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2011届高考数学第一轮复习精练检测试题16


高三数学一轮复习精练:直线和圆
一、选择题(12 题,每题 5 分) 1.原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为( A.1 B. 3 C.2 ) D. 5

1.【答案】:D 【解析】:原点为(0,0),由公式,得: d ? 2.直线 过点(-1,2)且与直线 y ? A. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 2.【答案】A 【解析】可得 l 斜率为 ? ? l : y ? 2 ? ?

| ?5 | 1 ? 22

? 5 ,故选(D)。

2 x 垂直,则 的方程是 3
B. 3x ? 2 y ? 7 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0

3 2

3 ( x ? 1) 即 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ,选 A。 2

3. 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方 程为 A ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

B ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

C

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

D ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

3.【答案】B 【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距 离等于半径 2即可. 4. 过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆学 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为科网
2 2

A. 3 4.【答案】:D

B.2

C. 6

D. 2 3

【解析】 : 直线方程y= 3x,圆的标准方程x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 圆心 (0, 2)到直线的距离

d?

3?0 ? 2 ( 3) ? (?1)
2 2

? 1 ,由垂径定理知所求弦长为 d * ? 2 22 ?12 ? 2 3
2

故选 D.

5. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是

A.2 5.【答案】:A

B.3

C.

11 5

D.

37 16

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。 解析:直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y 2 ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F (1,0) 的距离,故本题化为在抛物 线 y 2 ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点 F (1,0) 和直线 l2 的距离之和最 小,最小值为 F (1,0) 到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,即 d min ? A。 解析 2:如下图,由题意可知 d ?

|4?0?6| ? 2 ,故选择 5

| 3 ?1 ? 0 ? 6 | 32 ? 42

?2

6. 已知圆 C1 :( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的
2 2

方程为 A. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

B. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

6.【答案】B

? a ?1 b ?1 ? ?1 ? 0 ? ?a ? 2 ? 2 2 【解析】 设圆 C2 的圆心为 (a, b) , 则依题意, 有? , 解得:? , b ? 1 b ? ? 2 ? ? ? ?1 ? ? a ?1
对称圆的半径不变,为 1,故选 B。. 7. 过圆 C: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、
2 2

B , ?AOB 被 圆 分 成 四 部 分 ( 如 图 ) , 若 这 四 部 分 图 形 面 积 满 足

S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有(
A. 0 条 B. 1 条

) C. 2 条 D. 3 条

7.【答案】B

【解析】由已知,得: SIV ? SII ? SIII ? SI , ,第 II,IV 部分的面积是定值,所以,SIV ? SII 为定值,即 S III ? S I , 为定值,当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符合题意, 即直线 AB 只有一条,故选 B。 8. 若直线 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为原点),则 k 的 值为 A.- 3 或 3 8.【答案】:A 9. 经过圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是( A. x ? y ? 1 ? 0 9.【答案】:B 【解析】:易知点 C 为 (?1,0) ,而直线与 x ? y ? 0 垂直,我们设待求的直线的方程为 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 ) B. 3 ( C.- 2 或 2 ) D. 2

D. x ? y ? 1 ? 0

y ? x ? b ,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b ? 1 ,故待求的直线的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,因此,选(B.)。
10. 若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标 准方程是(
2



A. ( x ? 3) ? ( y ? ) ? 1
2

7 3

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

3 2

10.【答案】:B 【解析】:设圆心为 (a,1) 由已知得 d ?

| 4a ? 3 | 1 ? 1 ? a ? 2(舍 ? ) 故选 B. 5 2

点评:圆与 x 轴相切,则圆心的纵坐标与半径的值相等,注意用数形结合,画出草图来帮 助理解。

11. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x-7y-4=0,原点在等腰三角形 的底边上,则底边所在直线的斜率为 A.3 11.【答案】:A 【解析】:l1 : x ? y ? 2 ? 0, k1 ? ?1 ,l 2 : x ? 7 y ? 4 ? 0, k 2 ? 由题意, l 3 到 l1 所成的角等于 l 2 到 l 3 所成的角于是有 再将 A、B、C、D 代入验证得正确答案 是 A。 12. 已知 AC、BD 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的两条相互垂直的弦, 垂足为 M 1, 2 ,则四边形 B.2 C. ? ( ). D. ?

1 3

1 2

1 ,设底边为 l3 : y ? kx 7

k1 ? k k ? k2 k ? 1 7k ? 1 ? ? ? 1 ? k1k 1 ? k 2 k k ?1 7 ? 3

?

?

ABCD 的面积的最大值为
A . 4 12.【答案】:C B.



) C. 5 D 5 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4 2

【解析】设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2 ,则 d12 +d22 ? OM 2 ? 3 . 四边形 ABCD 的面积 S ? 二、填空题 13.若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在 点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 13.【答案】:4 【解析】:由题知 O1 (0,0), O2 (m,0) ,且 5 ?| m |? 3 5 ,又 O1 A ? AO2 ,所以有 w

1 | AB | ? | CD |? 2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) ? 8 ? (d12 ? d 2 2 ) ? 5 2

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?
2 2 2 2

5 ? 20 ? 4。 5

14. 若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 (a>0)的公共弦的长为 2 3 , 则 a ? ___________ 。 【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系,基础题。 14.【答案】: a ? 1 【解析】:由知 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 的半径为 6 ? a 2 ,由图可知
2 2

6 ? a 2 ? (?a ? 1) 2 ? ( 3 ) 2 解之得 a ? 1

15. 已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围 成的三角形的面积等于 15.【答案】:

25 4

1 (x-1),即 x+2y-5=0,从而求 2 5 1 5 25 出在两坐标轴上的截距分别是 5 和 ,所以所求面积为 ? ? 5 ? 。 2 2 2 4
【解析】:由题意可直接求出切线方程为 y-2= ? 16. 过原点 O 作圆 x2+y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的
2-

长为 16.【答案】:4



【解析】:可得圆方程是 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正 弦定理得 PQ ? 4 三、解答题 17. 已知过点 A(0,1),且方向向量为 a ? (1, k )的直线l与 ? C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1, 相交于 M、N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: AM ? AN ? 定值 ; (3)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12, 求k的值 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17.解 (1)?直线l过点(0,1)且方向向量a ? (1, k ),

?

???? ? ????

???? ? ????

?

?直线l的方程为y ? kx ? 1 2k ? 3 ? 1 由 ? 1, 得 k 2 ?1 4? 7 4? 7 . ?k? 3 3 ? 2? 设焦点的? C的一条切线为AT ,T为切点,则AT 2 =7 ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ? AM ? AN ? AM AN cos 0? ? AT 2 ? 7 ? AM ? AN为定值.

(3)设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 将y ? kx ? 1代入方程(x-2)2 +(y-3)2 =1得 (1+k 2 )x2 -4(1+k )x+7=0 4(1+k 2 ) 7 ? x1 +x2 = , x1 x2 ? 2 1? k 1? k 2 ???? ? ???? 4k(1+k ) ? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 8 ? 12 1? k 2

?

4k(1+k ) ? 4, 解得k ? 1 又当k ? 1时, ? ? 0,? k ? 1 . 1? k 2
2 )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 t

18. 已知:以点 C (t,

O, B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM = ON,求圆 C 的方程. 18.解 (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

4 . t2

设圆 C 的方程是

2 4 (x ? t)2 ? ( y ? )2 ? t 2 ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t
(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x . 2 2

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9 5

? 5,

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

9 5

? 5

? t ? ?2 不符合题意舍去.

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 .
19. 已知动圆过定点 A ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2) 是否存在直线 l ,使 l 过点 B(0, 1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,

且满足 OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 19.解:(1)设 M 为动圆圆心,由题意知: | MA | ? M 到定直线 x ? ?1 的距离, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 A(1, 0) 为焦点, x ? ?1 为准线, ∴ 动圆的圆心 M 的轨迹 C 的方程为: y 2 ? 4 x ………………………5 分

??? ? ????

(2)由题意可设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1) (k ? 0) ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由?

? x ? k ( y ? 1)
2 ? y ? 4x

得 y 2 ? 4ky ? 4k ? 0

? ? ? 16k 2 ?16k ? 0
且 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? 4k

?

k ? 1或 k ? 0

………………………7 分

…………………………………9 分 …………………………………………11 分

由 OP ? OQ ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

??? ? ????

? k 2 ( y1 ?1)( y2 ?1) ? y1 y2 ? 0 ? (k 2 ?1) y1 y2 ? k 2 ( y1 ? y2 ) ? k 2 ? 0 ? 4k (k 2 ? 1) ? k 2 ? 4k ? k 2 ? 0 ? k ? ?4 或 k ? 0 (舍去) …………………13 分
又 k ? ?4 ? 0 ,所以直线 l 存在,其方程为: x ? 4 y ? 4 ? 0 20. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)
2.

………………14 分

(1)当 1 ? x ? m时, 为等式f ( x ? 3) ? x 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)在曲线 y ? f ( x ? t ) 上存在两点关于直线 y ? x 对称,求 t 的取值范围; (3)在直线 y ? ? l1⊥l2 20.解:(1)直线 y=x 与曲线 y ? f ( x ? 3) 的交点可由 ?

1 上取一点 P, 过点 P作曲线 y ? f ( x ? t ) 的两条切线 l1、l2,求证: 4

?y ? x ? y ? ( x ? 2)
2

? x 2 ? 5x ? 4 ? 0

求得交点为(1,1)和(4,4),此时 y ? f ( x ? 3) 在区间[1,4]上图象在直线 y=x 的下面,即 f ( x ? 3) ? x 恒成立,所以 m 的最大值为 4。 (2)设曲线上关于直线 y=x 的对称点为 A( x1 , y1 )和 B( x2 , y2 ),线段 AB 的

中点 M( x0 , y0 ),直线 AB 的方程为: y ? ? x ? b.

? y ? ( x ? t ? 1) 2 ? x 2 ? (2t ? 3) x ? (t ? 1) 2 ? b ? 0 ? ? y ? ?x ? b
? ? (2t ? 3) 2 ? 4[(t ? 1) 2 ? b] ? 4t ? 5 ? 4b ? 0 (1 分)
x1 ? x 2 ? ?2t ? 3, x0 ? ? 2t ? 3 2t ? 3 , y 0 ? ? x0 ? b ? ?b 2 2

又因为 AB 中点在直线 y=x 上,所以 y0 ? x0 , 得 b ? ?2t ? 3, 代入 (1)式, 得t ? ? .

7 4

9分

(3)设 P 的坐标为 (a,? ) ,过 P 的切线方程为: y ?

1 4

1 ? k ( x ? a) ,则有 4

? y ? ( x ? t ? 1) 2 1 ? ? x 2 ? [2(t ? 1) ? k ]x ? (t ? 1) 2 ? ka ? ? 0 ? 1 4 ? y ? ? k ( x ? a) 4 ?
1 ? ? [2(t ? 1) ? k ] 2 ? ?4[( t ? 1) 2 ? ka ? ] ? k 2 ? 4(t ? 1 ? a)k ? 1 ? 0, 4
直线 l1 , l 2的斜率k1 和k 2的方程k 2 ? 4(t ? 1 ? a)k ? 1 ? 0 的两根, 则 k1 ? k 2 ? ?1, 所以l1 ? l 2 . 14 分

21. 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ? 1) , a ? b ,动 点 M ( x, y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)已知 m ?

?

?

?

?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个 4

交点 A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公 4

共点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 21.解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ?1 ? 0 ,

?

? ?

?

? ?

即 mx ? y ? 1 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 2

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆

当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m ?

1 x2 ? y 2 ? 1,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t , 时, 轨迹 E 的方程为 4 4

? y ? kx ? t ? 解方程组 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 ,即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 ,

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1 ,
2 2 2 2

8kt ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 且? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
要使 OA ? OB ,
2 2

k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 2 , ? ? t ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

??? ?

??? ?

需使 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,即
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2 2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 , 即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1 , 即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立. 所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4 (1 ? k 2 ) t 4 t 4 2 所以圆的半径为 r ? ,r ? ?5 ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k
2

当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ?

2 2 2 x2 5 ,与 5) 或 ? y 2 ? 1 交 于 点 ( 5 ,? 5 5 5 4

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足 OA ? OB . 5 5
2 2

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? A,B,且 OA ? OB . (3)当 m ?

4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 5

??? ?

??? ?

1 x2 ? y 2 ? 1,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆 时,轨迹 E 的方程为 4 4

C: x 2 ? y 2 ? R2 (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ? 因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

t 1? k
2

, 即 t 2 ? R2 (1 ? k 2 )

①,

? y ? kx ? t ? 由(2)知 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 有唯一解 则△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 , 即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

8kt ? x1 ? x2 ? ? ? 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 1 ? 4k 2 2 x ? ? 由? 中 , 所以 , , x ? x 1 1 2 2 2 2 1 ? 4 k 3 R 4 t ? 4 ? xx ? 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 ? 1 ?
2
2

4 1 2 4 ? R2 2 2 2 x1 ? ,所以 | OB1 | ? x1 ? y1 ? 5 ? 2 , 2 R 4 3R
2 2

在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A1 B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ?

4 4 ? R2 ? 5 ? ( 2 ? R2 ) 因 为 2 R R

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A1B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 2 R
当 R ? 2 ? (1,2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可 以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.


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