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最新全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

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2013 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

一、填空题(每题 8 分)

? ? 1 、若 2013 的每个质因子都是某个正整数等差数列 an 中的项,则 a2013 的最大值





2 、若 a,b, c ? 0 , 1 ? 2 ? 3 ? 1,则 a ? 2b ? 3c 的最小值为



abc

3 、若

Sn

?

n!? ?? ?

1? 2!

2? 3!

3? 4!

?

(n

n ?1)!

?1?? ?

,则

S2013

?



4 、如果一个正方体 X 与一个正四面体Y 的表面面积(各面面积之和)相等,则其体

积之比 Vx ?



Vy

5 、若椭圆中心到焦点,到长、短轴端点,以及到准线距离皆为正整数,则这四个距离

之和的最小值是



6 、函数 f (x) ? 3x ? 6 ? 3 ? x 的值域是



7 、设合数 k 满足:1? k ?100 ,而 k 的数字和为质数,就称合数 k 为“山寨质数”,

则这种“山寨质数”的个数是



8 、将集合?1, 2,3, 4,5, 6, 7,8? 中的元素作全排列,使得除了最左端的一个数之外,对

于其余的每个数 n ,在 n 的左边某个位置上总有一个数与 n 之差的绝对值为1,那么,满足

条件的排列个数为



9 、(20 分)设直线 x ? y ? 1与抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0) 交于点 y

A, B ,若 OA ? OB ,求抛物线方程以及 ?OAB 的面积.

DA

C

O

x

10 、(20 分)如图,四边形 ABCD 中, E, F 分别是 AD, BC 的中
B
点, P 是对角线 BD 上的一点;直线 EP, PF 分别交 AB, DC 的延长线

于M,N . 证明:线段 MN 被直线 EF 所平分.

11、(20 分)在非钝角三角形 ABC 中,证明: sin A? sin B ? sin C ? 2 .

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? ? 12 、(26 分)试确定,是否存在这样的正整数数列 an ,满足: a2013 ? 2013 ,且对 每个 k ??2, 3, , 2013?,皆有 ak ? ak?1 ? 20 或13 ;而其各项 a1, a2 , , a2013 的值恰好构
成1, 2, , 2013的一个排列?证明你的结论.

1、答案: 4027 . 解: 2013 ? 3?11?61,若 3,11, 61皆是某正整数等差数列中的项,则公差 d 应是

11? 3 ? 8与 61? 3 ? 58 的公因数,为使 a2013 取得最大,则其首项 a1 和公差 d 都应取尽可能

大的数,于是 a1 ? 3, d ? 2 ,所以 a2013 的最大值是 3? 2012d ? 4027 . 2、答案: 36 .

解:据柯西不等式,

a

?

2b

?

3c

?

?a

?

2b

?

3c

?

? ??

1 a

?

2 b

?

3 c

? ??

?

?1?

2

?

3?2

?

36



3、答案: ? 1 . 2014

解:因 k ? (k ?1) ?1 ? 1 ? 1 ,则 (k ?1)! (k ?1)! k ! (k ?1)!

1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 1?1 ? 2 ?1 ? 3 ?1 ? ? (n ?1) ?1 ? 1? 1

2! 3! 4!

(n ?1)! 1! 2! 3!

(n ?1)!

(n ?1)!

所以,

Sn

?

n!????1? ??

(n

1? ?1)!??

? ?1?
?

?

?

1 n ?1

,故

S2013

?

?

1 2014



4、答案: 4 3 .

解:记表面面积为12(平方单位),则正方体每个面的面积为 2 ,其边长为 2 ,所以

3
Vx ? 22 ;正四面体每个面的面积为 3 ,设其边长为 a ,则由

3

a2

?

3

,得

a

?

1
2 ? 34



4

于是Vy

3
? 22

?

?
3

1 4

,因此

Vx

Vy

1
? 34

?

4 3.

5、答案: 61 .

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解:设椭圆方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1, a ? b ? 0 ,椭圆中心 O 到长、短轴端点距离为 a, b ,

到焦点距离 c 满足: c2 ? a2 ? b2 ,到准线距离 d 满足: d ? a2 ,由于 a, b, c 组成勾股数, c

满足 a ? 20 的勾股数组有?a,b,c? ? ?3,4,5?,?6,8,10?,?9,12,15?,?12,16,20?,?5,12,13?,

以及?8,15,17? ,其中只有 152 ? 25 与 202 ? 25 ,而 (a,b, c, d) ? (15,12,9, 25) 使得

9

16

a ? b ? c ? d 的值为最小,这时有 a ? b ? c ? d ? 61.

6、答案:[1, 2] .

解: f (x) ? 3(x ? 2) ? 3? x 的定义域为[2,3] ,故可设 x ? 2 ? sin2 ? (0 ? ? ? ? ) , 2

则 f (x) ? 3sin2 ? ? 1? sin2 ? ? 3 sin? ? cos? ? 2sin(? ? ? ) , 6

而 ? ? ? ? ? ? 2? ,这时 1 ? sin(? ? ? ) ?1 ,因此1 ? f ? 2 .

6

63

2

6

7、答案: 23个.

解:用 S(k) 表示 k 的数字和;而 M ( p) 表示山寨为质数 p 的合数的集合.当 k ? 99 时,

S(k) ? 18 ,不大于18 的质数共有 7 个,它们是: 2,3,5, 7,11,13,17 ,山寨为 2 的合数有

M(2) ? ?20? ,而 M(3) ? ?12,21,30?, M(5) ? ?14,32,50?, M(7) ? ?16,25,34,52,70? ;

M(11) ? ?38,56,65,74,92?, M(13) ? ?49,58,76,85,94? , M (17) ? ?98?;
共得 23个山寨质数. 8、答案:128 .(即 27 个).
解:设对于适合条件的某一排列,排在左边的第一个元素为 k ,(1 ? k ? 8) ,则在其余

7 个数中,大于 k 的 8 ? k 个数 k ?1, k ? 2, ,8 ,必定按递增的顺序排列;而小于 k 的 k ?1

个数1, 2, , k ?1,必定按递降的顺序排列(位置不一定相邻)
事实上,对于任一个大于 k 的数 k ? n ,设 k ? n ? 8,如果 k ? n ?1排在 k ? n 的左边, 则与 k ? n ?1相差1的另一数 k ? n ? 2 就必须排在 k ? n ?1的左边;同样,与 k ? n ? 2 相差 1的另一数 k ? n ? 3又必须排在 k ? n ? 2 的左边;…,那么,该排列的第二个数不可能与 k 相差1,矛盾!因此 k ? n ?1必定排在 k ? n 的右边.
用类似的说法可得,小于 k 的 k ?1个数1, 2, , k ?1,必定按递降的顺序排列;

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由于当排在左边的第一个元素 k 确定后,右边还有 7 个空位,从中任选 8 ? k 个位置填 写大于 k 的数,(其余 k ?1个位置则填写小于 k 的数),选法种数为 C78?k ;而当位置选定后,

8

7

? ? 则填数方法随之唯一确定,因此所有排法种数为

C 8?k 7

?

C7j ? 27 .

k ?1

k ?0

二、解答题

9、解:设交点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,由

y2 ? 2 px 与 x ? y ? 1,得 y2 ? 2 py ? 2 p ? 0 ,

故有 x1 ? 1? p ? p2 ? 2 p , y1 ? ? p ? p2 ? 2 p ,

以及 x2 ? 1? p ? p2 ? 2 p , y2 ? ? p ? p2 ? 2 p .

因 OA ? OB ,即 OA? OB ? 0 ,所以 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

??(1? p)2 ? ( p2 ? 2 p)?? ? ?? p2 ? ( p2 ? 2 p)?? ? 0,化简得1? 2 p ? 0 ,因此抛物线方程为

y2

?

x

,从而交点

A,

B

坐标为:

A

? ???

3

? 2

5,

?1 ? 2

5

? ???

,

B

? ???

3

? 2

5,

?1 ? 2

5

? ???



OA2 ? x12 ? y12 ? 5 ? 2 5 ,OB2 ? x22 ? y22 ? 5 ? 2 5 ,

因此 S?OAB

?

1 2

OA

?

OB

?

1 2

5.

10、证:设 EF 交 MN 于 G ,直线 EF 截 ?PMN ,则 NG ? ME ? PF ? 1;为证 G 是 GM EP FN

线段 MN 的中点,只要证, PF ? PE NF ME
直线 AB 截 ?PDE ,

… ①,

A E

得 PM ? EA ? DB ? 1,即 MP ? BP … ②,

ME AD BP

2ME BD

D P

直线 CD 截 ?PBF ,则有 PN ? FC ? BD ? 1, NF CB DP

B

C

F

即 NP ? PD … ③, 2NF BD

N

M

G

②③相加得 MP ? NP ? 2 ,即 NP ?1 ? 1? MP ,也即 PF ? PE ,因此结论得证.

ME NF

NF

ME

NF ME

11、证一: sin A ? sin B ? sin C ? 2 ? sin A ? sin B ? sin(A ? B)

?(sin2 A ? cos2 A) ? (sin2 B ? cos2 B)

? sin A(1? sin A) ? sin B(1? sin B) ? sin( A ? B) ? (cos2 A ? cos2 B)
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? sin A(1? sin A) ? sin B(1? sin B) ? cos B(sin A ? cos B) ? cos A(sin B ? cos A) ? 0 .

这里用到,在非钝角三角形 ABC 中,任两个内角之和不小于 900 ,所以由 A ? B ? 900 ,

得 A ? 900 ? B, B ? 900 ? A ,因此 sin B ? sin(900 ? A) ? cos A ,同理 sin A ? cos B,

而1?sin A ,1?sin B 不能同时为 0 .从而结论得证.

证二: sin A ? sin B ? sin C ? 2 ? sin A ? sin B ? sin(A ? B) ? 2sin( A ? B ? C ) 22

? 2sin A ? B cos A ? B ? 2sin A ? B cos A ? B ? 2sin A ? B cos C ? 2cos A ? B sin C

2

2

2

2

22

22

? 2sin A ? B (cos A ? B ? cos C ) ? 2cos A ? B (sin A ? B ? sin C )

2

2

2

2

2

2

? 4sin A ? B sin A ? C ? B sin B ? C ? A ? 2cos A ? B (cos C ? sin C ) ? 0 ;

2

2

2

2

22

(这是由于,锐角三角形 ?ABC 中,任两个内角之和大于 900 ,而任一个半角小于 450 ;)

所以 sin A? sin B ? sinC ? 2 .

证三:令 x ? tan A , y ? tan B , z ? tan C ,则 xy ? yz ? zx ? 1,且

2

2

2

sin

A

?

2x 1? x2

,

sin

B

?

2y 1? y2

,

sin

C

?

2z 1? z2



即要证 2x ? 2 y ? 2z ? 2 … ①,因为 1? x2 ? (x ? y)(x ? z) , 1? x2 1? y2 1? z2

1? y2 ? ( y ? x)( y ? z), 1? z2 ? (z ? x)(z ? y) ,

故①式即

4

? 2 ,也即 (x ? y)( y ? z)(x ? z) ? 2 ,

(x ? y)( y ? z)(x ? z)

即 x ? y ? z ? xyz ? 2

…②

而因 A , B , C ? (0, ? ] ,故 x, y, z ?(0,1] ,所以 (1? x)(1? y)(1? z) ? 0 , 222 4

即 1? (x ? y ? z) ? (xy ? yz ? xz) ? xyz ? 0 .

此式即为 x ? y ? z ? xyz ? 2 … ③
由③立知②式成立(③式强于②式),因此命题得证.
12、解:存在.由于 20 ?13 ? 33,而 33 2013 ,(即有 2013 ? 33?61);
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我们注意到,“差”运算具有“平移性”,即是说,如果 ak ? ak?1 ? 20 或13 ,那么,

对任何整数 c ,也有 (ak ? c) ? (ak?1 ? c) ? 20 或13 ;

为此,先将集合 ?1, 2, ,33? 中的数排成一个
圈,使得圈上任何相邻两数之差皆为 20 或13 ,如
图所示.
将此圈从任一间隙处剪开,铺成的线状排列
a1, a2 , , a33 ,都满足 ak ? ak?1 ? 20 或13 ,
为将数列锁定,在前面添加一项 a0 ? 0 ,使数

8 28

21

1 14 27 7

15

20

2

33

22

13

9

26

29

6

16

19

3 23

32 12

10 30 17 4

24

11

25 5 31 18

列 a0 , a1, a2 , , a33 也满足条件,我们可选择与数 33 相邻的一个间隙剪开;例如从 33 右侧间隙剪开,并按顺时针排列,就成为:

0 ;13, 26,6,19,32,12, 25,5,18,31,11, 24, 4,17,30,10, 23,3,16, 29,9, 22, 2,15 ,

28,8, 21,1,14, 27,7, 20,33; 若从 33 左侧间隙剪开,并按逆时针排列,则成为: 0 ; 20, 7, 27,14, , 6, 26,13,33 ;

这两种排列都满足 ak ? ak?1 ? 20 或13 ;
记分段数列 M 0 ? (13, 26, 6,19,32,12, 25,5,18,31,11, 24, 4,17, 30,10, 23,3,16, 29 , 9, 22, 2,15, 28,8, 21,1,14, 27, 7, 20,33) ? (a1, a2, , a33) ,而分段数列 M k ? (a1?33k , a2?33k , a33?33k ) ? (a1 ? 33k, a2 ? 33k, , a33 ? 33k) , k ? 1, 2, , 60 ,
将这些段作如下连接:0, M 0 , M1, , M 60 ,所得到的数列 a0 , a1, a2 , , a2013 满足条件. 因为,a2013 ? a33?33?60 ? a33 ? 33? 60 ? 33 ? 33? 60 ? 2013 ;对其中任意两个邻项 ak , ak?1 , 若 ak , ak?1 属于同一个分段,显然有 ak ? ak?1 ? 20 或13 ;若相邻项 ak , ak?1 属于两个相邻段
M n 与 M n?1 ,则 ak 是 M n?1 的首项:即 ak ? a1 ? 33(n ?1) ? 13 ? 33(n ?1) ,而 ak ?1 是 M n 的
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末项,即 ak?1 ? a33 ? 33n ? 33 ? 33n ,这时有
ak ? ak?1 ? ?13? 33(n ?1)???33? 33n? ?13 ,并且 a1 ? a0 ? 13 ,
因此,数列 a1, a2 , , a2013 满足条件.
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