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第16课时 指数函数


西安市昆仑中学 2008 届高三理科数学第一轮复习讲义

第 16 课时

席成

课题:指数函数 教学目标: 1. 掌握指数函数; 2. 掌握指数函数的图象和性质. 教学重点:指数函数的图象及性质的简单应用. (一) 主要知识: 指数函数的图象和性质:
a ?1 y
图 象

0 ? a ?1
y

y ?1

y ?1

O

x

O

x

?1? 定义域: R ? 2 ? 值域: ?0,??? 性 质 ? 3? 过点 ? 0,1? ,即 x ? 0 时, y ? 1 ? 4 ? 在 R 上是增函数 ? 4 ? 在 R 上是减函数 1. y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域为 R ,值域为 ? 0,??? .
2. y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的单调性: a ? 1 时, y ? a x 在 R 上为增函数; 0 ? a ? 1 时, y ? a x 在 R 上是减函数. 3. y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图像特征: 0 ? a ? 1 时,图象像一捺,过点 ? 0,1? ,且在 y 轴左侧 a 越小,图象越靠近 y 轴(如图 2 ); a ? 1 时,图象像一撇,过点 ? 0,1? ,且在 y 轴左侧 a 越大,图象越靠近 y 轴(如图1 );

y ? a x 与 y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称(如图 3 ).

图1

图2

图3

(二)主要方法:
1. 指数方程,指数不等式:常要转化为同底数的形式,在利用指数函数的单调性求解; 2. 确定与指数有关的函数的单调性时,常要注意针对底数进行讨论; 3. 要注意运用数形结合思想解决问题.

(三)典例分析:
121

问题 1. ?1? ( 05 福建)函数 f ( x) ? a
其中 a 、 b 为常数,则下列结论正确的是

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x ?b

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席成

的图象如图,

y

?2
1 ?

A. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0

B. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

O
,则 ? 2 ? 设 x ? 0 ,且 a x ? b x ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) a 与 b 的关系是

1

?

x

A. b ? a ? 1

B. a ? b ? 1

C. 1 ? b ? a

D. 1 ? a ? b

? 3? 若函数 y ? 2? x?1 ? m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是
A. m ? ?2 B. m ? ?2 C . m ? ?1 D. m ? ?1

? 4 ? ( 06 山东模拟)设 f ( x) ? 3x ? 1 , c ? b ? a 且 f (c) ? f (a) ? f (b) ,则下列关系式
一定成立的是

A. 3c ? 3b

B. 3b ? 3a

a C. 3c ? 3 ? 2

a D. 3c ? 3 ? 2

问题 2. 06 上海模拟)已知函数 f ( x) ? a x ? (

x?2 (a ? 1) , x ?1 ?1? 证明函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; ? 2 ? 用反证法证明 f ( x) ? 0 没有负数根.

122

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问题 3. 要使函数 y ? 1 ? 2 ? a ? 4
x

x

在 x ? ?? ?,1? 上 y ? 0 恒成立, a 的取值范围. 求

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席成

问题 4. 04 全国Ⅲ理)解方程: 4 x ? 1 ? 2 x (

? 11

(四)巩固练习:
?1? 1. 不等式 ? ? ?3?
x 2 ?8

? 3?2 x 的解集为
x2 ? 2 x

?1? 2. 函数 y ? ? ? ?2?

的递减区间为

;最大值是

123

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席成

(五)课后作业:
1. 如图为指数函数 (1) y ? a x , (2) y ? b x , (3) y ? c x , (4) y ? d x , 则 a, b, c, d 与 1 的大小关系为

a b

y

c d

A. a ? b ? 1 ? c ? d C. 1 ? a ? b ? c ? d

B. b ? a ? 1 ? d ? c D. a ? b ? 1 ? d ? c
O

x

2.若函数 f ( x) ? 2?|x?1| ? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的范围是

3. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0 ? ,满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则 f (2x ) 与 f (3x )
的大小关系是
x x A. f ( 2 ? f ( 3 ) )

C. f (2x ) ≥ f (3x )

x x B. f ( 2 ? f ( 3 ) ) D. f (2x ) ≤ f (3x )

4. 若直线 y ? 2a 与函数 y ? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象有两个公共点,则 a 的范围是

5. 已知函数 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3的值域为 ?1,7? ,则 x 的范围是 A. ?2,4? B. (??,0) C. (0,1) ? ? 2, 4?

D. ? ??,0? ? ?1, 2?

124

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6. 函数 y ? 2

x?1

的定义域为

,值域为

7. 设 a ? 0, a ? 1 ,如果函数 y ? a 2 x ? 2 ? a x ? 1 在 ?? 1,1? 上的最大值为14 ,求 a 的值

8. 已知 2 x

2

?x

≤?

?1? ? ?4?

x? 2

求函数 y ? 2x ? 2? x 的值域

a x ? a? x 9. 已知 f ( x) ? x ? 0 ? a ? 1? . ?1? 证明: f ( x) 是定义域上的减函数; a ? a? x ? 2 ? 求 f ( x) 的值域.

125

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1 1? 10. 已知 f ( x) ? ? x ? ? ? x3 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ). ?1? 求 f ( x) 的定义域; ? ? a ?1 2 ? ? 2 ? 讨论 f ( x) 的奇偶性; ? 3? 求 a 的范围,使 f ( x) ? 0 在定义域上恒成立.

(六)走向高考:
1.( 06 山东)函数 y ? 1 ? a
x

? 0 ? a ? 1? 的反函数的图象大致是

(A)

(B)

(C)

(D)

A.

B.
126

C.

D.

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x

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2. ( 04 湖北文)若函数 f ( x) ? a ? b ?1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象经过第二、三、 A. 0 ? a ? 1 且 b ? 0 ; B. a ? 1 且 b ? 0 四象限,则一定有 C. 0 ? a ? 1 且 b ? 0 ; D. a ? 1 且 b ? 0

3. ( 05 全国Ⅲ文)设 3 x ? A. ?2 ? x ? ?1

1 ,则 7 B. ?3 ? x ? ?2

C. ?1 ? x ? 0

D. 0 ? x ? 1

? 1 ? 4. ( 07 山东)已知集合 M ? ??11? , N ? ? x ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? N ? , ? 2 ? A. ??11? B. ??1? C. ?0? D. ??1 0? , ,

5. ( 07 北京)函数 f ( x) ? 3x ( 0 ? x ≤ 2 )的反函数的定义域为 A. (0, ?) B. (1, C. (0, D. [9, ?) ? 9] 1) ?

1 1 6. ( 05 江西)已知实数 a 、 b 满足等式 ? ? ? ? ? 下列五个关系式 ? ? ? ? ? 2? ? 3? ① 0 ? b ? a ;② a ? b ? 0 ;③ 0 ? a ? b ;④ b ? a ? 0 ;⑤ a ? b
其中不可能成立的关系式有 ... A. 1 个 B. 2 个

a

b

C. 3 个

D. 4 个

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x?2

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1 7.( 07 山东)设函数 y ? x3 与 y ? ? ? 的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间 ? ? ?2? B. (1, C. (2, D. (3, 是 A. (0, 3) 4) 1) 2)

8. ( 04 全国Ⅲ理) 已知函数 y ? f (x) 是奇函数, 则当 x ? 0 时,f ( x) ? 3 x ? 1 , f (x ) 设 的反函数是 y ? g (x) ,则 g (?8) ?

9.( 05 全国Ⅰ)设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的
取值范围是

A. (??,0)

B. (0,??)

C. (??, loga 3)

D. (loga 3,??)

10. ( 06 天津)如果函数 f ( x) ? a x (a x ? 3a2 ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1 )在区间 ?0,??? 上
是增函数,那么实数 a 的取值范围为

2? A. ? 0, ? ? ? 3?

? 3 ? B. ? ,1? ? ? 3 ?

C. 0 ,

?

? 3 ?

3 D. ? , ?? ? ? ?2 ? ?

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