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江西师大附中2014届高三开学摸底考试数学理试题


江西师大附中高三年级开学考试数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? A.第一象限

A. ? ??,10?
2

B. ? ??,10 ?

C. ?10, ?? ?

D. ?10, ?? ?

10.抛物线 y ? 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ,已知点 A , B 为抛物线上的两个动点,且满足 ?AFB ? 120? .过 弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则

2?i ,则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点所在的象限为( i 2013
B.第二象限 C.第三象限
2



| MN | 的最大值为( | AB |
D.



D.第四象限 ) A.2 B.

2.全集 U ? R ,集合 M ? x | y ? lg( x ? 1) , N ? ? x | 0 ? x ? 2? ,则 N ? (? M ) ? ( U A. ? x | ?2 ? x ? 1? B. ? x | 0 ? x ? 1? 3.有以下命题:
2

?

?

2 3 3

C.1

3 3

C. ? x | ?1 ? x ? 1?

D. ? x | x ? 1?
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. (ax ?
2

(1)命题“存在 x ? R ,使 x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是:“对任意的 x ? R ,都有 x ? x ? 2 ? 0 ”; (2)已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) , P(? ? 4) ? 0.79 ,则 P(? ? ?2) ? 0.21;
2

1 5 ) 的展开式中各项系数的和为 243, x

则该展开式中常数项为______. 12.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示, 则该四棱锥的表面积为 .

(3)函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内.其中正确的命题的个数为(
x

1 3

1 2

1 1 3 2



A.3 个

B.2 个
2

C.1 个

D.0 个

13.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式: , 22 ? 1? 3 32 ? 1 ? 3 ? 5 , 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 , ? ; 23 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ? 11, ? ; , 24 ? 7? 9 ? ;按此规律, 54 的分解式中的第三个数为
3 2

1 4.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2cos x ? 1 ,将 f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,再 2
将所得图象向右平移 A. g ( x) ? C. g ( x) ?

____ .

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则函数 y ? g ( x) 的解析式为( 4
B. g ( x) ?



2 sin x

2 cos x
2 cos 4 x


1 2 ? ?( x ? ) ? 1( x ? 0) 14.已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 1, g ( x) ? ? ,则方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 ( a 为正实数)的实数 2 ??( x ? 3) 2 ? 1( x ? 0) ?
根最多有______个. 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,按第一题评阅计分,本题共 5 分 15.(1)已知圆 C 的参数方程为 ?

2 sin(4 x ?

3? ) 4

D. g ( x) ?

5.运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t 的取值范围为(

? x ? cos ? ( ? 为参数),以原点为极点, x 轴正半轴为 ? y ? 1 ? sin ?

极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 1 ,( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )则直线 l 与圆 C 的交点的极坐标为

1 A. t ? 4

1 1 1 B. t ? C. t ? D. t ? 8 4 8 6.如右图所示, A, B, C 是圆 O 上的三点, CO 的延长线与线段 AB ???? ??? ? ??? ? 交于圆内一点 D ,若 OC ? xOA ? yOB ,则( )
A. 0 ? x ? y ? 1 B. x ? y ? 1 C. x ? y ? ?1 D. ?1 ? x ? y ? 0 7 . 设 {an } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , 令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,?) , 若 数 列 {bn } 的 连 续 四 项 在 集 合

______________. 15.(2)已知 f ( x) ?| x | + | x ? 1 | ,若 g ( x) ? f ( x) ? a 的零点个数不为 0 ,则 a 的最小值为 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c ,且 c ? 2, C ? 60? . (1)求 .

??53, ?23,19,37,82 ? 中,则 q 等于(
A. ?

) C. ?

a?b 的值; sin A ? sin B

4 3

B. ?

3 2

3 2 或? 2 3

D. ?

3 4 或? 4 3


(2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC .

8.高三毕业时,甲,乙,丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲,乙相邻,则甲丙相邻的概率为( A.

1 10
2

B.

1 4
2

C.

3 10

D.

2 5


9.已知 log 1 ( x ? y ? 4) ? log 1 (3x ? y ? 2) ,若 x ? y ? ? 恒成立, 则 ? 的取值范围是(

17.(本小题满分 12 分) 某游乐场有 A 、 B 两种闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各自独立进行游戏 A ,丙丁两人各 自独立进行游戏 B .已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为

20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

1 1 ,丙、丁两人各自闯关成功的概率均为 . 3 2

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , 以 原 点 为 圆 心 , 椭 圆 的 短 半 轴 为 半 径 的 圆 与 直 线 2 a b 2

x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围.

(1)求游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关成功的人数的概率; (2)记游戏 A 、 B 被闯关总人数为 X,求 X 的分布列和期望.

18.(本小题满分 12 分) 设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列 {an } 的集合:①对任意 n ? N ,
*

an ? an ? 2 ? an ?1 恒成立;②对任意 2

n ? N * ,存在与 n 无关的常数 M,使 an ? M 恒成立.
(1)若 {an } 是等差数列, S n 是其前 n 项和,且 a3 ? 4, S3 ? 18, 试探究数列 {S n } 与集合 W 之间的关系; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 5n ? 2 ,且 {bn } ? W ,求 M 的取值范围.
n

21.(本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

(1)若 a ? 0, f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值.

a ,且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两点,若对任意的 a ? ?1 , ex 直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围;
(2)设 g ( x) ? f ( x) ? (3)求证: 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ?
n n n

e (2n) n (n ? N * ) . e ?1

19.(本小题满分 12 分) 直四棱柱 ABCD ? A B C1 D 中,底面 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 , A1 A ? AB, E 为 BB1 延长线上的一点, 1 1 1
?

D1E ? 面 D1 AC .
(1)求二面角 E ? AC ? D1 的大小; (2)在 D1 E 上是否存在一点 P ,使 A P // 面 EAC ? 1 若存在,求 D1 P : PE 的值;不存在,说明理由.

江西师大附中高三数学(理)入学考试卷答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 1 2 3 4 5 序 选 A B A C B 项 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 10 ; 12. 3 ? 5 ; 13. 125 ; 14. 6 ; 15.(1) ( 2, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.) 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)由正弦定理可设 6 C 7 C 8 B 9 C 1 0 D

∴ EX ?

4 12 13 6 1 5 ? 0+ ?1+ ? 2+ ? 3+ ? 4= . 36 36 36 36 36 3

18.(本小题满分 12 分) 解:(1)设等差数列 {an } 的公差是 d ,则

?
4

), ( 2,

3? ) ,(2) 1. 4

a b c 2 2 4 3 , ? ? ? ? ? sin A sin B sin C sin 60? 3 3 2 4 3 4 3 sin A, b ? sin B , 所以 a ? 3 3 4 3 (sin A ? sin B) a?b 4 3 所以 . …………………6 分 ? 3 ? sin A ? sin B sin A ? sin B 3 2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,即 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab ,
又 a ? b ? ab ,所以 (ab) ? 3ab ? 4 ? 0 ,解得 ab ? 4 或 ab ? ?1 (舍去),
2

? a1 ? 2d ? 4, ? a1 ? 8, 解得 ? ………1 分 ? ? d ? ?2 ?3a1 ? 3d ? 8 n(n ? 1) ∴ Sn ? na1 ? ? ? n 2 ? 9n 2 Sn ? Sn ? 2 (S ? Sn?1 ) ? (Sn?1 ? Sn ) an ? 2 ? an ?1 d ∴ ? Sn?1 ? n? 2 ? ? ? ?1 ? 0 2 2 2 2 Sn ? Sn ? 2 ∴ ? Sn ?1 ,适合条件①………3 分 2 9 2 81 2 又 S n ? ? n ? 9n ? ? ( n ? ) ? , 2 4 ∴当 n ? 4 或 n ? 5 时, S n 取得最大值 20,即 S n ? 20 ,适合条件②.……5 分
综上, {Sn } ?W ………6 分 (2)∵ bn ?1 ? bn ? 5(n ? 1) ? 2
n ?1

? (5n ? 2n ) ? 5 ? 2n ,

∴当 n ? 3 时, bn ?1 ? bn ,此时,数列 {bn } 单调递减;………9 分 当 n ? 1, 2 时, bn ?1 ? bn ? 0 ,即 b1 ? b2 ? b3 ,………10 分 因此,数列 {bn } 中的最大项是 b3 ? 7 ,………11 分 ∴ M ? 7 ,即 M 的取值范围是 ? 7, ?? ? .………12 分 19.(本小题满分 12 分) 解:(1)设 AC 与 BD 交于 O ,如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz , 设 AB ? 2 ,则 A( 3, 0, 0), B(0,1, 0), C ( ? 3, 0, 0), D(0, ?1, 0), D1 (0, ?1, 2), 设 E (0,1, 2 ? h), 则 D1 E ? (0, 2, h), CA ? (2 3, 0, 0), D1 A ? ( 3,1, ?2),

所以 S?ABC ?

1 1 3 ab sin C ? ? 4 ? ? 3 .…………………12 分 2 2 2
2

17.(本小题满分 12 分)

1 2 ?1? 1 1 3 7 解:(1) P ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 2 ? 3 3 4 36
(2)X 可取 0,1,2,3,4

???? ?

??? ?

???? ?

2 2 1 1 4 P X ? 0 )? ? ? ? = , ( 3 3 2 2 36 12 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 P X ? 1) ? C2 ? ? ? ? +C2 ? ? ? ? = , ( 3 3 2 2 3 3 2 2 36 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 13 P X ? 2) ? ? ? ? +C2 ? C2 ? ? ? ? + ? ? ? = , ( 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 36 6 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 P X ? 3) ? C2 ? ? ? ? +C2 ? ? ? ? = , ( 3 3 2 2 3 3 2 2 36 1 1 1 1 1 P X ? 4 )? ? ? ? = ( 3 3 2 2 36
X 的分布列为: X P 0 1 2 3 4

? D1 E ? 平面 D1 AC ,∴ D1 E ? AC , D1 E ? D1 A1 ? 2 ? 2h ? 0,? h ? 1, 即 E (0,1,3) ……………………2 分 ???? ? ??? ? ? D1E ? (0, 2,1), AE ? (? 3,1,3) ?? ??? ? ?? x?0 ? m ? CA ? ? ? 设平面 EAC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则由 ? ?? ??? ,得 ? , ? ?? 3x ? y ? 3z ? 0 ? ?m ? AE ? ?? 令 z ? ?1 ,?平面 EAC 的一个法向量为 m ? (0,3, ?1) ?? ???? ? ???? ? ?? ???? ? m ? D1 E 2 ???? ? ? , 又平面 D1 AC 的法向量为 D1 E ? (0, 2,1),? cos ? m, D1 E ?? ?? 2 | m | ? | D1 E |

4 36

12 36

13 36

6 36

1 36

?二面角 E ? AC ? D1 大小为 45? ……………………………………………6 分 ???? ? ??? ? ???? ???? ? ? ???? ? ? ? ???? 2? ? (2)设 D1 P ? ? PE ? ? ( D1 E ? D1 P), 得 D1 P ? D1E ? (0, , ), 1? ? 1? ? 1? ? ???? ????? ???? ? 2? ? ? ?1 ? ? A1P ? A1D1 ? D1P ?? (? 3, ?1, 0) ? (0, , ) ? (? 3, , ) …10 分 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ???? ?? ? ?1 ? 3 ? A1 P // 面 EAC ,? A1P ? m,?? 3 ? 0 ? 3 ? ? (?1) ? ? 0,? ? ? , 1? ? 1? ? 2

∴存在点 P 使 A1 P // 面 EAC , 此时 D1 P : PE ? 3: 2 ……………………12 分 20.(本小题满分 13 分) c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 解:(1)由题意知 e ? ? ,∴ e2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b2 4 a 2 3 a a2 6 又b ? b ? 3 ,∴ a 2 ? 4, 2 ? 3 1?1 y2 x2 故椭圆的方程为 5分 ? ?1 4 3 (2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ?1 ? 4 3 ?

∴ 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ?
n n n

e (2n) n e ?1
e (an ) n e ?1

故存在正整数 a=2.使得?1n ? 3n ? ? ? (2n ? 1)n ?

6分

由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?

1 4

32k 2 64k 2 ? 12 ,x1 x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



8分

∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2 ??? ???? ? 64 k 2 ? 12 32k 2 87 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) ? 10 分 ? 4k 2 ? 2 ? 16k 2 ? 25 ? 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3
??? ???? ? 1 87 87 87 13 ,∴ ? ,∴ OA ? OB ? [?4, ) ≤? 2 ?? 4 3 4 4 4k ? 3 ??? ???? ? 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 [?4, ) 13 分 4

∵ 0≤ k2 ?

21.(本小题满分 14 分) 解:(1)∵ f ( x) ? e ? a( x ? 1) ,∴ f ?( x) ? e ? a ,
x x x ∵ a ? 0 , f ?( x) ? e ? a =0 的解为 x ? ln a ,

∴ f ( x) min ? f (ln a) ? a ? a(ln a ? 1) ? ?a ln a , ∵ f ( x) ? 0 对一切 x∈R 恒成立,∴ ?a ln a ? 0 ,∴ a ln a ? 0 ,∴ amax ? 1 . (2)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1 ? x2

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m ,故 g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 x 2 ? x1 ∴不妨令函数 F ( x) ? g ( x) ? mx ,则 F ( x) 在 ? ?, ?) ( ? 上单调递增, ∴ F ?( x) ? g ?( x) ? m ? 0 恒成立 ∴对任意的 a ? ?1 x ? R , m ? g ?( x) 恒成立 ,

g ?( x) ? e x ? a ?
故m?3

a a ? 2 e x ? (? x ) ? a = ? a ? 2 ? a ? ( ? a ? 1) 2 ? 1 ? 3 , x e e
i i ? ? i i 2n ? i n , i ? 1,3,?2n ? 1, 得 1? e 2 n ,即 ( ) ?e 2, 2n 2n 2n
? 1

(3)由(1)知 ex≥x+1,取 x= ?

2 n ?1 2 n ?3 1 ? ? ? 1 3 2n ? 1 n e 2 (1 ? e ? n ) e ) ? e 2 ? e 2 ??? e 2 ? ? 累加得: ( ) n ? ( ) n ? ? ? ( 2n 2n 2n e ?1 1 ? e ?1


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