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版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本均值不等式及应用真题演练集训理新人教A版【含答案】

2018 版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本(均值)不等式及 应用真题演练集训 理 新人教 A 版 1.[2016·江苏卷]在锐角三角形 ABC 中,若 sin A=2sin Bsin C,则 tan Atan Btan C 的最小值是________. 答案:8 解析:由 sin A=sin(B+C)=2sin Bsin C,得 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 两边同时除以 cos Bcos C,得 tan B+tan C=2tan Btan C, 令 tan B+tan C=2tan Btan C=m, 因为△ABC 是锐角三角形, 所以 2tan Btan C>2 tan Btan C, 则 tan Btan C>1,m>2. 又在三角形中有 tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C m 1 m 4 =- · m= =m-2+ +4 1 2 m-2 m-2 1- m 2 ≥2 2 m- 4 +4=8, m-2 4 ,即 m=4 时等号成立, m-2 当且仅当 m-2= 故 tan Atan Btan C 的最小值为 8. 2.[2014·福建卷]要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的 底面造价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平方米 10 元, 则该容器的最低总造价是________(单 位:元). 答案:160 解析:设该容器的总造价为 y 元,长方体的底面矩形的长为 x m,因为无盖长方体的容积 2×4? 4 ? 3 为 4 m ,高为 1 m,所以长方体的底面矩形的宽为 m,依题意,得 y=20×4+10?2x+ ? 3 x ? x ? ? 4? =80+20?x+ ?≥80+20×2 ? x? x× =160,当且仅当 x= ,即 x=2 时等号成立, x x 4 4 所以该容器的最低总造价为 160 元. 1 |a| 3.[2013·天津卷]设 a+b=2,b>0,则当 a=________时, + 取得最小值. 2|a| b 1 答案:-2 解析:∵a+b=2, ∴ = ≥ 1 |a| 2 |a| + = + 2|a| b 4|a| b a+b |a| a b |a| + = + + 4|a| b 4|a| 4|a| b a +2 4|a| b |a| a × = +1. 4|a| b 4|a| b |a| 当且仅当 = 且 a<0, 4|a| b 即 b=-2a,a=-2 时, 1 |a| + 取得最小值. 2|a| b 课外拓展阅读 基本(均值)不等式在压轴题中的应用 关于基本(均值)不等式的高考试题,它可以涉及的知识点很多,尤其是在数列、解析几 何中运用时,难度一般较大,需要有较强的分析问题及解决问题的能力. 1.与数列搭配 基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中,常见的是比较大小或证明不等式,问题 的求解需要有较强的运算能力. [典例 1] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,a1=1,且 a1,a2,a7 成等比数 列. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; 2Sn 64bn (2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:2Tn-9bn-1+18> (n>1). 2n-1 n+ bn+1 [思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求;(2)中数列{bn}满足 bn= 2Sn , 2n-1 这是一个等差数列的前 n 项和与一个关于 n 的一次函数之比, 数列{bn}极可能也是一个等差数 列,求出其和后,根据不等式的有关知识解决. (1)[解] 因为 a1,a2,a7 成等比数列, 所以 a2=a1a7,即(a1+d) =a1(a1+6d). 又 a1=1,d≠0,所以 d=4. 所以 Sn=na1+ 2 2 n n-1 2 d=n+2n(n-1)=2n2-n. =2n, 2Sn 2n n- (2)[证明] 因为 bn= = 2n-1 2n-1 所以{bn}是首项为 2,公差为 2 的等差数列. 2 所以 Tn= n +2n 2 =n +n. 2 2 所以 2Tn-9bn-1+18=2n +2n-18(n-1)+18 =2n -16n+36=2(n -8n+16)+4 =2(n-4) +4≥4,当且仅当 n=4 时等号成立.① 64bn = n+ bn+1 = 64n = n2+10n+9 64×2n 2 2 2 n+ n+ 64 64 ≤ 9 6+10 n+ +10 n 9 =4,当且仅当 n= ,即 n=3 时等号成立.② n 又①②中等号不可能同时取到, 所以 2Tn-9bn-1+18> 温馨提示 本题在求解时注意,两次放缩取等号的条件不一致,最后结果不能取等号. 64bn (n>1). n+9 bn+1 2.与函数、导数共现 在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系,在多数情况下 问题的求解需要构造新的函数,通过合理转化,巧妙放缩去完成.求解这类问题一般难度较 大,在高考中常以压轴题的形式出现,需要较强的综合能力. [典例 2] 已知 h(x)=ln(x+1)- ax . x+1 (1)当 a>0 时,若对任意的 x≥0,恒有 h(x)≥0,求实数 a 的取值范围; 1 1 1 1 (2)设 x∈N 且 x>2,试证明:ln x≥ + + +…+ . 2 3 4 x (1)[解] h(x)=ln(x+1)- ax , x+1 则 h(x)的定义域为(-1,+∞), h′(x)= 1 - 1+x a +x 2 = x+1-a 2. +x ①当 0<a≤1 时,对任意的 x≥0,h′(x)≥0 恒成立, 则 h(x)在[0,+∞)上单调递增, h(x)≥h(0)=0,所以满足题意. ②当

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