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1.7定积分的简单应用15年1月18日


1.7.1定积分在几何中的应 用

前面,我们运用分割→近似代替→求和→取极限 的过程,求出了一些曲边梯形(由函数 y ? f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0 ) 的图象和直线 x ? a , x ? b , x 轴围成的 平面图形)的面积. 并把它们浓缩成了一个结果:定积分( ? f ( x )dx )
a b

1.微积分基本定理---------牛顿-莱布尼茨公式

?

b

a

f ( x)dx ? ? F ' ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a )
a

b

牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系. 2.利用牛顿-莱布尼茨公式求定积分的关键是

确定f ( x)的原函数F ( x)

我们知道定积分 ? f ( x )dx 的几何意义:
a

b

它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图象及两条直线 x ? a , x ? b 之间的各部分面积的代数和.( 在 x 轴 上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负号)

思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值 : 图1.曲边梯形 图2.如图 y y y ? f2 ( x) y ? f ( x)

y ? f1 ( x )

A1 ? ? f ( x )dx
a

o

a

b

b

x

o

a
b a

b

x

图 y3.如图
0

a

b

图4.如图 y y ? f2 ( x)

A2 ? ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx

x
0

a
b x
b

y ? f ( x)

A3 ? ?? f ( x )dx
a

b

A4 ? ? f2 ( x )dx ? ? f1( x )dx ? ? [ f 2 ( x ) ? f1( x )]dx
a a a

b

y ? f1 ( x )

b

例 1 计算由两条抛物线 y ? x 和 y ? x 所围成的
2 2

? ?y ? x 解 ? ? x ? 0及x ? 1 2 ? ?y ? x 两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)

图形的面积.

y ?x
C

y2

B

2 y ? x D

o

A

x

S ? S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 ?2 3 x ? 2 S ? ( x - x )dx ? ? x ? ? ? . 0 3 ?0 3 ?3

??

1
1

0

xdx ? ? x dx
2 0
2

1

?

3

1

例 2 计算由曲线 y ? 2 x ,直线 y ? x ? 4以及 x 轴所 围成的图形的面积.
y ? 2x

解:

两曲线的交点

? ? y ? 2 x ? (0,0), (8, 4). ? ? ?y ? x ? 4
直线与x轴交点为(4,0)
S ? S1 ? S2 ? ?
4 0

S1

S2 y ? x?4

2 xdx ? [ ?
8

8

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
4

8

? (?

4

0

2 xdx ? ?

4

2 xdx) ? ? ( x ? 4)dx ? ?
4

8

8

0

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx
4

8

2 2 3 1 2 40 8 2 8 ? x |0 ?( x ? 4 x) |4 ? 3 2 3

巩固练习:
1.由定积分的性质和几何意义,说明下列 各式的值.
a

(1) ??a a ? x dx
2 2

? a2
2
2

(2) ?0 ( 1 ? ( x ? 1) ? x)dx

1

?

1 ? 4 2

学习小结: 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象; 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数,用定积分表示所求的面积, 特别注意分清被积函数的上、下位置; 4.用牛顿-莱布尼茨公式求定积分.

1.7.1定积分在几何中的应 用

一、变速直线运动的路程
设物体运动的速度v?v(t) (v(t)≥0) ,则此 物体在时间区间[a, b]内运动的路程s为

s ? ? v(t )dt
a

b

v

v ? v(t )

O

a

ti

b

t

例题
例 1 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示,求 汽车在这 1min 行驶的路程。

v/m/s B

解:由速度-时间曲线可知 30 A : (0 ? t ? 10) ?3t ? v?t ? ? ?30 (10 ? t ? 40) ?- 1.5t ? 90 (40 ? t ? 60) 10 ?
10 40 60

O

40

60

C t/s

S ? ? 3tdt ? ? 30dt ? ? (?1.5t ? 90)dt
0

3 2 ? t 2

10

10

40

? 30t 10
0

40

3 2 ? (? t ? 90t ) ? 1350(m) 4 40

60

二、变力沿直线所作的功
由物理学知道,如果物体在作直线运动的过 程中有一个不变的力 F 作用在这物体上,且这力 的方向与物体的运动方向一致,那么,在物体移 动了距离 s 时,力 F 对物体所作的功为W ? F ? s .

1、恒力作功

问题:物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并 且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b y ?? F ( x) 点,则变力F(x) 所做的功为: F

2、变力所做的功

W ? ? F ( x)dx
a
O

b

a

xi

b

x

例2:如图:在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到 离水平位置l 米处,求克服弹力所作的功. 解:在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的 力F(x)与弹簧拉伸(或压缩)的长度 x 成正比

例题

即:F(x)=kx

1 2 L 1 2 W ? ? F ( x )dx ? ? kxdx ? kx |0 ? kl ( J ) 0 0 2 1 2 2 答:克服弹力所作功的功为 kl J . 2
L L

所以据变力作功公式有

变式:如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm, 需做功( A ) A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J 略解:设 F ? kx 则由题可得 k ? 100

所以做功就是求定积分

?

0.06

0

100xdx ? 0.18

小结
1、变速直线运动的路程 设物体运动的速度v?v(t) (v(t)≥0) ,则此物体 在时间区间[a, b]内运动的路程s为

s ? ? v(t )dt
a

b

2、变力沿直线所作的功 物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物 体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点, 则变力F(x) 所做的功为: b

W ? ? F ( x)dx
a


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