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高一数学一元二次不等式解法练习题



一元二次不等式
知 识 梳 理 1.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实根 x1,x2(x1<x2) {x|x>x2 或x<x1} {x|x1<x<x2}

有两相等实根 b x1=x2=-2a
? b? ?x|x≠- ? 2a? ?

没有实 数根

R

?

?

解下列不等式 x2-5x+4≤0 x(x+11)≥3(x+1)2

(2x+1)(x-3)>3(x2+2)

|x2-3x|>4

(x-3)(x+2)(x-1)≥0

3x ? 7 ? 2≥0 x ? 2x ? 3
2

含参不等式
1 例1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x- ) < 0的解是 a

[
A.a<x< 1 a 1 C.x> 或x<a a 1 D.x< 或x>a a

]

1 B. <x<a a

例2

解关于 x 的不等式 (x-2)(ax-2)>0

例 3

若 ax2 +bx - 1<0 的解集为 {x| - 1<x <2},则 a= ________ ,b =

________.

例 4 关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1= 15,则 a=( ) 5 7 15 15 A.2 B.2 C. 4 D. 2

练习 解关于 x 的不等式 kx2-2x+k<0(k∈R).

解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).

.

考点三

不等式恒成立问题

【例 3】 设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
知 识 梳 理 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所 有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不 等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.

(2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得的 符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0+C 的符 号即可判断 Ax+By+C>0 表示的直线是 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

2.线性规划相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 意义 目标函数中的变量所要满足的不等式组 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 欲求最大值或最小值的函数 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标

线性规划问题 在线性约束条件下, 求线性目标函数的最大值或最小值问题

自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C=0 的上方.( (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ) ) ) )

(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(

(4)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截距.( 2.下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的是( A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) x≥0, )

?y≥0, 3.直线 2x+y-10=0 与不等式组? 表示的平面区域的公共点有( x-y≥-2, ?4x+3y≤20
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个

)

?x+y-2≥0, 4. (2014· 天津卷)设变量 x, y 满足约束条件?x-y-2≤0,则目标函数 z=x+2y 的最小值为( ?y≥1,
A.2 B.3 C.4 D. 5

)

?x+y-2≥0, 5.(2014· 安徽卷)不等式组?x+2y-4≤0,表示的平面 ?x+3y-2≥0
________.

区 域 的 面 积 为

考点一

二元一次不等式(组)表示的平面区域 x-y≥0,

?2x+y≤2, 【例 1】 (1)若不等式组? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( y≥0, ?x+y≤a
?4 ? A.?3,+∞? B.(0,1] ? ? 4? ? ?4 ? C.?1,3? D.(0,1]∪?3,+∞? ? ? ? ?

)

?x≥0, 4 (2)若不等式组?x+3y≥4,所表示的平面区域被直线 y=kx+3分为面积相等的两部分,则 k 的值 ?3x+y≤4
是( 7 A.3 4 C.3 ) 3 B.7 3 D.4

【训练 1】 (1)若函数 y=2 1 )A.2 3 C.2

x

?x+y-3≤0, 图象上存在点(x,y)满足约束条件?x-2y-3≤0,则实数 m 的最大值 ?x≥m,

为(

B.1

D.2

?x+y-1≥0, (2)在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0, (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2, ?ax-y+1≥0
则 a 的值为( A.-5 B.1 ) C.2 D.3

考点二

简单线性目标函数的最值问题

【例 2】

?x+y-1≥0, (1)(2014· 新课标全国Ⅱ卷)设 x,y 满足约束条件?x-y-1≤0, ?x-3y+3≥0,
) D. 1

则 z=x+2y 的最大值为( A.8 B.7 C.2

?x+y≥a, (2)(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设 x,y 满足约束条件? ?x-y≤-1, (3)且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=( A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 )

【训练 2】

?3x-5y+6≥0, (1)(2015· 潍坊模拟)若 x,y 满足条件?2x+3y-15≤0, ?y≥0,
)

当且仅当 x=y=3 时,z=ax+y 取最大值,则实数 a 的取值范围是( 2 3 A.(-3,5) 3 2 B.(-∞,-5)∪(3,+∞) 3 2 C.(-5,3) 2 3 D.(-∞,-3)∪(5,+∞)

?y≤x, (2)(2014· 湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ?y≥1,
则 z=2x+y 的最大值为________.

考点三

实际生活中的线性规划问题

【例 3】 某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元?辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型 车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( A.31 200 元 C.36 800 元 B.36 000 元 D.38 400 元 )

微型专题

非线性目标函数的最值问题

与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定 代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义:(1) x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; |Ax+By+C| (2) (x-a)2+(y-b)2表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离;(3) 表示点(x,y)到直 A2+B2 y-b y 线 Ax+By+C=0 的距离;(4)x表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;(5) 表示点(x,y)与点(a, x-a b)连线的斜率.

【例 4】

?x-y+1≤0, 实数 x,y 满足?x>0, ?y≤2.

y (1)若 z=x,求 z 的最大值和最小值,并求 z 的取值范围; (2)若 z=x2+y2,求 z 的最大值与最小值,并求 z 的取值范围.

基础巩固题组

?y≤-x+2, 1.(2015· 泰安模拟)不等式组?y≤x-1, 所表示的平面区域的面积为( ?y≥0
1 A.1 B.2 1 C.3 1 D.4

)

?x+y≤4, 2.(2014· 湖北卷)若变量 x,y 满足约束条件?x-y≤2, 则 2x+y 的最大值是( ?x≥0,y≥0,
A.2 B.4 C.7 D. 8

)

3. (2013· 陕西卷)若点(x, y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为( A.-6 B.-2 C.0 D.2

)

4. (2014· 大连模拟)在平面直角坐标系 一动点,则直线 OP 斜率的最大值为( A.2 B.1 1 C.2 1 D.3

?y≤1, xOy 中, P 为不等式组?x+y-2≥0,所表示的平面区域上 ?x-y-1≤0
)

?x-y≥1, 5.(2015· 济南模拟)已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, 目标函数 z=x+2y 的最大值为 10, ?1<x≤a,
则实数 a 的值为( 8 A.2 B.3 ) C.4 D.8

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) x+y-7≤0, ? 11.(2014· 福建卷)已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域 Ω:?x-y+3≥0,若圆心 C∈Ω, ?y≥0. 且圆 C 与 x 轴相切,则 a2+b2 的最大值为( A.5 B.29 )

C.37 D.49 解析 由已知得平面区域 Ω 为△MNP 内部及边界.∵圆 C 与 x 轴相切,∴b=1.显然当圆心 C 位

于直线 y=1 与 x+y-7=0 的交点(6,1)处时,amax=6.∴a2+b2 的最大值为 62+12=37.故选 C.

答案

C

?x-y+2≥0, 12.已知实数 x,y 满足不等式组?x+y-4≥0, 若目标函数 z=y-ax 取得最大值时的唯一最优 ?2x-y-5≤0,
解是(1,3),则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-1) B.(0,1) )

C.[1,+∞) D.(1,+∞)

解析

作出不等式组对应的平面区域 BCD,由 z=y-ax,得 y=ax+z,要使目标函数 y=ax+z

仅在点(1, 3)处取最大值, 则只需直线 y=ax+z 仅在点 B(1, 3)处的截距最大, 由图象可知 a>kBD, 因为 kBD=1,所以 a>1,即 a 的取值范围是(1,+∞). 答案 D

?x+4y≥4, 13.(2013· 广东卷)给定区域 D:?x+y≤4, 令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z=x ?x≥0.
+y 在 D 上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的直线. 解析 线性区域为图中阴影部分,取得最小值时点为 (0, 1), 最大值时点 与(0,4),(1,3), 条直线, 共有 5 条, +y=4 上,故 T 中

为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),点(0,1) (2,2),(3,1),(4,0)中的任何一个点都可以构成一 又(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)都在直线 x 的点共确定 6 条不同的直线. 答案 6

?x-4y+3≤0, 14.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1.
y (1)设 z=x,求 z 的最小值; (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围.



?x-4y+3≤0, 由约束条件?3x+5y-25≤0,作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示. ?x≥1.

?x=1, 22? ? 由? 解得 A?1, 5 ?. ? ? ?3x+5y-25=0, ?x=1, 由? 解得 C(1,1). ?x-4y+3=0, ?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, y y-0 2 (1)∵z=x= .∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察图形可知 zmin=kOB=5. x-0

(2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点 到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. 故 z 的取值范围是[2,29]. (3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平 方 . 结 合 图 形 可 知 , 可 行 域 上 的 点 到 ( - 3 , 2) 的 距 离 中 , dmin = 1 - ( - 3) = 4 , dmax = (-3-5)2+(2-2)2=8. 故 z 的取值范围是[16,64].


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