴ FG//AE 且 FG =
∴BF⊥CE。

∵ BF ⊥ 平面 ACE。

1 AE = 1. 2

9

∴ RtBCE中, BF = CF = ∴ S CFB = ∴VC BFG

1 CE = 2 . 2

1 2 2 = 1. 2 1 1 = VG BCF = S CFB FG = . 3 3

…………12 分

21.解: (1)m=1,由 a n +1 =

2 2a n + 3a n + 1 (n ∈ N * ) ,得: an + 1

a n+1 =

2(a n + 1)(a n + 1) = 2a n + 1, 所以a n +1 + 1 = 2(a n + 1), an + 1

∴{a n + 1} 是以 2 为首项,公比也是 2 的等比例数列。
于是 a n + 1 = 2 2
n 1

,∴ a n = 2 n 1.

…………3 分

(2)由 a n +1 ≥ a n .而a1 = 1, 知a n > 0,



2 2a n + 3a n + m 2 ≥ a n , 即m ≥ a n 2 a n an + 1 2

依题意,有 m ≥ ( a n + 1) + 1 恒成立。

∵ a n ≥ 1,∴ m ≥ 2 2 + 1 = 3 ,即满足题意的 m 的取值范围是 [ 3,+∞ ) …………7 分
(3) 3 ≤ m < 1 时,由(2)知 a n +1 ≥ a n , 且a n > 0. 设数列 c n =

an + 1 1 1 1 , 则c n +1 = = = , 2 an + 1 a n +1 + 1 2a n + 3a n + m 2(a n + 1) 2 + m 1 +1 an + 1

∵ m < 1,即m 1 < 0,
故 c n +1 >

an + 1 1 1 1 = = cn , 2 2 an + 1 2 2(a n + 1)

…………9 分

∴ c1 =

1 1 1 1 1 1 1 = , c 2 > c1 = 2 , c3 > c 2 , , c n > c n +1 = n (n ≥ 2时) a1 + 1 2 2 2 2 2 2
10

1 1 (1 n ) 1 1 1 1 1 1 2 ∴ c1 + c 2 + + c n = + ++ > + 2 ++ n = 2 1 a1 + 1 a 2 + 1 an + 1 2 2 2 1 2 1 = 1 n . 2
即在 3 ≤ m < 1时, 有

1 1 1 1 + + + ≥ 1 n 成立 a1 + 1 a 2 + 1 an + 1 2

…………12 分

22.解: (1)设直线 AB 的方程为: x = ty + 4, 代入

x2 y2 + = 1 并整理得: 25 9

(9t 2 + 25) y 2 + 72ty 81 = 0.
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则有:

72t 200 , x1 + x 2 = t ( y1 + y 2 ) + 8 = 2 , 9t + 25 9t + 25 100 36t 所以点 M ( 2 , 2 ) …………3 分 9t + 25 9t + 25 y1 + y 2 =
2

1 100t 2 36t ∵ AB ⊥ CD ,∴将 t 换成 ,即得: N ( , ). …………4 分 2 t 9 + 25t 9 + 25t 2
由两点式得直线 MN 的方程为

25 1 50 (t ) y = . 34 t 17 50 50 当 y=0 时, x = , 所以直线 MN 恒过定点 ( ,0) 。 17 17
x
(2)以弦 AB 为直径的圆 M 的方程为:

…………6 分

x2 + y2

200 72t 319 225t 2 x+ 2 y+ =0① 9t 2 + 25 9t + 25 9t 2 + 25
1 t

…………8 分

又∵ AB ⊥ CD,∴ 将 t 换成 ,即得以弦 CD 为直径的圆 N 的方程为:

200t 2 72t 319t 2 225 x +y x y+ = 0. ② 9 + 25t 2 9 + 25t 2 9 + 25t 2
2 2

…………10 分

11

①—②得两圆公共弦所在直线方程为: 25 x +

17 118 = 0. ③ 1 t t
…………12 分

又直线 MN 的方程为: x

25 1 50 (t ) y = . ④ 34 t 17

联解③④,消去 t ,得两圆公共弦中点的轨迹方程为:

1 t

50 118 )( x ) + y2 = 0。 17 25 50 其轨迹是过定点 ( ,0) 的圆。 17 (x

…………14 分

12


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