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湖北省黄冈中学2013届高三10月月考数学(文)试题


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湖北省黄冈中学 2013 届高三 10 月月考数学(文)试题
命题人:袁小幼 审稿人:蔡盛 校对:周永林 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数
i 1? i 1 2

的共轭复数为(
? 1 2 i 1? i i ? (1 ? i ) 2 1 2 i i

) B.
1 2 ? 1 2 i

A. ? D.
1 2

C. ?

1 2

?

1 2

i

?

【答案】 C 【解析】
? ?
? ? ?1 ? i 2 ? ? 1 2 ? 1 2 i

2.设 ? ? ? ? 2 , ? 1, ? 的个数是( A.1 【答案】A )

1 1 ? ? , ,1, 2 ? ,则使 f ( x ) ? x 为奇函数且在 (0, ? ? ) 单调递减的 ? 的值 2 2 ?

B.2

C.3

D.4

【解析】仅有 ? ? ? 1 时满足题意 3.以下说法错误的是( .. )

A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”. B. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. D.若命题 p: ? x ? R,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ? 则 ? p ? ? x ? R,则 x 2 ? x ? 1 ? 0 . 【答案】C 【解析】若 p ? q 为假命题,则只需 p 、 q 至少有一个为假命题即可. 4.等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 3 ? a 9 ? a15 ? a17 ? 0 ,则 S 21 的值是( A. 1 【答案】 C B. ? 1 C. 0 D.不能确定 )

【解析】 a 3 ? a 9 ? a15 ? a17 ? 4 a11 ? 0,? a11 ? 0 , S 21 ? 2 1a11 ? 0 5.某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所示,则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的 俯视图的是( )

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A. , (1)(3) B. , (1)(4) C. (2)(4) D. , , , (1)(2)(3)(4) , 【答案】A 【解析】可以是一个正方体上面一个球,也可以是一个圆柱上面一个球. 6.一同学在电脑中打出如下若干个圆:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?, 若依此规律继续下去,得到一系列的圆,则在前 2 012 个圆中共有●的个数是( A.61 B.62 C.63 D.64 )

【答案】A 【解析】作如下分类○●,○○●,○○○●,○○○○●,??, n?n+3? n?n+3? ∴第 n 个●前共有小球的个数为 由题意知 ≤2012∴n=61. 2 2 7.已知:如图,
??? ? OA ??? ? ??? ? ??? ? | O A |? | O B |? 1 , O A

与 O B 的夹角为 120 ? , O C 与 ( ? 、 ? ? R )则
? ?

??? ?

????

C B

的夹角为 30 ? ,若 O C )
3 2

????

??? ? ??? ? ? ? OA? ? OB



于( A.

O

A

B.

2 3

3

C.

1 2

D.2

【答案】D 【解析】应用向量加法三角形法则知 8. ? ABC 中, A ?
? ?
? ?
? 1 s in 3 0
?

=2 )
? ?

?
3

,BC=3,则 ? ABC 的周长为(
? ?

A. 4 3 sin ? B ?

??3 3 ?

B. 4 3 sin ? B ?

? ?

??3 6 ?

C. 6 sin ? B ?
?
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?

? ?

??3 3 ?

D. 6 sin ? B ?
?

?

? ?

??3 6 ?

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【答案】D 【解析】方法 1:由正弦定理得
3 s in

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?
3

?

b s in B

?

c s in C

?

b?c s in B ? s in C
2? 3

?

b?c s in B ? s in ( 2? 3 ? B)



得 b+c= 2 3 [sinB+sin( = 6 sin ? B ?
? ?

-B)]= 6 s in ( B ?

?
6

) .故三角形的周长为:3+b+c

? ?

?? 3. 6 ?

方法 2:可取△ABC 为直角三角形时,即 B=

?
6

,周长应为 3 3 +3,故排除 A、B、C.

9. 已知实数 a , b 满足等式 2 a ? 3 b , 下列五个关系式: 0 ? b ? a ; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b ; ① ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b . 其中可能成立的关系式有( A.①②③ 【答案】B 【解析】设 2 a ? 3 b ? k , 则 a ? log 2 k , b ? log 3 k ,分别画出 y ? log 2 x , y ? log 3 x 的图 像可得. 10.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,令 T n ?
S1 ? S 2 ? ? ? S n n

) C.①③⑤ D.③④⑤

B.①②⑤

,称 T n 为数列 a 1 , a 2 ,??,

,已知数列 a 1 , a 2 ,??, a 5 0 0 的“平均和”为 2004,那么数列 2, a n 的“平均和”
a 1 , a 2 ,??, a 5 0 0 的“平均和”为(

) C.2006 D.2008

A.2002 【答案】A 【解析】
2004 ?

B.2004

500 a 1 ? 499 a 2 ? 498 a 3 ? ? ? a 500 500

,?

501 ? 2 ? 500 a 1 ? 499 a 2 ? 498 a 3 ? ? ? a 500 501

? 2002

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 11. sin 163 ? sin 223 ? ? sin 253 ? sin 313 ? ? 【答案】 【解析】
sin 163 ? sin 223 ? ? sin 253 ? sin 313 ? ? sin 163 ? sin 223 ? ? sin(163 ? ? 90 ? ) sin(223 ? ? 90 ? )
? s in 1 6 3 ? s in 2 2 3 ? ? c o s 1 6 3 ? c o s 2 2 3 ? ? c o s ( 2 2 3 ? ? 1 6 3 ? ) ? c o s 6 0 ? ? 1 2 . 1 2



12.不等式 2 x ? 1 ? 5 ? x 的解集是 【答案】 ( ?? , ? 6 ) ? ( , ?? )
3 4



【解析】两边平方转化为一元二次不等式.

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13.曲线 f ( x ) ? x 3 ? x 2 f ' (1) 在点 (2, m ) 处的切线斜率为 【答案】0

【解析】 f ?( x ) ? 3 x 2 ? 2 f ?(1) x , x ? 1 ,可得 f ? (1) ? ? 3 ,令 x ? 2 , 令 可得 f ?( 2 ) ? 0 14.函数 f ( x ) ? x ? ? x ? 2 ? x ? ? 1 有 【答案】2 【解析】分别画出 y ?
1 x

个零点.

与 y ? x ? 2 ? x 的图像,可得它们有 2 个交点.

15. 函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象如图 所示,则 f ?1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? ? ? f ? 2012 ? ? 【答案】 2 2 ? 2 【解析】由图象知
? ? 0,? ?
2? T ?

y



2 0 2 6
x

?
4

, ? f ? x ? ? 2 sin

?x
4

,其图象关于

? 4 , 0 ?, x

? 2 , x ? 6 对称知, f ?1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? ? ? f ? 8 ? ? 0, ? T ? 8, 2012 ? 251 ? 8 ? 4,

? f ? 1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? ? ? f ? 2012 ? ? f ?1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? f ? 4 ? ?
? f ?1 ? ? f

?2? ?

f

?3? ?

f

?4? ?

? 2? 3? 4? ? ? 2 ? s in ? s in ? s in ? s in ?? 2 4 4 4 4 ? ?

2 ? 2.

16 . 如 图 , 在 直 角 梯 形 A B C D 中 , A B ∥ C D , AD ? C D ? 1, AB ? 3 ,动点 P 在 B C D 内运动(含 边 界 ) , 设 A P ? ? A D? ? A B 则 ? ? ? 的 最 大 值 , 是 .
4 3
??? ? ???? ??? ?

【答案】

【解析】以 A 为原点, AB 为 x 轴建立直角坐标系,设 P ( x , y ) ,则
AD ? ( 0 ,1), AB ? ( 3 , 0 ) ,? x ? 3? , y ? ? ,? ? ?
?? ? ? ?
x 3 5 2 x 3 ? y 由线性规划知识知在点 C (1,1) 处取得最大值 4 3 ,? ? y,

. .

17.若 ? x ? (1, ) ,使函数 g ( x ) ? log 2 ( tx 2 ? 2 x ? 2) 有意义,则 t 的取值范围为 【答案】 t ? ?
1 2 5 2 x
2

【解析】不等式 tx 2 ? 2 x ? 2 ? 0 有属于 (1, ) 的解,即 t ?
2

?

2 x

有属于 (1, ) 的解.又
2

5

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1? x ? 5 2

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2 x

时,

2 5

?

1 x

? 1 ,所以

2 x
2

?

= 2(

1 x

?

1 2

) ?
2

1 2

∈[ ?

1 2

, 0 ) .故 t ? ?

1 2

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 7 5 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 18.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? { x |
6 x ?1 ? 1, x ? R } , B ? { x | x ? 2 x ? m ? 0} .
2

(Ⅰ)当 m =3 时,求 A ? ( ?R B ) ; (Ⅱ)若 A ? B ? { x | ? 1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值. 【解析】由
6 x ?1 ? 1, 得 x?5 x ?1 ? 0 , ? ? 1 ? x ? 5 ? A ? { x | ? 1 ? x ? 5} ,

(Ⅰ)当 m=3 时, B ? { x | ? 1 ? x ? 3} ,则 ?R B ? { x | x ? ? 1或 x ? 3}
? A ? ( C R B ) ? { x | 3 ? x ? 5}

(Ⅱ)? A ? { x | ? 1 ? x ? 5}, A ? B ? { x | ? 1 ? x ? 4},
? 有 4 ? 2 ? 4 ? m ? 0 , 解得 m ? 8 ,
2

此时 B ? { x | ? 2 ? x ? 4} ,符合题意,故实数 m 的值为 8. 19.(本小题满分 12 分) 已知 x
?

?
6

是函数

f ( x ) ? ( a sin x ? cos x ) cos x ?

1 2

图象的一条对称轴.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)作出函数 f ( x ) 在 x ? [ 0 , ? ] 上的图象简图(不要求书写作图过程) .

【解析】 (Ⅰ)∵ ∵x
?

f (x) ?

1 2

a sin 2 x ?

1 2

cos 2 x

,∴ f ( x ) 最值是 ?
f(

1 2

a ?1
2



?
6

是函数 f ( x ) 图象的一条对称轴,∴

?
6

) ? ?

1 2

a

2

?1



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1 2 a sin 2 (

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a
2

?
6

)?

1 2

cos 2 (

?
6

) ? ?

1 2

?1

, 整理得 (

a 2

?

3 2

)

2

? 0

,∴ a ?

3



(Ⅱ) f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) ,画出其简图如下:

20.(本小题满分 13 分) 某工厂去年的某产品的年销售量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,每只产品固 定成本为 8 元.今年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一 年多投入 100 万元(科技成本) ,预计销售量从今年开始每年比上一年增加 10 万只, 第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g ( n ) ?
8 n ?1

( n ? Z 且 n≥0) ,若产品销售

价保持不变,第 n 次投入后的年利润为 f ( n ) 万元. (Ⅰ)求出 f ( n ) 的表达式; (Ⅱ)若今年是第 1 年,问第几年年利润最高?最高利润为多少万元? 【解析】 (Ⅰ) f ( n ) ? (100 ? 10 n ) (10 ?
8 n ?1 ) ? 100 n .

(Ⅱ)由 f ( n ) ? (100 ? 10 n )( 10 ?

8 n ?1 9 n ?1

) ? 100 n ? 1 000 ? 80

(

n ? 10 n ?1

) ? 1 000 ? 80 (

n ?1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2

9 ? 520 .

当且仅当 n ? 1 ?

9 n ?1

,即 n=8 时取等号,

所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元. 21.(本小题满分 14 分)

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已知 { a n } 是正数组成的数列, a 1 ? 1 ,且点 ( a n , a n ? 1 )( n ? N * ) 在函数 y ? x 2 ? 1 的图 象上.数列 {bn } 满足 b1 ? 0 , b n ? 1 ? b n ? 3 a ( n ? N * ) .
n

(Ⅰ)求数列 { a n } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 c n ? 2 a n b n cos n ? ( n ? N * ) ,求数列 {c n } 的前 n 项和 S n . 【解析】 (Ⅰ)由已知得 a n + 1 = a n + 1 , ∴ an
= n

∴ { a n } 为首项为 1,公差为 1 的等差数列,



∵ b n + 1 - b n = 3 n ,∴ bn ? ( b2 ? b1 ) ? ( b3 ? b2 ) ? ? ? ( bn ? bn ?1 ) ? 0
= 3 + 3 + ?+ 3
1 2 n- 1

=

3 (1 - 3

n- 1

)

=

3 2

(3

n- 1

- 1) =

1 2

?3

n

3 2



1- 3

∴ an ? n , bn (Ⅱ) C n

=

1 2

?3

n

3 2


3 2

? 2n ? (

1 2

?3 ?
n

) c o s n? ? ?

? ? n (3 ? 3 ), ?
n

n为 奇 数 , n为 偶 数 .

? n (3 ? 3 ), ?
n

∴当 n 为偶数时
S n ? ? (3 ? 3) ? 2 ? (3 ? 3) ? 3 ? (3 ? 3) ? ? ? n (3 ? 3)
1 2 3 n

? ( ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 5 ? 3 ? ? ? n ? 3 ) ? (3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? 3 n )
1 2 3 4 5 n

. 则


- 3T n = 3 - 2 ?3
2 3

T n = - 3 + 2 ?3 3 ?3
4

2

3 ?3
n+ 1

3

?+ n 3

n



?- n 3


? ? 3 4 ? (n ? 1 4 )?3
n ?1

∴ 4Tn = - 3 + 3 2 - 3 3 + 3 4 - ? + 3 n + n 3 n + 1 ∴ Tn
? 1 16 [ ? 3 ? ( 4 n ? 1) ? 3
n ?1



].
n ?1

∴Sn

?

1 16

[ ? 3 ? ( 4 n ? 1) ? 3 S n ? S n ?1 ? c n ?
n ?1

] ? (?

3 2

n) ?
n ?1

( 4 n ? 1) ? 3

n ?1

? 24n ? 3



16 ? 24n ? 21

当 n 为奇数时

? ( 4 n ? 1) ? 3



16
n为 奇 数 .

? ? ( 4 n ? 1) ? 3 ? 24n ? 21 , ? ? 16 ∴ Sn ? ? n ?1 ? 24n ? 3 ? ( 4 n ? 1) ? 3 , ? 16 ?

n为 偶 数 .

22.(本小题满分 14 分)
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已知函数 f ? x ? ?
1? x
2 2

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1? x ? x

?x? R?.

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的极大值; (Ⅱ)若 ? e t ? 2 ? x 2 ? e t x ? e t ? 2 ≥ 0 对满足 x
≤ 1 的任意实数 x

恒成立,求实数 t 的取

值范围(这里 e 是自然对数的底数) ; (Ⅲ)求证:对任意正数 a 、 b 、 ? 、 ? ,恒有
2 2 ?? ? a ? ? b ? ? ? ?a ? ?b ? ? ?a ? ?b ? f ?? ?≥ ? ? ?? f ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2

?

?a ? ?b
2

2

? ? ?

.

【解析】 (Ⅰ)f ? ? x ? ?

? 2 x ?1 ? x ? x

2

? ? ? 2 x ? 1 ? ?1 ? x ?
2

?1 ?
2 3
t

x? x

2

?

2

?

? ? x ? ?2 ? ?

?

3 ? ? ? x ? ?2 ? ? ? x? x
2

?

?

3 ? ?

?

?1 ?

?

2

∴ f ? x ? 的增区间为 ? ? 2 ? 3 , ? 2 ? 3 ? , f ? x ? 减区间为 ? ? ? , ? 2 ? 3 ? 和 ? ? 2 ? 3 , ? ? ? . 极大值为
f

??2 ?

3 ?

?

3

.
2 ?1 ? x
2

(Ⅱ)原不等式可化为 e ∴
2 ?1 ? x
2



?
2

1? x ? x
4 3 3

由(Ⅰ)知, x

≤ 1 时, f ( x )

的最大值为

2 3

3

.

?
2

1? x ? x

的最大值为
f

,由恒成立的意义知道 e t
2 2



4 3

3

,从而 t ≥

ln

4 3

3

(Ⅲ)设 g ? x ? ?

?x? ?

x ?

1? x

1? x ? x
2

? x?x ? 0?

则 g ?? x ? ? f ?? x ? ? 1 ?

? ? x ? 4 x ? 1?

?1 ?

x? x

2

?

2

?1? ?

x ? 2x ? 4x ? 6x ? 2
4 3 2

?1 ?
2

x? x

2

?
2

2

.

∴当 x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上是减函数, 又当 a 、 b 、 ? 、 ? 是正实数时, ?
? ?a ? ?b ? ?a ? ?b ∴? ? ≤ ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2

? ?a ? ?b ? ?a ? ?b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2

? ?

?? ?a ? b ?

2

??

? ?

?

2

≤ 0

.
2 2

由 g ? x ? 的单调性有:
?? ? a ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?
2

2 2 2 2 ?? ? a ? ? b ? ? ? ? a ? ? b ? ? ?a ? ?b ? ?a ? ?b f ?? ≥ f ? ? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
2



即 f ??

2 2 2 2 ? ? ?a ? ?b ? ? ?a ? ?b ? ?a ? ?b ≥ ? ? ?? f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

.

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