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江苏省江阴市山观高级中学届高考数学一轮复习函数第9课时函数与方程教学案(数学教案)

第 9 课时 函数与方程 基础过关 1.一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程(以后还将学习一元二次不等式)的关系一直是高中数学函数 这部分内容中的重点,也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二 次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解; 反之, 一元二次方程的解也是 x 对应的一元二次函数的图象与 轴的交点的横坐标. 2.函数与方程 两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标就是方程 f ( x) ? g ( x) 的解;反之,要求方 程 f ( x) ? g ( x) 的解,也只要求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标. 3.二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解,首先要找到方程的根所在的区间 (m, n) ,则必有 f (m) ? f (n) ? 0 , 再取区间的中点 p ? m?n ,再判断 f ( p) ? f (m) 的正负号,若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在区 2 间 (m, p) 中;若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在 ( p, n) 中;若 f ( p) ? 0 ,则 p 即为方程的根.按照 以上方法重复进行下去,直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求),即可 得一个近似值. 典型例题 例 1.(1)若 f ( x ) ? 1 1 B.- 2 2 解:A. x ?1 ,则方程 f (4 x) ? x 的根是( x C.2 D.-2 ) A. (2)设函数 f ( x) 对 x ? R 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实数根, 则这 6 个实根的和为( ) A.0 B.9 C.12 D.18 解:由 f (3 ? x) ? f (3 ? x) 知 f ( x) 的图象有对称轴 x ? 3 ,方程 f ( x) ? 0 的 6 个根在 x 轴上对 应的点关于直线 x ? 3 对称,依次设为 3 ? t1 , 3 ? t2 ,3 ? t3 ,3 ? t1 ,3 ? t2 ,3 ? t3 ,故 6 个根的和为 18,答案为 D. (3)已知 5b ? c ? 1 ,( a 、 b 、 c ∈R),则有( 5a ) D. b 2 ? 4ac A. b 2 ? 4ac B. b 2 ? 4ac C. b 2 ? 4ac 解法一::依题设有 a ? 5 ? b ? 5 ? c ? 0 ∴ 5 是实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的一个实根; ∴△= b 2 ? 4ac ≥0 ∴ b 2 ? 4ac ,答案为 B. 解法二:去分母,移项,两边平方得: 5b2 ? 25a 2 ? 10ac ? c 2 ? 10 ac + 2 ? 5a ? c =20 ac . ∴ b 2 ? 4ac ,答案为 B. -1- (4)关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 数 m 的取值范围 解:设 f ( x) ? x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ,则 f ( ) ? 即: 4m2 ? 12m ? 7 ? 0 ,解得: ? ? m ? x 、 x 满足 x1 ? 3 ? x2 ,则实 1 2 2 3 2 9 ? 3(m ? 4) ? m2 ? 16 ? 0 , 16 1 2 7 . 2 (5)若对于任意 a ?[?1, 1] ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范 围是 解:设 g (a) ? ( x ? 2)a ? x2 ? 4 x ? 4 ,显然, x ? 2 2 ? ? x ? 3或x ? 2 ? g (?1) ? 2 ? x ? x ? 4 x ? 4 ? 0 则? ,即 ? ,解得: x> 3或x< 1 . 2 ? ? x ? 2或x ? 1 ? g (1) ? x ? 2 ? x ? 4 x ? 4 ? 0 变式训练 1: 当 0 ? x ? 1 时,函数 y ? ax ? a ? 1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围是 ( A. a ? 解:D ) 1 2 B. a ? 1 C. a ? 或a ? 1 1 2 D. 1 ? a ?1 2 log 1 x ? 2 ? x , 例 2.设 x1 , x2 , x3 依次是方程 log2 ( x ? 2) ? ? x , 2 2 x ? x ? 2 的实数根,试比较 x1 , x2 , x3 的大小 . y ? log 1 x , y ? ?2 x 的图象 解:在同一坐标内作出函数 y ? x ? 2 , 2 从图中可以看出, 0 ? x3 ? x1 又 x2 ? 0 ,故 x2 ? x3 ? x1 变式训练 2: 已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) , 且 x ∈[-1,1]时,f ( x) ?| x | , 则 y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象交点的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) f ( x ? 2) ? f ( x) 故 解:由 知 f ( x) 是周期为 2 的函数, 在同一坐标系中作出 y ? f ( x) 与 y ? log 5 x 的图象,可以看出,交点个数为 4. 例 3. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx (a, b 为常数,且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,且 方程 f ( x) ? 2 x 有等根. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n ( m ?